Побудова розгортки поверхні тіла

Умова. Побудувати розгортку поверхні тіла завдання №8. Нанести на розгортку лінію перетину поверхні тіла і площини.

Один зі способів наближеного розгортання кривих поверхонь полягає в тому, що криву поверхню тіла замінюють вписаною в неї (або описаною) багатогранною поверхнею (див. завдання 8). Чим більше граней у вписаної поверхні, тим точніше результат. Для розгортки описаного багатогранника можна визначити натуральні величини його ребер і по них побудувати розгортку.

Приклад. Побудувати розгортку поверхні конуса, розглянутого в прикладі завдання 8 (рис. 17). Нанести на розгортку лінію перетину поверхні конуса і площини.

Рішення. Замінюємо конус вписаною в нього правильною пірамідою, що має 12 бічних граней (рис. І7,а). Бічні ребра цієї піраміди збігаються з твірними заданого конуса.

Ребра S₁ l і S₇, що є відрізками фронтальних прямих, відрізки 1₂S₂ і 7₂S₂, визначальні положення точок перетину на цих ребрах, проектуються на площину П₁, у натуральну величину. Дія побудови розгортки проводимо дугу окружності радіусом, рівним довжині твірної конуса (рис. 17,б). Від точки 1 відкладаємо 12 разів хорду, рівну стороні основи вписаної піраміди (відрізок 1₁2₁ ). З'єднуючи точки 1-12 з центром окружності, одержуємо розгортку бічної поверхні вписаної піраміди. Кожен трикутник на розгортці (1S2, 2S3 і тд.) являє собою натуральну величину бічної грані піраміди. Основа піраміди збігається зі своєю горизонтальною проекцією. Горизонтальна проекція основи і розгортки бічної поверхні являють собою розгортку поверхні вписаної піраміди.

Бічна поверхня правильного прямого конуса може бути розгорнута в сектор окружності радіуса R рівного довжині утворюючого конуса, з кутом при вершині

α = (2r/R)360°

де r - радіус основи конуса. Однак для ілюстрації методу в розглянутому прикладі розгортку поверхні конуса замінимо розгорткою вписаної піраміди.

Для нанесення на розгортку лінії перетину потрібно показати на ній точки перетину, що лежать на ребрах S1-S12.

Положення точок перетину, що лежать на ребрах S₁ і S₇визначається відрізками Sl₂ і S7₂. Дня нанесення на розгортку точок перетину, що лежать на інших ребрах, визначимо натуральну величину відстаней від цих точок до вершини конуса уздовж відповідних ребер, тобто натуральну величину відрізків S2, S3 і так далі, обертаючи їх навколо осі, що збігається з віссю конуса (навколо осі, перпендикулярної до площини П₁ до положення, паралельного фронтальної площини проекцій). При цьому зазначені відрізки будуть проектуватися на площину П₂ у натуральну величину.

Розглянемо, наприклад, відрізок S3. При обертанні його навколо осі конуса до положення, паралельного фронтальній площині проекцій, горизонтальна проекція точки 3 буде переміщатися по дузі окружності, радіуса S₁ 3₁ (рис 17,в) до положення, при якому цей радіус виявиться паралельним осі проекцій. Фронтальна проекція цієї точки буде, переміщатися по лінії, перпендикулярній до фронтальної проекції осі обертання (осі конуса) до зустрічі з фронтальною проекцією нарисової твірної S₁ у точці 3₂ - Частина нарисової твірної від вершини S до точки 3₂ буде являти собою натуральну величину відстані від вершини конуса до точки перетину, що лежить на твірній S3. Відкладаючи на розгортці від центра S цю відстань уздовж твірної S3, знаходимо точку 3 (точку лінії перетину на цій

твірній). Інші точки ліній перетину на розгортці визначаємо аналогічно. З'єднуючи точки 1-12 плавною кривою, одержуємо на розгортці лінію перетину.

1) У чому полягає загальний метод одержання розгортки кривої поверхні?

2) Як наноситься на розгортку лінія перетину?

3) Чому отримана розгортка є наближеною?

4) Від чого залежить точність рішення задачі?

Рис. 17