Спосіб заміни площин проекцій

На заданому багатограннику визначити найкоротшу відстань між вказаними мимобіжними ребрами (див. рис. 3).

Варіанти завдання передбачають дану умову для мимобіжних ребер багатогранника, позначених позначкою.

У побудові, показаній на рис. 9, одне з мимобіжних ребер (СS) спроектоване в точку на другу площину проекцій П₅.

Виконано слідуючий план побудови:

1. Від системи площин проекцій П₁,П₂, перейшли до системи П₁, П₄, де П_{4 ┴} П₁ і П₄ // СS.

2. Від системи П₁, П₄, перейшли до системи П₄ П_{5 ┴} П ₄і П₅ // СS. Отримавши на площині проекцій П₅ проекцію ребра СS та провівши із С₅S₅перпендикуляр А₅В₅, знаходимо шукану відстань між заданими мимобіжними ребрами АВ І СS.

На рис. 9 показана побудова проекцій загального для АВ і СS перпендикуляра. Хід побудови зазначений стрілками, проекція К₄S₄ проведена паралельно вісі Х₄₅

Для того щоб визначити відстань між перехресними прямими АВ і СD варто провести допоміжну площину проекцій перпендикулярно до однієї з цих прямих. Тоді відрізок загального положення до обох прямих перпендикулярів, що визначає відстань між прямими, виявиться рівнобіжною допоміжної площини проекцій і спроектується на неї в натуральну величину.

Будемо проводити допоміжну площину проекцій перпендикулярно до ребра SС. Щоб визначити на кресленні положення цієї площини, спочатку проведемо допоміжну площину П₄ паралельно ребру СS (і площині П₁), П₁П₄ - горизонтальний слід цієї площини, рівнобіжний С₁S₁. Потім проецируемо ребро СS на П₄- Так як П₄. як і П₂. перпендикулярна до П₁ відстань проекції будь-якої точки на П₄ до площини П₁ дорівнює відстані до П₁, фронтальної проекції цієї точки. Цим пояснюється попарна рівність відрізків, перекреслених однієї і двома рисками (див, рис. 9).

Аналогічно проектуємо на П₄ ребро АВ. Тепер проведемо другу допоміжну площину П₅, що повинна бути перпендикулярна до ребра СS (і площини П₄).

Оскільки ребро СS паралельне П_ь воно паралельне своїй проекції на П₄. Тому, якщо ми проведемо площину П₅, перпендикулярно до проекції СS на П₄ (і перпендикулярно до П₄), П₅ буде перпендикулярно до СS.

Нова вісь проекції П₄П₅ проведена перпендикулярно до С₄S₄. є слідом П₅на перпендикулярну до неї площину П₄.

Будуємо проекції наших перехресних прямих на П₅. Оскільки П₅перпендикулярна до СS, остання проектується на неї в точку С₅=S₅. Попарна рівність відрізків, перекреслених трьома і чотирма рисками, пояснюється так само, як і при побудові проекції на П₄.

Як відзначалося на початку параграфа. П₅рівнобіжна загальному перпендикуляру до АВ і СS.

Водночас, якщо одна зі сторін прямого кута рівнобіжна до деякої площини, проекція даного прямого кута на цю площину являє собою також прямий кут.

Тому проекція на П₅ прямого куга, сторонами якого с згаданий перпендикуляр до схрещуваних прямих і пряма АВ також повинна являти собою прямий кут.

Крім того, варто враховувати, що будь-яка точка прямої СS проектується на П₅ у точку С₅=S₅ у тому числі і точка F. що належить перпендикуляру до схрещуваних прямих.

На цій підставі опускаємо з точки С₅=S₅=F₅ перпендикуляр на А₅В₅. Отриманий прямий кут F₅K₅А₅ і є проекція на П₅ прямого кута між перпендикуляром до обох схрещуваних прямих і прямої АВ.

Довжина цього перпендикуляра Р^, і є шукана відстань між перехресними ребрами АВ

і СS. оскільки вона являє собою проекцію на П₅ рівнобіжного їй відрізка перпендикуляра, схрещуваних прямих, що визначає відстань між цими прямими, і дорівнює йому по розміру. Побудова горизонтальної і фронтальної проекцій цього перпендикуляра F₁K₂ і F₂K₂ виконується за допомогою ліній зв'язку по стрілках, як зазначено на рис, 9.

 

Контрольні питання

1) Суть способу заміни площин проекцій.

2) Які основні задачі на пряму і на площину вирішуються заміною двох площин?

 

Рис. 9

Завдання № 5