Дві взаємно перпендикулярні площини

Умова. Через пряму l провести площину, перпендикулярну до заданої площини загального положення. Побудувати проекції куга між прямою і площиною.

 

Таблиця

 

Кут №
α0
β0

 

Це завдання також є комплексним. Воно включає задачі на побудову перпендикуляра до площини, на перетин прямої з площиною та переріз двох площин між собою.

Знаходження лінії перерізу двох площин зводиться до знаходження двох точок, визначають цю лінію. Кожна така точка є результатом перетину прямої однієї плотик іншою площиною. Видність частин відсіку площини визначають за уявою і перевіряють "конкуруючими" точками.

Студенту пропонується самому проаналізувати задачу і скласти план її розв'язання подібно до того, як це зроблено у вказівках до завдання № 5 (див. малюнок та таблицю).

У наведеному прикладі (рис. 11) площину, перпендикулярну до заданої площини α, утворено прямою l і перпендикуляром п до площини α, проведеним через довільну точку А прямої l Кут АMN прямої l з площиною α утворено прямою та її прямокутною проекцією на площину α, тобто лінією перерізу проведеної площини з даною.

 

Контрольні питання

 

1) Як задати площину, перпендикулярну до даної?

2) Як дістати проекції кута прямої загального положення з площиною загального положення?

3) Як побудувати проекції перпендикуляра до заданої площини, проведеного з точки, що не належить цій площині?

4) Як побудувати проекції лінії перерізу двох площин?

Рис. До завдання 6

Рис. До завдання 6

Рис. До завдання 6

Завдання №7

МЕТОД ОБЕРТАННЯ НАВКОЛО ЛІНІЙ РІВНЯ (ГОРИЗОНТАЛІ АБО ФРОНТАЛІ)

Методом обертання навколо ліній рівня встановити натуральну величину трикутника
(рис. 11 табл. 3).

Таблиця 3

Кут №
α0
β0

 

При обертанні деякої точки навколо вісі, що є лінією рівня, наприклад горизонталь прямої, радіус обертання складає з віссю обертання прямий кут, одна сторона якого (горизонтальна пряма) рівнобіжна площині проекцій П₁ , і при обертанні залишається нерухомою.

Як відомо, проекція плоского прямого кута, одна сторона якого рівнобіжна площині проекцій, являє собою також прямий кут. Тому прямий кут, утворений віссю обертання (у даному випадку це горизонтальна пряма) і радіусом обертання точки, у всіх положеннях при обертанні буде проектуватися на П₁ також, у прямий кут, і тому траєкторія горизонтальної проекції точки при обертанні навколо горизонтальної прямої буде перпендикулярна горизонтальній проекції цієї горизонтальної прямої.

Аналогічно, при обертанні точки навколо фронтальної прямої, траєкторія переміщення фронтальної проекції точки буде прямою, перпендикулярною до фронтальної проекції фронтальної прямої вісі обертання.

Обертання плоскої фігури навколо будь-якої горизонталі площини цієї фігури можна здійснити обертанням точок, що належать цій фігурі, наприклад вершин, якщо обертається трикутник (положення площини можна визначити положенням трьох точок цієї площини).

Якщо потрібно встановити по заданим двом проекціям трикутника його натуральну величину варто обертати навколо лінії рівня його площини, наприклад горизонталі, до положення, при якому площина цього трикутника виявиться рівнобіжною горизонтальній площині проекцій П₁.

Задача. Обертанням навколо горизонталі площини Δ АВС встановити натуральну величину цього трикутника (рис. 12).

Розв'язок. Проведемо будь-яку горизонталь площини Δ АВС, наприклад горизонталі СD(С₂D₂ i С₁D₁) відповідно її фронтальна і горизонтальна проекції).

Далі обертаємо послідовно вершини Δ АВС положення, при якому радіуси обертання вершин займуть горизонтальне положення.

Очевидно, при цьому площина Δ АВС виявиться горизонтальною, і трикутник спроектується на П₁ у натуральну величину.

Розглянемо побудову на прикладі обертання вершини В трикутника.

У відповідності зі сказаним проведемо з точки В пряму перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі BD що є віссю обертання.

Відрізок В₁Е₁ цієї прямої є горизонтальною проекцією радіуса обертання точки В. Фронтальну проекцію цього радіуса В₂Е₂ будуємо, проводячи лінію зв'язку з точки Е₂ по перетину з фронтальною проекцією вісі обертання.

Очевидно, що точка Е є центром обертання вершини В.

Як зазначалося, при обертанні точки навколо горизонтальної прямої її горизонтальна проекція переміщується перпендикулярно до горизонтальної проекції вісі обертання, тобто в даному випадку буде переміщуватись по прямій, що визначається відрізком В₁Е₁. При повороті до положення, у якому радіус обертання точки В виявиться рівнобіжним П₁. цей радіус

 

спроектується на П_1; у натуральну величину Тому, якщо на пряму, що є траєкторією переміщення горизонтальної проекції точки В при повороті, відкласти від горизонтальної проекції вісі обертання С₁D₁, натуральну величину радіуса повороту, буде визначена горизонтальна проекція точки В у тому положенні, до якого ми прагнемо.

Натуральну величину радіуса повороту точки В по наявних двох його проекціях (В₁Е₁ i В₂Е₂)може бути отримана любим із відомих способів. На рис. 12 використаний спoсіб прямокутного трикутника. На перпендикулярі до горизонтальної проекції радіуса повороту В₁Е₁ відкладена різниця відстаней кінців його фронтальної проекції до вісі проекцій. Гіпотенуза отриманого прямокутного трикутника В₁Е₁F₁ є натуральною величиною радіуса обертання точки В.

Цей розмір шляхом зарубки відкладений на траєкторії переміщення горизонтальної проекції точки В при повороті, і в такий спосіб отримана точка В₁ -горизонтальна проекція точки В при повороті її на необхідний кут.

Аналогічними побудовами отримуємо точку А₁.

Точка С₁ лежить на вісі повороту і тому при повороті Δ АВС не переміщується.

З'єднуючії точки А₁В₁С₁ одержуємо ΔАВС. що являє собою горизонтальну проекцію Δ А₁В₁С₁ у положенні, при якому його площина рівнобіжна П₁, і, відповідно, визначає натуральну величину цього трикутника.

Контрольні питання

 

1) Як можна визначити траєкторію переміщення проекції точки, що обертається навколо лінії рівня, на площину проекцій, рівнобіжну вісі обертання?

2) Які задачі можна вирішувати методам обертання навколо ліній рівня?

 

 

 

Рис. 11

 

 

 

Рис. 12

ЛІТЕРАТУРА

1) Гордон В.О„ Семемов-Огисвськнй М.Л. Курс нарисної геометрії. - М: Наука.

2) Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометри. - М, 1974.

3) Локтев О.В. Кратний курс начертательной геометри. - М.: Машиностроение, 1985

 

 

НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ