Наблюдения, сделанные в классе Билла Холла 3 страница

Стоит иногда подсказывать ученикам способы проверить свое понимание или свои идеи, если их это интересует. Но и в этом случае не следует думать, что если один способ самопроверки хорош, то сотня — в сто раз лучше. Лучшие правила — те, которые обучаемые извлекают из собственного опыта.

Сентября 1960 г.

Когда я навещал своих друзей, они попросили меня позаниматься математикой с их десятилетней дочерью. Я согласился: мы с девочкой были давними друзьями, и мне казалось, что я смогу понять ход ее мыслей. Начали с устного счета. Я собирался спросить ее, сколько будет 2 х 76, потом — 2 х 77. Мне хотелось посмотреть, как она будет решать второй пример: прибавит 2 или будет решать заново. Но все забуксовало, когда она доложила, что 2 х 76 = 432.

Я догадался, где был сбой: она умножила 2 на 6 и 7 на 6; короче, она умножила 6 на 72 и получила правильный — для этого умножения — ответ. Я предложил ей пересчитать, и она снова получила 432, что доказывает нашу тенденцию повторять ошибки из-за неспособности расстаться с наезженной колеей.

Я спросил: «Сколько будет 2 х 100?» — «200». — «А 2 х 90?» — «180». — «2 х 80?» Пауза. «160». — «2 х 76?» — «432». — «2 х 70?» — «140». — «2 х 80?» — «160». — «2 х 76?» — «432». — «2 х 100?» — «200». — «2 х 200?» — «400». — «2 х 76?» — «432»... Тут она призадумалась, изучающе взглянула на меня и сказала: «Минутку! Что-то не то». Сорвалась с места, принесла карандаш и бумагу и принялась решать. 2 х 76 = 152.

Это был очень важный момент, когда она сказала: «Минутку!» До нее дошло, что мы должны искать ответ не по принципу: «Правильно или неправильно?», а по принципу: «Имеет ли это смысл?», и тогда мы можем заранее сказать, какой ответ будет заведомо неправильным, потому что несовместим с тем, что мы знаем точно.

Мы еще немного поработали, и она отправилась спать, довольная своими успехами. Позже я рассказал родителям о наших занятиях, чтобы просветить их относительно трудностей, с которыми сталкиваются дети, если они не знают законов мира чисел, а только разрозненные, не связанные между собой факты и правила. Отец девочки сказал, что стал лучше понимать смысл нашей работы с палочками Куизенера, но мать заявила, даже с некоторой долей агрессии, что не понимает эти новые идеи и собирается и дальше продолжать в том же духе, задавая дочери по страничке примеров в день, а за каждый неправильный ответ добавлять пару новых примеров.

Эта реакция удивила и испугала меня. Арифметика в наказание? Это напомнило мне о многих знакомых мне родителях, которые требовали от меня более жестокого отношения к их детям. Для них школа — место узаконенного принуждения и наказания для всех — правых и виноватых. За что они так обижены на детей?

 

Октября 1960 г.

 

Своему новому пятому классу, состоящему из пятнадцати учеников, я задал вопрос: «Сколько понадобится белых (1) палочек, чтобы выложить ряд вдоль стола?» Половина класса использовала для измерения оранжевые (10) палочки. Остальные, с единственным исключением, начали выкладывать ряд из белых палочек. Когда они кончились, дети стали выкладывать красные (2) палочки, но укладывая их не в длину, а в ширину — как (1). Потом в ход пошли светло-зеленые (3) палочки, тоже выкладываемые подряд в ширину, и так далее до конца стола.

Эти дети работали с палочками более трех недель, привыкли к ним и называли их по длине: например, оранжевую (10) палочку называли десяткой. Знали они и то, что оранжевая по длине соответствует 10 белым, но использовать это в практической ситуации не додумались, хотя это значительно облегчило бы их задачу.

Потом я задал вопрос: «Сколько белых вам понадобится, чтобы покрыть блокнотный лист (что-то порядка 23 х 15 см)?» Несколько человек принялись заполнять лист палочками, но некоторые из них тут же остановились, поняв, что все ряды одинаковы по длине. Остальные продолжали трудиться до конца. Часть из них подсчитала число рядов и умножила его на длину ряда, другие трудолюбиво суммировали длину всех рядов. Двое тоже выкладывали палочки, но торцами (1 кв. см), независимо от цвета, покрывая таким образом всю площадь листа. Довести работу до конца им не удалось: палочки кончились.

Дороти тоже покрыла лист палочками и заявила, что 44 белых будет достаточно. Число явно было взято с потолка. Я спросил: «Сколько белых понадобится для того, чтобы покрыть одну оранжевую?» — «Около 8». — «Проверь!» Проверила. Нужно 10. «А сколько их нужно, чтобы покрыть 4 оранжевых?» Смотрит на меня и молчит.

Октября I960 г.

 

Вчера мы работали с таблицей умножения. Результаты привели меня в изумление. Каждый ученик начертил таблицу из 10 х 10 квадратиков, то есть таблица состояла из 10 рядов, по 10 квадратиков в каждом ряду. Сверху и слева таблицы были написаны числа от 1 до 10. Таким образом, каждый квадратик из 100 был пронумерован по вертикали и по горизонтали. Если квадратик был на пересечении 2-го ряда по горизонтали и 3-го по вертикали, в квадратике нужно было написать их произведение, то есть 6. Следовательно, в квадратике, находящемся на пересечении 5-го ряда по горизонтали и 7-го по вертикали, нужно было написать 35, и т. д.

В тетрадке Марджори красовалось: 4x6 = 22, 4 х 4 = 20, 4 х 7 = 32. 10 х 10 = 20, и тут же 10 х 2 = 22. В ряду 8: 8 х 8 = 48, 8 х 6 = 59, 8 х 4 = 40, 8 х 7 = 49, 8 х 9 = 42. В ряду 7: 7 х 5 = 35, 7 х 8 = 24, 7 х 7 = 47, 7 х 9 = 45.

Я не придумываю, клянусь вам!

В ряду 9: 9 х 9 = 69, 9 х 10 = 40. В ряду 4: 4 х 8 = 62, 4 х 9 = 40.

Разве здесь дело только в незнании таблицы умножения?

Ноября 1960 г.

 

Несколько дней тому назад, когда я работал с Марджори, она оторвалась от своего занятия и сказала: «Можно мне кое о чем вас спросить?» — «Ну конечно, спрашивай». Она сказала, что, когда она складывает на пальцах (тут она смущенно улыбнулась) и ей нужно считать 10, 11, 12, 13 и так далее, иногда она разгибает большой палец на 10, указательный на 11, средний на 12, а в другое время она начинает с 11, разгибая большой палец, дальше следует 12 — указательный палец и прочее. Но один из этих методов ее подводит, и она не знает который. Не мог бы я ей помочь? Я попросил ее привести мне пример задачи, которую она решает таким образом. Она не смогла.

 

Редко кто из таких детей может привести пример.

Образно говоря, ей нужна метла, чтобы навести порядок в ее мозгу. Он жутко замусорен всяким хламом. Нет никакого учета, где что находится, и из всех ящичков и сундучков ее мозга нужно сначала вытряхнуть старое содержимое, чтобы привести их в какой-то порядок. Если ей удастся забыть ⁹/₁₀ фактов и правил, хранящихся беспорядочно у нее в голове, то ее можно будет чему-то научить.

Как-то я предложил ученикам найти как можно больше глаголов, оканчивающихся на «р». На лице Марджори изобразилась паника. На грани истерики она пролепетала: «Я не понимаю!» Я спросил, ясно осознавая бесполезность вопроса: «Что ты не понимаешь?» Как я и ожидал, она сказала: «Вообще не понимаю». Я повторил задание и велел ей повторить его за мной. Она повторила. Я спросил: «Ты знаешь, что такое глагол?» Нет, она не знала (определение глагола ей повторяли много раз). Я привел ей примеры глаголов, она облегченно вздохнула и принялась за дело. Я чуть было не спросил ее, почему она мне сразу не сказала, что не знает, что такое глагол, но понял, что она и сама не знала, что не знает. Ей было ясно лишь то, что ей велели начать работу, а какую — она не знает. Она не способна анализировать указания, выяснять, что имеет для нее смысл, а что — нет, где кончается ее знание и начинается незнание.

Дети такого типа привыкли, что учитель должен им все показать, чтобы они потом смогли имитировать его действия; они не умеют извлекать информацию из словесных указаний. Они не представляют, что в словесных указаниях содержится информация. Они не способны выделить цель и средство для ее достижения или сформулировать содержание работы и метод ее выполнения. Если им задают задачу, они знают или не знают, «как ее делать». Если они не знают «как», вся задача представляется им не имеющей смысла.

Очень опасно требовать от детей, чтобы они манипулировали символами, конкретного значения которых они не понимают. Через какое-то время они начинают чувствовать, как Марджори, что все символы лишены смысла. Уча детей, мы используем слишком много слов и слишком быстро их проговариваем.

Января 1961 г.

 

Ранее я описывал задачи, которые д-р Гаттеньо давал на своем открытом уроке умственно отсталым детям. Недавно я предложил эти задачи Дороти, которая, без сомнения, была самым отсталым ребенком из тех, кого я учил. До сих пор детям, которым я предлагал эти задачи, было достаточно одной-двух попыток, чтобы понять, что к чему. Ей понадобилось пять или шесть. Когда она научилась сразу выбирать правильную палочку, чтобы заполнить промежуток, без подборов и даже колебаний, я сказал: «Тебя уже трудно обхитрить!» — и перешел к другой игре.

Наверное, некоторые учителя не поймут, зачем эта игра. Во-первых, и это самое важное, ребенку дается задача, которую он может решить самостоятельно, без посторонней помощи и без обращения к формулам, правилам и методам, смутно припоминаемым и непонятным; во-вторых, ребенок узнаёт достоверный факт — то, как ведет себя предмет, доселе ему непонятный, то есть поведение неодушевленных предметов представляется ему последовательным и надежным, а не причудливым и непредсказуемым.

Иногда возникает ощущение, что органы чувств этих детей функционируют как-то не так. Как будто они не видят того, что видим мы. Я не раз предлагал Дороти выбрать палочку такой же длины, как шесть (или четыре, или еще сколько-нибудь) белых (1) палочек. Очень часто выбранная ею палочка была на два-три сантиметра длиннее или короче нужной, и ей обязательно нужно было приложить эту палочку к белым палочкам для проверки. Может быть, она боялась доверять свидетельству своих органов чувств?

При наличии времени, вероятно, можно было бы вернуться к истокам и перестроить интеллект этого ребенка. Возможно, уроки математики, так разрушительно подействовавшие на ее интеллект, помогли бы восстановить его, будучи организованными соответствующим образом. Но для этого нужно было бы устранить влияние внешнего мира на то время, пока она учится находить смысл в вещах, чтобы ей не начинало казаться, что она знает то, чего на самом деле не знает, и чтобы она не чувствовала себя глупой или пристыженной из-за того, что знает так мало.

Впрочем, «перестроить интеллект ребенка» — дурная фраза, к тому же неправильная. Мы приносим более чем достаточно вреда в школе, если считаем, что только учим фактам. Но если настанет день, когда мы решим, что наша задача — строить или перестраивать интеллект, мы будем причинять гораздо больше вреда. Человеческие существа одарены интеллектом с рождения. Мы по природе своей — животные, задающие вопросы, находящие ответы, решающие задачи, и нам это очень здорово удается, особенно пока мы еще маленькие. Но при определенных условиях, которые могут существовать где угодно и, наверное, существовали во все времена почти во всех школах, мы прекращаем использовать наши могущественнейшие интеллектуальные силы, перестаем ощущать потребностъ в их использовании и даже не верим больше, что мы ими обладаем.

Чтобы исправить это положение, не нужно изобретать все более и более хитрые трюки для «постройки интеллекта», надо лишь покончить с этими условиями, заставляющими людей действовать по-дурацки, и взамен предоставить людям возможность оказываться в самых разнообразных ситуациях, в которых они, возможно, опять начнут действовать, руководствуясь своим интеллектом. Мозг и дух, как и тело, способны вылечить себя от многих ран, если мы не будем открывать эти раны, чтобы посмотреть, как там они заживают.

Эти уроки, действительно, оказались очень эффективными для Дороти. В течение первых шести лет пребывания в школе она, согласно результатам школьных проверок и тестов, одолевала лишь половину нормальной учебной нагрузки. На сей раз она выполнила программу целого года. Это вовсе не означает, что я выучил ее массе всякой всячины или перестроил ее интеллект. Факт тот, что я учил ее очень малому и посвящал этому очень мало времени; только в конце зимы я почувствовал, что она освоилась в классе и перестала бояться и что я могу начать работать с ней.

Ей очень помогло то, что наш класс стал по сравнению с остальными местом, где было весело, интересно и не страшно, потому что все были готовы помочь. Избавившись от страха не справиться с чем-то и выглядеть глупой, девочка выбралась из своей норки и стала наблюдать за происходящим вокруг. Она пробыла в классе не более двух месяцев, когда мне позвонила ее мать, поблагодарить меня за все, что я сделал. Я не понял за что, ведь я уделял ее дочери не так уж много внимания, и дела у девочки в школе шли по-прежнему из рук вон плохо. В лучших традициях моих учеников, я стал нащупывать ответ. Мать сказала мне, что шесть лет подряд Дороти приходила из школы молчаливой и потом весь вечер молчала. Теперь же она не успевает сесть к матери в машину, как начинает говорить, и продолжает в этом духе до вечера. О чем? О ее талантливом учителе мистере Холте? Отнюдь нет. Она рассказывает обо всем интересном, что они говорили и делали, все ребята в классе. В этом она и черпала пищу для своего ума.

Конечно, мне весьма приятно осознавать свою причастность к этим счастливым переменам. Но я не «перестраивал интеллект ребенка», и самым ценным временем школьного дня для нее были отнюдь не часы работы под моим руководством.

Января 1961 г.

 

Я предложил Энди разложить белые палочки в пять кучек, по 8 палочек в каждой. Для этой цели сгодились бы любые маленькие предметы. Потом я дал ему восемь бумажных стаканов и велел разложить палочки поровну по этим стаканам. Любой, кто понимает принцип умножения, легко сообразит, что в каждом стакане должно быть по 5 палочек. Не такие сообразительные будут рассуждать: «5x8 = 40; у меня 40 палочек. Если разложу их в 8 стаканов, в каждом будет 5 палочек». Энди ничего такого не сделал. Для начала он попробовал положить в каждый стакан по 8 палочек. Их не хватило. Тогда он стал раскладывать по 4 палочки; 8 палочек остались лишними. Я было подумал, что сейчас он их разложит по 8 стаканам, но, к моему изумлению, мальчик высыпал все палочки и начал снова. На сей раз он попытался разложить по 6 палочек в каждый стакан; палочек не хватило. Тут палочки были разложены по 5, все сошлось.

Одна из прелестей этой работы заключалась в том, что Энди, прорываясь к решению, не осознавал, что делает ошибки. По-своему, неуклюже, он выполнял исследование и сам, 'без чьей-нибудь подсказки, видел неудачу, и каждая новая неудача приближала его к решению. Из рук вон плохая работа для пятиклассника, она не пробуждала в нем пораженческих настроений или стыда, но доставила живейшее удовлетворение, столь редко испытываемое им в школе.

У Теда были трудности с делением. Если нужно было делить 86 на 2, все было очень просто: 8:2 = 4, 6:2 = 3, в итоге 43. И если на 2 нужно было разделить 96, процедура повторялась: 9: 2 = 4 и 1 в остатке, 6: 2 = 3, в итоге 43. Что делать с 1 в остатке, оставалось неясным. Я предложил ему разделить 55 на 5. Ответ — 11. А 65 разделить на 5? Тоже 11. А 75 на 5? Тоже. И 85, и 95, деленные на 5, в результате давали те же 11. Он и сам беспокоился, что тут что-то не то, но в чем же дело? 9 разделить на 5, получится 1. 5: 5 = 1. Всего 11. Замкнутый круг.

Мы позанимались делением, раскладывая палочки по стаканам. Я выдал ему 5 оранжевых (10) палочек и две белые (1) палочки и предложил разложить их поровну -в 4 стакана. Тут же 4 оранжевые палочки нашли свое место, вместо 1 остающейся оранжевой он попросил выдать ему 10 белых, приложил к ним 2 белые, которые у него уже были, и благополучно разложил их по 4 стаканам. Всего 13.

Я задал ему еще несколько таких заданий. И каждый раз после распределения оранжевых палочек несколько из них оставалось в остатке, и он просил заменить их белыми. И каждый раз, перед тем как выдать ему требуемое количество белых палочек, я спрашивал, сколько из них попадет в каждый стакан. Его ответы были правильными, если нужно было делить на 2. Но если делитель был 3 и больше, Тед чувствовал себя неуверенно, отвечая на мой вопрос, и сам себе такого вопроса не задавал. Он неизменно просил выдать ему остаток белыми (1) палочками и потом старательно их делил.

Ну что же, так и должно было быть. Когда дети выполняют конкретные операции такого типа, действуя осмысленно и получая результаты самостоятельно, те результаты, в которых они должны быть полностью уверены, необходимо позволить им пользоваться любыми громоздкими приемами, пока они не освоятся с ними, чтобы потом подсказать более простой путь достижения тех же результатов. Часто говорят, что для ощущения надежности дети должны повторять одно и то же, упражняться. В ситуациях такого рода, когда ребенок действует сам по себе, владеет материалом и уверен в том, что делает, это, наверное, правильно. Но доля таких упражнений в школе ничтожна. В школе господствует рутина, и считать, что после многократного повторения бессмысленные в глазах детей упражнения вдруг обретут смысл, так же нелепо, как надеяться на то, что попугай, достаточно долго повторяя человеческую речь, станет понимать ее. Теда, очень умного мальчика, муштровали бесконечно, уча его то таблице умножения, то оптимальным способам деления, но сейчас он понимает их хуже, чем в первый день, когда о них услышал. Он их не только не понимает, он их боится. Но если он проделает эти действия с палочками или другим материалом достаточно много раз, чтобы спрогнозировать результат, чтобы знать его до того, как последняя белая палочка положена на место, то тогда, и только тогда, мы сможем ввести символы, будучи уверенными, что он их поймет.

Сеймур Пейперт в книге «Штурм интеллекта» (Бейсик Букс, 1980), посвященной возможностям использования компьютеров — еще тогдашних компьютеров, весьма отличавшихся от современных, — для того чтобы помочь детям разобраться в своем математическом мышлении, указывает на разницу между «упражнениями» и «практикой». Практикуются для себя, при желании или необходимости достичь лучших результатов. Упражнения делают для других, чтобы те проверили вас, знаете ли вы то, что, по их мнению, должны знать; возможно, таким образом они просто стремятся загрузить вас работой.

Практиковался ли со мной Тед или делал упражнения? Боюсь, в основном делал упражнения. Мне он нравился, он чувствовал это и, в свою очередь, относился ко мне с симпатией и доверием. Совершенно очевидно было, что в моем классе ему было интереснее, чем в каком бы то ни было другом, и успехи у него наметились. Но я никогда не видел, чтобы он сам попытался сделать что-нибудь такое, что мы делали вместе. Может быть, именно поэтому у него ничего не задерживалось в мозгу, и мы должны были делать одно и то же день за днем, неделя за неделей.

То, что я делал с ним, пытаясь облегчить ему понимание, было похоже на обучение по командам программы. Пока я был тут и задавал ему вопросы, он со временем, методом проб и ошибок, наталкивался на метод, как раздобыть ответы, которые меня бы устроили. Но, как и тот одиннадцатиклассник, о котором я рассказывал, Тед не помнил вопросов. Если я выдерживал темп, он мог следовать за мной по цепочке рассуждений, но никогда не мог построить цепочку сам. Мне хотелось научить его, для его собственной пользы, способу использования этих палочек для выполнения и проверки различных действий в мире чисел. Но он ни разу не воспользовался тем, что я вложил ему в руки. Всяк остался при своем.

Инициатива научить его делению принадлежало мне. Он не хотел ничему подобному учиться, ему это было не нужно за стенами школы, так же как и мне. Ему хотелось сделать мне приятное. Возможно, он почувствовал интуитивно, что если хоть однажды он доставит мне удовлетворение тем, что покажет, что умеет выполнять деление, то больше никто не станет ему докучать подобными вещами; где-то он оказался прав.

Февраля 1961 г.

 

Бедная Марджори изо всех сил старалась вспомнить все, что когда-либо говорилось в школе об этом, но все было тщетно. В голове вертелись обрывки правил и какие-то примеры и идеи, но она не имела ни малейшего представления о том, какие из них применимы к конкретной ситуации.

На следующий день она спросила, можно ли ей снова позаниматься со мной с палочками, и получила мое согласие. Сначала мы занялись составлением цветных прямоугольников: я сложил несколько палочек одного цвета вплотную друг к другу, получив таким образом прямоугольник, и предложил ей сложить точно такой же, но другого цвета. Она быстро поняла, что это можно сделать из белых палочек, а вскоре сложила прямоугольники и из палочек других цветов.

«Я сложил несколько палочек...» Мне все еще кажется, что это довольно хорошая игра или головоломка с палочками. На следующий год я сделал из картона несколько мелких коробочек одинаковой глубины — 1 см — и разной длины и ширины — 3x5 см, 4 х 7 см и т. д. Я давал их детям и предлагал наполнить коробочки по-разному — палочками одного цвета, палочками разных цветов, палочками двух цветов, но равным количеством каждого из них и т. д. Маленькие дети находят эти задачи интересными по многим причинам. Люди, занимающиеся изготовлением палочек, могли бы подумать и о комплекте пластмассовых коробочек для подобных задач. Впрочем, комплект небольших коробочек легко сделать из любой картонной коробки.

В ходе наших занятий она часто повторяла слова: «О, какой ровненький! Как мне нравится разгадывать такие секреты!» Словами невозможно передать ее эмоциональное состояние и волнение в ее голосе.

Спустя день или два я предложил ей составить прямоугольник из палочек одного цвета, но так, чтобы я не смог покрыть его другим цветом (за исключением белого). После ряда неудачных попыток она поняла, что может «победить» меня на квадратах со стороной 3, 5 и 7 см. Она уже заключила было, что 9 см тоже дадут успех, и была очень удивлена, когда я смог покрыть этот квадрат светло-зелеными (3) палочками. Она не увидела, что требовались простые числа. Но и позже, хотя мы работали с простыми числами уже не одну неделю, она не поняла, что такое простое число.

Снова и снова она повторяла, как нравится ей «разгадывать секреты». Этой фразой она (и не только она) выражала свое удовольствие тем, что ей удалось решить задачу и понять, как это получилось. Почти все ученики в классе воспринимали эту игру как что-то необычное и не имеющее отношения к школе.

Потом мы занялись игрой на деление с помощью бумажных стаканчиков. Как и другие Дети, Марджори раскладывала по стаканчикам, столько оранжевых (10) и белых (1) палочек, Сколько могла разложить поровну, а потом меняла оставшуюся оранжевую на белые — и снова раскладывала поровну. Эта игра ей очень понравилась, и она даже включилась в соревнование с Энн, у которой больше способностей к математике.

Если этих детей спросить, какое действие они выполняли, они несомненно скажут — деление, но сами они об этом не задумывались и не применяли те немногие знания о делении, которыми владели. Если мы позволяем детям делать практические арифметические действия перед выполнением операций с цифрами, все равно не надо наталкивать их на слишком поспешные обобщения относительно сделанного. Вместо этого мы должны суметь создать такие ситуации, в которых бы дети сами захотели усовершенствовать метод выполнения практических действий, — вроде соревнования на деление между Марджори и Энн — причем так, чтобы в поисках лучшего метода они сами делали собственные обобщения.

Предположим, ребенок не знает, что 42: 3 = 14, он не знает способа решения этой задачи. Мы даем ему 4 оранжевые и 2 белые палочки и предлагаем разложить их поровну в три стаканчика. Он кладет по одной оранжевой палочке в каждый из стаканчиков, оставшуюся меняет на 10 белых, затем, разложив 12 белых палочек по трем стаканчикам, выясняет, что в каждом стаканчике оказалось по 14 палочек. Он проделает эту операцию много раз, прежде чем поймет, что, получив остаток из одной оранжевой и двух белых палочек, дальнейшие операции можно сделать в уме, не прибегая к обмену оранжевой палочки на белые.

На следующий день я решил ускорить процесс. Когда девочка попросила меня поменять оранжевую палочку на белые, я спросил, не может ли она так сказать, без обмена палочек, сколько белых окажется в каждом стаканчике. Если бы она понимала деление, то смогла бы сказать, но такого не случилось. Оставшись наедине со своей задачей, она возвращалась к прежней системе, в которой понимала, что делает и что получается.

Значение этого факта трудно переоценить. Идея выполнения деления в уме, а не с помощью палочек не прижилась в ее сознании, поскольку это была моя идея, а не ее, в этой идее у девочки не было интеллектуальной потребности. Мы не должны обманывать себя, как я»это делал многие годы, подводя детей к ответам тщательно подобранными наводящими вопросами. Дети, которых подвели к ответу на вопрос учителя, потом оказываются беспомощны, если только не вспомнят тот самый вопрос и не смогут задать себе аналогичный, а как раз этого-то они и не могут. Единственный ответ, который застревает в голове ребенка, — ответ на вопрос, который он задавал или мог задать самому себе.

Вчера мы играли в другую игру. Я дал Марджори 2 белые палочки и спросил, сколько разных прямоугольников она сможет из них сложить. Она убедилась, что только один. Я добавил одну палочку и задал тот же вопрос. Снова получился лишь один прямоугольник. Из четырех палочек можно было составить два прямоугольника: 1 х 4 и 2 х 2. Так мы дошли до 20, находя множители каждого из чисел либо отмечая, что данное число простое. Ни разу на всем пути до 20 ни Марджори, ни более способная Энн не решили задачу, воспользовавшись тем немногим, что они знали о множителях. Получив 10 палочек, они не подумали: «Мы сможем сложить прямоугольник в 5 палочек длиной и в 2 шириной». Они шли к цели всякий раз методом проб и ошибок, однако двигались к цели значительно быстрее, если видели, какая комбинация возможна, а какая нет.

Лишь позже я понял, что постоянно увели вбивающаяся скорость решения задачи — это начало, семя, из которого произрастет способность к обобщениям и абстрактному мышлению. Это напомнило мне пример, повторявшийся неоднократно. Когда у ребенка было 12 палочек, он составлял прямоугольник 6x2, затем делил его пополам и складывал прямоугольник 3 х 4. В процессе работы подход к задаче становился все более экономичным и рациональным. Путь от понимания к выражению своей мысли словами непрост, но они прошли этот путь. Важно лишь не торопить этот процесс.

Работа изменила большинство моих идей об использовании палочек Куизенера и других материалов. Поначалу мне казалось, что мы можем использовать их для более быстрого обучения, и многие учителя пользовались ими именно с такой целью, но это оказалось большой ошибкой. Что мы действительно должны были делать, так это воспользоваться упомянутыми материалами так, чтобы облегчить детям обобщение собственного опыта и открытий, понимание того, как «работают» числа и арифметические операции. Наша цель — строить прочно, и если это означает, что строить надо медленнее, значит, надо строить медленнее. Некоторые темы мы начнем гораздо раньше, чем обычно, — дроби например, а некоторые, такие, как деление больших чисел, можно и отложить. Оптимальные сроки подскажут сами дети, их интеллектуальный прогресс.

Уже четыре или пять лет мне приходится твердить учителям, что, если мы хотим «научить» детей тому, что в школе называется «основными арифметическими фактами», то есть, например, тому, что 3 + 4 = 7и5х4 = 20, наилучший способ сделать это — дать возможность детям открыть эти факты самим, на основе эксперимента, подобно тому, как эти две девочки открыли для себя основные свойства чисел. Утверждение, что 3 + 2 = 5 будет усвоено лучше не как факт, который кто-то «изобрел» и который можно только лишь запомнить, а как свойство числа 5. Это свойство, по которому группа из 5 предметов может быть разделена на группы из трех и двух предметов, не человеческое изобретение, а факт реальной природы. Утверждение, что 3 + 2 = 5 — только один из путей записать и рассказать о явлении природы.

Один из нескольких? Другие способы: 2 + + 3 = 5, 5 — 2 = 3 и 5 — 3 = 2. Все четыре эти утверждения, которым в школе учат обычно порознь, как не связанным друг с другом фактам (а значит, и запоминаются они порознь), на самом деле могут и должны быть объяснены как один факт — тот непреложный факт, что из пяти предметов можно сформировать группы из трех и из двух предметов.

Однако этот факт дети могут открыть для себя сами. Они не должны принимать его на веру и слепо запоминать. Они могут использовать реальный мир и свои чувства, чтобы установить этот факт, проверить его и открывать вновь столько раз, сколько необходимо. Позволю себе еще раз подчеркнуть «если» в словах: «Если мы хотим научить детей этим фактам». Ни в коем случае нельзя считать, что если мы не научим ребенка этим фактам, то он никогда их и не узнает, как нельзя считать, что, показав ребенку однажды способ нахождения основного свойства числа 5, подтолкнем его к тому, что все остальное время он будет стараться найти свойства других ч исел. Для большинства детей это не очень интересная задача.