Наблюдения, сделанные в классе Билла Холла 2 страница

Многие люди, поняв в конце концов, что человеческий интеллект в широком смысле является в высшей степени изменяемым, могут прийти и приходят на самом деле к неверному заключению, что детей можно «научить» интеллекту, как учат математике, языку или истории, по принципу: «Я знаю что-то, что вы тоже должны знать, и собираюсь заставить вас выучить это». Дети неизменно противятся такому обучению.

Мы не должны учить людей сообразительности. Они изначально сообразительны. Мы должны только перестать делать их тупыми.

Изобретательные учителя, «талантливые» учителя, учителя-новаторы, придумывающие новые и лучшие методы обучения, могут приносить ученикам столько же вреда, как учителя-традиционалисты, цепляющиеся за учебники, — если они не прекратят учить, учить до бесконечности. Они напоминают добросовестного человека, которого попросили подтолкнуть легковую машину, чтобы она завелась. Он пыхтит, напрягается, сталкивает машину с места; вот она катится, и двигатель заработал. «Спасибо большое! — говорит водитель. — Дальше я сам». — «Нет, вы не можете сами! — настаивает доброхот. — Машина не двинется, если я не буду ее толкать». Если водитель добр и нерешителен, машина катится дальше черепашьим шагом; если же он нетерпелив и жесток, то нажимает на акселератор, машина вихрем уносится вперед, а доброхот остается лежать на дороге. Дети слабее взрослых: большинство из них не могут покинуть учителя.

Изобретатели умных методик придерживаются мнения, что если благодаря одной идее удается чему-то научить, то благодаря сотне хороших идей удастся научить в сто раз большему. Ничего подобного. Сотня хороших идей способна остановить обучение.

Мне — школьному учителю — понадобилось много времени, чтобы заметить закономерность: в те дни, когда я являлся в класс, переполненный грандиозными идеями, касающимися обучения, редко происходило что-то заслуживающее внимания. Дети, с их быстротой и точностью восприятия, сразу улавливали, что я какой-то странный, «не тот». Я уже не был сорокалетним учителем, находящимся в комнате с десятилетними учениками, я превращался в «ученого», экспериментирующего с подопытными животными. И в класс я пришел не затем, чтобы поговорить о вещах, интересующих меня или их, и порадоваться нашей общей работе, а чтобы проделать над ними опыт. Они мгновенно возвращались к испытанной оборонительной стратегии и маневрам уклонения. Снова взгляды украдкой, упрашивающие о подсказке, и жалобное: «Я не понимаю!» Они глупели на глазах.

К тому времени, когда я учил свой последний пятый класс, я достаточно поумнел, чтобы при первых признаках оборонительной стратегии оставить в покое мои великие проекты и вернуться к нормальной, естественной и честной манере поведения в классе. Если же мне случалось раздобыть какую-нибудь новинку для детей, я спокойно пристраивал ее в уголке и помалкивал, пока любопытные не начинали меня расспрашивать, что это такое и для чего оно. Если же мне нужны были какие-то действия, я сам их проделывал, ничего не говоря. Наверное, то, что неинтересно мне, не заинтересует и их, и я не пытался заставлять их делать вещи, нагонявшие на меня скуку. Но уж то, что мне нравилось и удавалось, я проделывал в классе с удовольствием.

Февраля 1960 г.

 

Я вручил Эдварду пригоршню палочек и спросил: «Сколько тебе понадобится белых (1) палочек, чтобы составить равное число?» Он разложил палочки в ряды по 10 см; получилось 15 таких рядов и еще одна малиновая (4) палочка. Потом он начал считать ряды, отсчитывая сразу десятки — вполне разумно — и говоря: «10, 20, 30...» — и так до 100. Потом, перейдя к остальным рядам, он сказал, к моему изумлению: «200, 300, 400, 500, 600, 604».

Я попросил его повторить. Он сообразил, что допустил ошибку, досчитал, как и прежде, до 100 и продолжал: «101, 102, 103, 104, 105, 109». Этот вариант его не удовлетворил. Он принялся считать снова. На сей раз перед тем, как считать ряды десяток, он сказал: «Я буду считать каждый ряд единицей». Тем не менее, досчитав до 10-го ряда включительно, он решил, что досчитал до 1000, в каждом последующем ряду прибавлял 100, закончил где-то за 1500. Опять не понравилось. Подумал немного, вернулся к первоначальной системе, досчитал несколько раз до 604 и уверился окончательно, что получил правильный ответ.

Я разделил все палочки на две части: десять рядов по 10 см — в одной из них и пять таких же рядов и малиновая палочка — в другой — и спросил: «Сколько белых палочек (1) будет в каждой части?» — «100 — в большой, 54 — в меньшей», — ответил Эдвард. «А вместе?» Я соединил две части. Он повторил тот же ритуал счета и выдал сумму: «604».

И тут до меня дошло, что мой вопрос представляется ему бессмысленным. Используя палочки, я пытался довести до учеников понятие числа. Из ответов Эдварда я понял, что палочки в его глазах — одно, а числа — совсем другое.

Должен сказать, что Эдвард был одним из самых неуспевающих учеников, он отставал от класса по всем предметам, а уж по арифметике — особенно. Если бы он справлялся со школьными заданиями по арифметике, я не задумался бы о его понимании.

Что я мог, должен был бы сделать? Дать ему огромное количество белых (1 см) палочек, чтобы он попытался выложить самое большое число, которое поместится на его столе. Столько палочек у меня не было. Можно было бы заменить их деревянным метром или мерной лентой с сантиметровыми делениями, чтобы он мог проверить свои идеи. Но для начала мне нужно было втолковать ему, если это имело смысл, что данное количество белых (2 см) палочек, скажем, 6, в общей сложности действительно составляет ряд длиной 6 см, равный 6-сантиметровой палочке. Палочки должны были помочь согласовать понятие числа как количества (6 палочек в 1 см, 5 палочек в 1 см) с понятием длины — 6 см и 5 см. Это было понятно мне. А вот Эдвард этого не понимал.

Какими путями шла его мысль, я никогда не узнаю. Я задал ему вопрос, в ответ он должен был назвать число. Он знал, что палочки ассоциируются с числами. Должно быть, он собирался поманипулироватъ с числами так или сяк в надежде набрести на ответ, который меня устроит. Он не умел использовать реальную действительность, воспринимаемую его органами чувств, для получения ответа или проверки полученного результата. Только через год я продумал задачи, которые должны научить детей проверять результаты практикой. Но об этом в другой раз.

Я убрал малиновую палочку, снова разделил другие палочки на две части — 100 и 50 — и спросил: «Сколько в каждой?» Он ответил правильно. «А вместе?» — «600!»

Я выдвинул 10 рядов. «Сколько?» — «100». Добавил одну белую палочку. «А теперь?» — «101». Еще одна белая палочка. «Теперь?» — «102». И так до 109. Но когда я добавил еще одну белую палочку, дополнив 11-й ряд до 10, то услышал: «200».

Что делать? Я выдохнул: «На сегодня достаточно».

Прежние учителя Эдварда очень много ему «помогали», особенно по арифметике. Помощь заключалась в том, что в него вдалбливали образцы решения задач, и никто не озаботился узнать, как и я не делал этого годами, что он знает о числах, какова его модель мира чисел и как она работает. В спокойном состоянии этот мальчик помнит много образцов и может их применять, в этом смысле он далеко не худший в классе. Но это мнимое знание.

Различие между мнимым и истинным знанием необходимо знать, это очень важно, но многие учителя не подозревают о его существовании. Они считают: если ученик не знает умножения, ему нужно показать, как это делается, и дать ему поупражняться. Он делает ошибки? Объясняем еще раз и даем новую порцию упражнений. Если эту процедуру повторили раз 10, а ученик продолжает делать ошибки, значит, он либо не способен, либо не хочет учиться; другой вариант — он либо тупой, ленивый, неорганизованный, либо с эмоциональными отклонениями.

Как тут не вспомнить о добром старом правиле, действующем во всех школах, независимо от их статуса: если ученик учится хорошо, это заслуга школы; если он учится плохо, это его вина. Формулировки меняются со временем, сейчас никто не скажет: плохой и тупой, но «с пробелами в культурном воспитании» или «не способный к усвоению материала», но суть остается прежней. Ответственность за свои дела учителя и школа признают, только если результаты их устраивают.

Мы не понимаем, что ребенок может быть не способен к обучению потому, что не воспринимает смысл тех основных символов, с которыми работает. Если сами числа лишены для него смысла, действия с ними тоже бессмысленны. Учить таких детей умножению, делению и т. д. — все равно что строить десятиэтажный дом на фундаменте из старых картонных коробок. Хоть как старайся, ничего не выйдет. Сначала надо заложить прочный фундамент. Дети, подобные Эдварду, а таких немало, не оказались бы в этом незавидном положении, если бы их учителя с самого начала старались строить медленно и надежно, а не «проходили» материал галопом.

Как-то я предложил ученикам подобрать пары чисел, в которых меньшее составляло бы ¹/₅ от большего. Эдвард написал 1 и 5, потом 5 и 25. Потом он посмотрел на 1 и 5 повнимательнее. А что, если попробовать прибавлять по 1 к каждому числу? Получатся пары: 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 и так далее. Он принялся все это записывать. Исходная задача была давно забыта; неуправляемая повозка его мышления скатилась с намеченной колеи и покатилась бог знает куда.

Одна из причин трудностей при проверке своей работы, встречающихся у учеников такого типа, как он, заключается в их неспособности видеть и помнить две разные вещи: что они должны делать и что они действительно делают. Фокус внимания Эдварда перемещается так медленно, что в тот момент, когда он осознаёт, что ему полагается делать, он полностью выпускает из вида, что делает сейчас, и наоборот. Иногда я представляю себе, как он набирает номер телефона. Перед ним лежит бумажка с номером. Заглядывая в нее, он начинает набирать. Набрав две-три цифры, он снова смотрит в бумажку: что там дальше? Пока смотрел в бумажку, забыл, что успел уже набрать, и все начинается сначала. Может быть, с телефоном-то у него как раз все в порядке, но примеры и задачи он решает именно таким образом. Я часто слышу, как он бормочет: «На чем же я остановился?»

Когда я предложил ему подобрать пары чисел, одно из которых составляет половину второго, он принялся писать: 1 — половина 2; 2 — половина 4; 4 — половина 6; 6 — половина 8. То же для чисел, одно из которых составляет одну треть другого: 1 — ¹/₃ от 3; 3 — ¹/₃ от 6; 6 — ¹/₃ от 12; 12 — ¹/₃ от 18. Для ¹/₄: 1 — ¹/₄ от 4; 10 — ¹/₄ от 40; 40 — ¹/₄ от 70; 70 — ¹/₄ от 100... Или: 7 — ¹/₂ от 14; 14 — ¹/ ₂ от 21; 21 — ¹/₂ от 28... То есть он не воспринимает соотношения между двумя числами дальше сложения. Эдвард привык к тому, что на уроках арифметики умом не блещет, потому что никогда не понимал, что делает на этих уроках. Бездумное поведение стало привычкой. Попробуй заставь его думать сейчас! Но, вспоминая Гаттеньо и умственно отсталых детей, я хочу надеяться, что еще не все потеряно. Интеллект можно разрушить, но, вероятно, его можно и восстановить.

Марта 1960 г.

Эта запись свидетельствует о том, что я уже кое-чему научился с 14 февраля.

Ребенок, который действительно чему-то научился, может использовать свои знания и использует их. В его мозгу это становится связанным с реальностью, следовательно, при случае могут образоваться и другие связи этого знания с реальностью. Знанию, не связанному с реальностью, не за что уцепиться, оно изолировано, и использовать его нельзя.

Наши первоклассники используют палочки. Они знают их по названию и по длине. Они называют оранжевую палочку десяткой, это плохо, но искоренить это мы не можем. Они могут считать до 100 и дальше. Им рассказали обычную школьную мудрость: единицы, десятки и т. д., и некоторые из них уже повторяют все это. Как-то я решил проверить, как они понимают и используют тот факт, что, например, число 38 можно представить с помощью трех оранжевых (10) палочек и одной коричневой (8) палочки. Я спрашивал их по очереди, какой длины должен быть ряд белых (1) палочек, чтобы представить число 38. Одна маленькая девочка сразу взяла три оранжевые и одну коричневую палочку, выложила их в длину и удивленно посмотрела на меня: что тут сложного? Но каждый второй ученик, не исключая и самых способных, пытался выложить это число из белых (1) палочек, без конца сбиваясь со счета.

Это свидетельствует о том, что, даже называя темно-зеленую (6) палочку шестеркой, дети не поняли до конца, что она равна 6 белым, несмотря на то что теоретически они это знают. Шесть — это так называется темно-зеленая палочка; название не имеет никакого отношения к ее длине и к ее соотношению с длиной других палочек. Есть цифры, и есть палочки; и те и другие — символы в соответствующей системе. Решая пример 5 + 4 =?, они быстренько приложат палочку - «пятерку» к палочке -«четверке», обнаружат, что их общая длина такая же, как у палочки - «девятки», но что эта операция может быть проделана с группами в 5 и 4 однородных предметов, они не понимают.

Некоторые второклассники, решая примеры типа 59 + 42 + 35, почему-то выдают ответы порядка 1200 и больше, не испытывая при этом никаких сомнений. Они не понимают, что 1200 — это слишком много, потому что не представляют, сколько это — 1200. Мы не можем ожидать, чтобы дети сознательно работали с числами и контролировали себя, прикидывая, насколько результат их действий соответствует действительности, если не дадим им представления о величине этих чисел. Возможно, стоит им задавать побольше вопросов типа: какой длины, по их мнению, будет ряд белых (1) палочек, если надо выложить число 38 (или 50, 75, 100, 200, 500, 1000)? Сколько белых палочек понадобится, чтобы заполнить данные прямоугольники, листки бумаги, поверхность стола, пол комнаты? Сколько их понадобится, чтобы заполнить коробки разного размера?

Дети с удовольствием воспринимают всякого рода сокращенные формулировки математических задач, если я объявляю, что мне лень записывать подробно. Во-первых, это правда. Во-вторых, детям дается шанс снисходительно отнестись к моей лени и сделать мне приятное (что тоже правда), приняв мой способ записи. Они не любят, когда им говорят, что определенный символ «значит» то и то. Это звучит непонятно и деспотично. Но если объяснить им соотношения или действие словами, понятными им, они скоро с ними осваиваются и охотно позволяют потом перейти к схематическим выражениям. Например, от формулировки: «Две белые равны по длине одной красной» — мы безболезненно переходим к записи: «2 белых = 1 красной» или «26 = к».

В конечном счете, люди изобрели математические символы для сокращения записи, так что эти мои действия и логичны, и исторически оправданны. Ни один символ ничего не «значит», пока мы не договорились о его значении, так почему бы и детям не поучаствовать в этом решении?

Мы делаем большую ошибку, заставляя детей символически производить действия, которые они не могли произвести конкретно. Ребенок должен сначала оценить, где больше белых палочек — в группе из 37 или в группе из 28 этих палочек — и насколько больше, а уже потом решить пример 37 — 28 =? и привыкнуть решать такие примеры до того, как ему сообщат правило их решения. И это относится ко всем арифметическим действиям. Правила должны восприниматься детьми как более простой и быстрый способ получения результата, который они уже научились получать другим способом, а не набор не совсем понятных директив для получения ответов на бессмысленные вопросы.

В целом я и сейчас так думаю. Но сейчас в руках детей оказались дешевые калькуляторы, с помощью которых дети могут исследовать числа и действия с ними. Возьмем простейший калькулятор, выполняющий только четыре арифметических действия, больше ничего, и покажем детям, как с ним работать. Таким образом, объясняя решение примера 3 + 8 =?, мы говорим: «Включи калькулятор, нажми на клавишу 3, потом на клавишу +, на клавишу 8 и на клавишу = и получишь ответ. То же для умножения и т. д., меняя лишь символ действия. А что это значит? Мы оставляем детей в неведении. Пусть делают что хотят. Наверное, многие будут изобретать собственные задачи и поручатъ калькулятору решение, и все это без всякой системы. Таким образом, они соберут массу случайной и не имеющей смысла информации, как это происходит при усвоении детьми языка. Но, как и в языке, у них включится интуиция и потребность экспериментировать, чтобы посмотреть, как будут работать числа и действия. Экспериментальным путем они научатся использовать машину для собственных нужд и прогнозировать ее работу.

Короче, они научатся отыскивать смысл, строить собственные логические модели хотя бы для части мира чисел.

Апреля 1960 г.

 

На уроках математики у меня в классе сидят шестнадцать человек. Четверо из них откровенно слабы; один тянет на троечку; все другие — исключительно смышленые и сообразительные дети, с хорошими математическими способностями. Я много раз объяснял им разрядное значение цифр.

Однажды я спросил: «Предположим, я отправился в банк с чеком на 1437,50 долларов и, получая деньги, попросил выдать мне эту сумму по возможности десятидолларовыми банкнотами. Они выполнили мою просьбу. Сколько таких банкнот я получил?» Я написал сумму на доске. После тщательных подсчетов в тетрадках ученики выдали ответы. Ни одного правильного. Некоторые просто фантастические. После двух-трех попыток некоторые все же добрались до истины, но большинству эта задача оказалась не по зубам.

Я стер первоначальное число и написал 75,00 долларов. Сколько тут десяток? Ответили все. Стер это и написал 175,00 долларов. Сколько тут десяток? Задача оказалась потруднее, сообразили немногие, а большинство ошиблось. Подождав немного, я спросил, указывая на 7 в числе 175: «О чем мне говорит эта семерка?» Они ответили, что это означает 70 долларов, 7 десятков долларов. Я записал это на доске и спросил: «А единица?» Все дружно сказали, что это — сотня долларов. И никто не сказал, что это — дополнительные 10 десятков к тому, о чем мы только что говорили. «Сколько десятков в сотне?» Все сказали: 10. Я показал, что эти 10 десятков плюс прежние 7 десятков составят вместе 17 десятков. И потом написал на доске первоначальное число — 1437,50 долларов и — спросил, сколько десятков показывает каждая цифра. Трое сказали, что всего десятков — 3, четверо — что их на 40 больше, и только один — что их еще на 100 больше, а общий результат — 143 десятка. Я обвел кружком три цифры — 143 — в числе 1437. И тут все дружно загалдели: «Ой, и верно, я понял! Сразу видно! Как просто! Верняк!» Но я хранил скептическое молчание: я больше не верил в магическую силу «понятных объяснений».

Через два дня я написал на доске число 14357,50 долларов и спросил, сколько стодолларовых банкнот я смогу получить в банке по этому чеку. Ответы были разные: 43, 17, 107, 142, 604, 34, 13100 и 22. Один ученик ответил правильно. Четверо додумались до правильного ответа до того, как я написал все на доске. Остальные одиннадцать пребывали в шоке. И снова я расписывал на доске, сколько сотен представляет каждая цифра по отдельности и сколько их вместе. Но очень сомневаюсь, чтобы они поняли разрядное значение цифр и на этот раз.

Непонимание этих значений делает деление больших чисел сложным, а то и невозможным для многих детей. Пусть 260 нужно разделить на 5. Мы не можем разделить 2 (две сотни) поровну между пятью людьми, значит, мы должны превратить их в 20 десятков; у нас еще есть 6 десятков, всего получается 26 десятков. 25 из них мы можем разделить между пятью людьми, и каждый из них получит 5 десятков. Остался один десяток, его мы преобразуем в 10 единиц, которые и разделим на 5. Каждому человеку достанется 5 десятков и 2 единицы. Все это объяснение будет воспринято ребенком только тогда, когда он поймет разряды чисел и переход от высших разрядов к низшим; по этой причине для многих детей деление больших чисел так и остается головоломкой без ключа.

В исключительно важной и интересной книге «Как выжить на вашей родине» Джеймса Герндона есть потрясающая глава, озаглавленная «Тупой класс». В этом классе, в котором он преподавал несколько лет, были собраны самые неразвитые дети из всех начальных классов, которые не могли ничему научиться. И среди этой безнадежной компании самым безнадежным был один мальчик, абсолютно не способный ни к чему.

Однажды Джим увидел этого мальчика в кегельбане и с изумлением узнал, что он там официально работает по вечерам, подсчитывая очки в матчах между командами боулеров. Мальчик восседал на вышке между двумя площадками, ведя счет одновременно для обеих команд и зорко следя за положением на площадках. Джим специально подчеркнул, что это место досталось мальчику не в рамках федеральной программы социальной защиты недоразвитых детей. Менеджеры кегельбана нанимали его и платили ему потому, что он считал быстро и точно и нареканий на него никогда не было.

Тогда Джим решил задавать ему в школе задачи «из жизни кегельбана». Мальчик не мог их решить! Его ответы, касающиеся подсчета очков, были не только неверными, но просто абсурдными. Вполне сообразительный в жизни мальчик, переступая порог школы, превращался в глупца. Остается только сделать вывод, что сама школа, скучная и пугающая, оторванная от реального опыта и серьезных целей, сделала детей глупыми.

 

Июня 1960 г.

 

Каким образом можно определить, понимают дети какие-то конкретные вещи или нет? Когда я учился, то в общем-то знал, что я понимаю и что нет. Это никак не было связано с оценками. Учась на последнем курсе колледжа, я получал вполне приличные оценки по математике, но поближе к окончанию понял, что не имею ни малейшего представления об этом курсе математики. В Колорадо я долгое время считал, что мои ученики отдают себе отчет в том, что они понимают, а что нет. Я всегда настаивал, чтобы они меня предупреждали, когда не понимают, и я своими «умными» объяснениями рассею мрак их невежества. Но они предпочитали помалкивать. На своем горьком опыте я убедился в том, что едва ли один ребенок из сотни знает, понимает он или нет, а уж тем более если не понимает, то не знает почему. Если ребенок это знает, о нем не стоит беспокоиться: это заведомый отличник. Но как нам узнать, когда и что не понимают другие?

Первое, что приходит в голову, — объективная проверка. Но какого рода? И разве мне не приходилось неоднократно наблюдать, как дети непостижимым образом дают правильные ответы, не имея ни малейшего представления о сути своей работы? Они просто следуют правилам, слепо и бессмысленно. Некоторые умудрялись повторять точно мои объяснения, как попугаи, ничего в это не вкладывая. С другой стороны, многие дети настолько парализованы страхом проверок, что никак нельзя узнать истинное положение дел; другие настолько перепуганы и смущены, что теряются и не могут сформулировать то, что понимают.

Частичное решение проблемы — та проверка, которую я устроил в этом году и в которую включил самые разные задачи, подобранные по одному принципу: не дать сработать механизму автоматического поиска ответа и заставить учеников пошевелить своими мозгами. Можно попытаться по-другому сформулировать задачи. Но что делать, если результаты показали, что наши ученики едва ли усвоили что-то из того, чему мы их учили целый год?

Полезно было бы составить в уме образ того, что мы называем пониманием. Мне представляется: я понимаю что-то, если по крайней мере могу: 1) сформулировать мои знания собственными словами; 2) привести примеры; 3) опознать то, что я знаю, в другой форме и обстоятельствах; 4) увидеть связь между ним и другими фактами или понятиями; 5) использовать мои знания различными путями; 6) спрогнозировать некоторые следствия; 7) сформулировать противоположные или обратные утверждения. Это только предварительные наметки, но они помогут нам в будущем отличить действительные знания учеников от видимости знаний, другими словами, истинное знание от мнимого.

Многие скажут, что разницы между ними не существует. Прекрасный способ решения проблемы — сказать, что ее не существует. Этот фокус нашел широкое применение среди психологов. Согласно утверждениям многих из них, если вы можете сказать, что 7x8 = 56, то знаете все, что следует знать об этом конкретном факте, и никак не меньше, чем любой другой, кто в состоянии это сказать. Математик, ученик третьего класса и хорошо обученный попугай будут обладать полным и совершенно одинаковым пониманием этого факта. Единственная разница между математиком и третьеклассником состоит в том, что математик хранит в памяти массу таких фактов. Поэтому, чтобы сделать из третьеклассников математиков, нужно школить их и доводить до кондиции, чтобы знали много таких фактов. Обучите их говорить всё, что знал Эйнштейн, и вот вам новый Эйнштейн!

Просто удивительно, в какую чепуху могут уверовать люди.

Конечно, это имеет прямое отношение к бихевиоризму, все еще остающемуся в большой моде, несмотря на то что он многого не в состоянии объяснить. Очень удобная теория для учителей, которые пребывают в уверенности, что их работа — приносить и укладывать потихоньку-полегоньку крупицы информации в жадно разинутые клювы учеников, чтобы насытить их пустые мозги знанием; школа же представляется им своего рода поточной линией сборки классически образованных существ, оснащенной вычислительной техникой с запрограммированными командами. На входе — сырой материал, на выходе — готовая продукция со стандартным содержанием.

Но обрывки информации типа 7 х 8 = 56 не являются изолированными фактами. Это как бы части ландшафта, территории чисел, и тот является лучшим знатоком этой территории, кто четче всех видит, как эти части вписываются в ландшафт и сочетаются друг с другом. Математик знает, помимо всего прочего, что 7 х 8 = 56 иллюстрирует несколько фактов: что произведения, где один из сомножителей — четное число, тоже будут четными; что 7 x 8= 14x4 = = 28 х 2 = 56 х 1; что только эти пары положительных целых чисел дадут в произведении 56; что 7 х 8 = (8 х 8) — 8, или = (7 х 7) + 7, или = (15 x 4) — 4и так далее. Он также знает, что это выражение — символ соотношения, принимающего различные формы в реальном мире; например, прямоугольник со сторонами 8 и 7 единиц имеет площадь 56 квадратных единиц. Но ребенок, научившийся повторять как попугай: «Семью восемь — пятьдесят шесть», не будет иметь ни малейшего понятия о его отношении ни к реальному миру, ни к миру чисел. Он сможет опереться только на свою память. Подводит память — и ребенок говорит, что 7 х 8 = 23, или меньше, чем 7x5, или больше, чем 7 х 10. Даже зная, что 7 x 8 = 56, он не догадывается, что 8 x 7 — то же самое, или же не может применить свои знания на практике, например вычислить площадь прямоугольника со сторонами 7 и 8, никак не соотнося железно выученную таблицу умножения с реальными действиями.

Знания, изучение, понимание — понятия нелинейные. Это не маленькие кусочки фактов, которые можно выстраивать в ряды или в колонки. Область знаний в любой сфере деятельности, будь то математика, английский язык, история, наука, музыка да и что угодно, — это территория, и чтобы знать ее, недостаточно знать все ее составляющие части, но нужно знать их соотношение. Различие примерно такое же, как между инвентарным перечнем мебели в комнате и картинкой комнаты, как она встает у нас перед глазами, когда мы вспоминаем о ней. Все равно что знать названия всех улиц в городе или уметь из любого места города попасть в назначенное место несколькими маршрутами.

В это я верю еще сильнее, чем раньше, и это мне представляется столь же важным, как любая мысль, изложенная в этой книге.

Почему же мы говорим и пишем об окружающем мире и о наших знаниях, как если бы они были линейными? Это закон жанра. Слова идут друг за другом, а не одновременно; иначе не бывает. Приходится делить единый неделимый мир на маленькие кусочки и нанизывать их на нитку речи или выстраивать в написанную строку. Но не стоит заблуждаться: нитка разговора или строка — не то, что мир. Наше знание не истинно, неполно, неточно и даже бесполезно, пока мы не совьем эти нити или не выстроим из строк подобие мира, рабочую мысленную модель вселенной, как мы ее знаем. Только создав такую модель, хотя бы в общих чертах повторяющую реальный мир, мы сможем сказать, что что-то узнали и поняли.

В школе процесс учебы строится так, что дети собирают эти нити, эти строки и сваливают их в кучи в своем мозгу, не стремясь их усвоить, но помня, что в какой куче, чтобы их можно было извлечь по требованию. Эти слова ничего не меняют, не входят ни в какую структуру, ни в какие взаимоотношения. Они так же лишены смысла, как слова попугая — для попугая. Как же вернуть школе ее истинное предназначение — давать детям истинные знания, а не закармливать их словами?

Теперь я понял, что, упорно стараясь выяснить, что понимают наши ученики, мы, скорее всего, разрушаем то понимание, которое есть или наметилось. Сначала они должны утвердиться в своем знании и научиться говорить о нем — что практически исключает всех младших школьников, — поэтому стоит поощрять их говорить о том, что они знают и почему они знают, что знают. Лучший способ узнать, что же дети действительно знают (а узнать мы можем самую малость), — дать им свободу делать что им нравится и понаблюдать за ними.