Записка для методической комиссии по математике

 

Мы требуем от детей, чтобы они задумались о смысле того, что делают. Мы говорим им, что это — верный способ получить правильный ответ. Однако это может привести к одному из парадоксов или противоречий, столь характерных для элементарной математики. В таких случаях ученик, не отходящий от стереотипного: «Ну и ладно, буду делать, как мне велят, это не моя печаль!», прекрасно справляется с заданиями, в то время как другой, кто воспримет требование учителя буквально и будет тщательно обдумывать каждое свое действие, запутается сам и запутает учителя до изумления.

В одном из пятых классов ученикам было предложено подумать, как разделить целое на дробь. Учитель сказал: «Попробуйте самостоятельно разделить 6 на ¹/₂. Ученики твердо усвоили то, чему их научили раньше: что «разделить 8 на 4» нужно интерпретировать либо как «Сколько раз 4 содержится в 8?», либо как «Если вы разделите 8 на 4 равные части, сколько получится в каждой части?» Большая часть класса пошла первым путем: «Сколько раз ¹/₂ содержится в 6?» — и пришла к выводу, что 12. Но две девочки, прекрасно усвоившие умножение на дроби несколькими днями раньше, решили пойти другим путем: «Если вы разделите 6 на половинки, сколько получится в каждой части?» — «Естественно, 3».

Логика девочек была безупречна, моя же никуда не годилась и привела к неприятностям. Я не сказал им, что вторая интерпретация здесь не годится, более того, бессмысленна в случае деления на дробь. Не сказал, потому что не понимал это сам. Поскольку я изложил им правило, они заключили, что оно должно иметь смысл, и фактически перевернули его так, чтобы оно получило смысл. 6, деленное на ¹/₂, должно было означать только 6, деленное пополам.

Мои неточные определения обусловили их непонимание. Как и у большинства людей, мое применение слова «разделить» противоречит его математическому смыслу. Мы говорим: «Раздели пирог на 4 части», понимая под этим, что пирог нужно разрезать по двум взаимно перпендикулярным линиям, пересекающимся в центре пирога; мы говорим: «Раздели отрезок пополам», понимая под этим, что нужно найти среднюю точку этого отрезка; короче, мы говорим о делении на половинки, когда правильно было бы предложить разделить на 2. Поэтому для этих девочек вполне естественно было решить, что деление 6 на V₂, то есть напополам, дает в итоге 3.

Один из мальчиков, сам того не желая, внес еще большую неразбериху. В начале урока он вполне толково объяснил у доски, что смысл задачи — выяснить, сколько '/₂ содержится в 6; ответ — 12. И тут же сделал ошибку, которую сделали бы и многие взрослые. «Двенадцать чего?» — спросил он и ответил: «Двенадцать половинок», — и соответственно написал на доске ¹²/₂. Он тут же увидел свою ошибку, исправил ее, но было уже поздно: оппозиция послала своего лидера к доске, и та, использовав другую интерпретацию деления, доказала, что 6: ¹/₂ = ¹²/₂, то есть 6. Поскольку это была бессмыслица, все стороны остались при собственном мнении.

В дискуссию включились другие ученики, чтобы доказать девочкам, что они не правы, но у них ничего не получилось. Чтобы вывести заблудившихся людей из леса, вы должны пробиться к ним. Но никто не мог понять, как у девочек получился такой результат, и никто не мог им помочь. Все повторяли свое без конца. Наконец кому-то пришла мысль попросили одну из девочек решить на доске задачу 6 х ¹/₂Она написала 6 х ¹/₂ = 3. Хорошо, значит, и при умножении, и при делении 6 на V₂ получается один и тот же результат? Тут девочка сказала: «Нас обманули!» Интересно, как часто дети чувствуют себя обманутыми нами, их учителями?

Другая девочка прошептала своей подруге: «Мы попали впросак!» — потом пролепетала, что деление и умножение на дробь, видимо, одно и то же. До нее не доходило, что оба раза она умножала на дробь. Не выдержав общего напора, она сказала подруге: «Ладно, не будем спорить. Половина 6 равна 12. Не знаю почему, но 12».

Эти слова ярко высветили отношение детей ко всему, что делается в школе. Сколько же вещей, которым я учу, было воспринято учениками таким образом? Мои слова могли показаться ребенку противоречащими здравому смыслу, смыслу слов в английском языке и даже тому, что я сам говорил некоторое время тому назад, но он должен был склониться перед авторитетом учителя и принять его слова вне зависимости от того, есть в них смысл или нет.

В конечном счете, я помог девочкам понять их заблуждение и честно признался, что мои собственные слова были его причиной. Но потом я несколько недель думал о возможных противоречиях в моих объяснениях в классе и обрел чувствительность к ним. Этот случай показал мне, что мы, учителя, должны начать рассматривать наши идеи и методику глазами тех, кто ничего не знает, кому все нужно доказывать и кто не терпит непоследовательности и парадоксов. Мы должны освободиться в классе от неоднозначности, неточности и противоречий. Поскольку необходимость внести ясность и последовательность в «элементарную» математику является одной из основных проблем, стоящих перед математиками, это нелегкая задача.

Июля 1958 г.

 

Однажды, несколько лет тому назад, кто-то из друзей спросил меня: «Ты видел когда-нибудь силиконовую шпатлевку?» — и, услышав, мой отрицательный ответ, протянул мне комок. Я размял его, расплющил, вытянул в длинную тонкую веревочку, разорвал на маленькие кусочки. «А теперь скатай ее в шарик и брось на пол!» — предложили мне. Я так и сделал. Мои глаза, мой мозг, каждая моя косточка знали, что должно произойти: шпатлевка должна расплющиться на полу и пристать к нему. Когда я швырнул комок об пол, мой взгляд последовал вниз за ним чисто инстинктивно, но шарик оказался чуть ли не на уровне моих глаз: он подскочил. В какие-то ужасные доли секунды вселенная вокруг меня заколебалась. Я был на грани дикого ужаса. Но тут же что-то щелкнуло у меня в голове, кто-то внутри сказал: «Ага, он прыгает, очень забавно, чего только люди не придумают!» — ив мире снова воцарился порядок и разум.

Это заставило меня вспомнить о маленькой девочке—первокласснице? второкласснице? — которая расплакалась, когда учитель рассказал в классе, как пишется слово «однажды». Учитель был уверен, что девочка плачет потому, что слово трудное. Но не исключено, что она плакала оттого, что было разбито вдребезги ее представление о том, как должны писаться слова. Может быть, ей было бы легче, если бы учитель допустил, что правила написания слов непостижимы для нормального ума. Наверное, детей отвращает от школы не только то, что слова учителя кажутся им иногда бессмыслицей, но прежде всего манера учителя преподносить эти бессмысленные веши в одном ряду с нормальными, и ребенок начинает чувствовать, что если он чего и не понял, то это — его вина, как и было задумано.

То, что нам кажется простым, естественным и самоочевидным, совсем не является таковым для ребенка. Возьмем, например, число 10. Мы так привыкли к нему, что не представляем, какое удивление может испытать кто-то, знающий 1 и 0 по отдельности, когда ему скажут, что эти две цифры вместе означают гораздо большее число. И, знакомя детей с этим числом, мы должны дать понять, что здесь кроется нечто условное, чтобы они не растерялись перед этой тайной. Иначе они испытают шок, который никогда не изгладится из их памяти.

Но дети, самостоятельно выучивающиеся читать, не впадают в истерику при виде слова «однажды» или любого другого слова, которое пишется не так, как слышится. Дети, учащиеся самостоятельно тому, что их интересует, не теряются при виде чего-то необычного или странного. Они могут думать и фантазировать на тему того, чего не понимают, но сам факт непонимания их нисколько не беспокоит. Беспокойство возникает тогда, когда взрослые начинают контролировать их учебу и навязывают свое понимание, и дети начинают волноваться из-за своего непонимания как источника потенциальных неприятностей со стороны взрослых.

Точно таким же образом детей не волнует и не пугает парадокс числа 10, если дать им возможность познакомиться с этим числом 10 как с другим ребенком, то есть позволить им иметь с ним дело и думать о нем, только когда им захочется. Однажды они привыкнут к 10; эта цифра больше не будет им казаться странной, и они сами удивятся, что в ней странного.

Мне в детстве никто не «объяснял» 10, или функцию основания, или ее место в нашей системе счисления. Я учился в школе со старыми порядками, где ограничивались тем, что показывали, как нужно решать задачи, не снисходя до объяснения, почему нужно делать так, а не иначе, и в чем здесь смысл. Наверное, детям, не склонным к бездумному подражанию, учиться в этой школе было трудно. Но со мной все было в порядке, я спокойно делал, что мне велели, а на досуге додумывался и до смысла 10, и до других вещей, как и когда мне хотелось.

Потому что неудачные объяснения хуже, чем их отсутствие.

Ноября 1958 г.

 

Нелады с арифметикой возникают у детей оттого, что они должны запоминать массу фактического материала, представляющегося им чем-то абстрактным — без образа, смысла и интереса; к тому же их заставляют запоминать массу правил, чтобы манипулировать этими фактами, и все это дети должны воспринимать на веру. Я не должен постоянно проверять мои арифметические операции практикой, поскольку доказал себе, что правила работы с числами основаны на законах, реально существующих в мире чисел. Я уверен, что могу спокойно применить традиционный метод умножения для того, чтобы умножить 24 на 36, то есть 24 х 36 = (20 х 30) + (4 х 30) + (20 х 6) + + (4 х 6). Но если я не уверен в правильности решения, использование традиционных методов теряет смысл. Где гарантия, что все эти хитрые манипуляции типа «перенос нуля в произведение» или «сдвигание следующей строки на один разряд» дадут правильный результат? Как в этом убедиться на основе здравого смысла?

Достоинства палочек Куизенера[3] в том, что с их помощью ребенок может не только догадаться, как самому выполнять некоторые действия, но также и убедиться в их полном соответствии реальным фактам мира чисел.

Палочки были изобретены и впервые использованы Куизенером, но очень большую роль в их распространении и использовании сыграл д-р Калеб Гаттеньо, английский профессор математики и психологии, который сделал их известными во многих странах, в том числе в США, где их используют (и часто неправильно) во многих школах.

«Достоинства палочек Куизенера...» Сейчас я отношусь к ним скорее скептически. Билл и я увлеклись этими палочками, поскольку мы видели тесную связь между миром палочек и миром чисел и предполагали, что дети, работая с палочками, увидят смысл операций в мире чисел. Но вся беда в том, что я и Билл уже знали все о мире чисел. Мы могли сказать: «Ну, палочки ведут себя совсем так же, как числа». Но если бы мы были невеждами в мире чисел, смогли бы мы это увидеть? Не уверен. Конечно, они помогли детям в моих и в других классах. Но столь же часто не помогали. Так же часто учителя, их использовавшие, не владеют методикой. Они не видят связи этих палочек с миром чисел и с операциями с числами; естественно, они не могут использовать палочки для объяснения материала на уроках арифметики.

Ноября 1958 г.

 

Способны ли палочки Куизенера помочь нам руководить стратегией слабых учеников, как нам хочется? И не случится ли так, что наши «стратеги» найдут брешь в логике учителя? Ну, представим себе хотя бы нашу старую знакомую Эмили. Я спрашиваю: «Что получится, если 3 разделить на 4?» — «Три четверти». — «4 разделить на 3?» — «Четыре третьих». — «4 на 5?» — «Четыре пятых». — «5 разделить на 4?» — «Пять четвертых». Конечно, я прошу детей смотреть на палочки. Но подсказывают ли палочки ответ? Может быть, это просто игра такая? Предположим, мой следующий вопрос будет сформулирован так: «А если разделить плих на плюх?» Ответит ли она: «Плих плюхих»? «А если плюх на плих?» — «Плюх плихих!» Стратегия хоть куда, если дает правильные ответы! Подозреваю, что и другие делают то же самое, а Гил выдает приятелям совет типа: «Бери числителем дроби первое число...» И с этой стратегии их не собьешь, если ограничишься советом держать палочки и смотреть на них.

Один из способов вывести этих «стратегов» на чистую воду — изменить форму вопросов. Возьмем желтую палочку (5) и спросим: «Если она — 1 (целое), покажи мне ³/₅» и т. д. Такие вопросы позволяют выяснить, действительно ли они видят палочки и их соотношения.

Может быть, что-то в этом есть, когда ответить на вопрос нужно действием, а не словами? Что-то сделать, показать в ответ на вопрос...

«В ответ на вопрос...» Это неплохая идея, только увлекаться ею не стоит. Заставить детей действовать, а не говорить — это отнюдь не улучшает положения, если при этом ученики по-прежнему нуждаются в том, чтобы учитель оценил их ответ как правильный или нет.

Нам нужны задачи, где цель четко определена, как в головоломках: разъединить кольца, закатить мяч в лунку и т. д. Никто ведь не спросит: «А правильно я сложил головоломку?», все и так ясно.

Я скажу об этом позже, когда речь пойдет о математической лаборатории.

Декабря 1958 г