Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ёлементы математической логики




”ƒ  517

ѕрин€то на заседании кафедры общей математики

–ецензенты:

кандидат физ.-мат.наук, доцент кафедры

общей математики  ‘” ¬.ј. —очнева,

кандидат физ.-мат.наук, доцент кафедры

общей математики  ‘” ≈.ѕ. јксентьева

 

 

ћатематика. ”чебно-методическое пособие / ћ.—. ћалакаев, ≈.ј.Ўирокова.Ц  азань:  азан. ун-т, 2016 Ц 64 с.

 

”чебно-методическое пособие представл€ет собой лекции по курсу Ђћатематикиї в  ѕ‘” дл€ студентов, обучающихс€ по направлени€м ЂЋингвистикаї, Ђ“уризмї, Ђћеждународные отношени€ї, Ђ¬остоковедение и африканистикаї, Ђ«арубежное регионоведениеї.

¬ пособии рассмотрены темы ЂЁлементы математической логикиї, ЂЁлементы теории множествї, Ђ омбинаторикаї, Ђ Ёлементы теории графовї, Ђѕроизводные и интегралыї, ЂЁлементы теории веро€тностейї, ЂЁлементы математической статистикиї с набором примеров по каждой теме.

 

 

© ћалакаев ћ.—., Ўирокова ≈.ј., 2016

©  азанский университет,2016

—одержание

1.Ёлементы математической логикиЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ..4

2. Ёлементы теории множествЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ17

3.Ёлементы теории графовЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.23

4. ‘ункцииЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ33

5.ќсновные пон€ти€ и теоремы теории веро€тностейЕЕЕЕЕЕЕЕ 46

6.Ёлементы математической статистики ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.66

 

«ачем гуманитари€м математика? Ёта наука позвол€ет развить логическое мышление, умение прогнозировать на основе наблюдений и делать выводы на основе точных расчетов.

¬ данном курсе студенты познаком€тс€ с элементами соответствующих разделов математики. –аздел ЂЁлементы математической логикиї позволит отличать истинные высказывани€ от ложных. –азделЂЁлементы теории множествї представл€ет собой новую интерпретацию предыдущего раздела: новые объекты при той же аксиоматике и новых обозначени€х операций. ”мение работать с множествами поможет при изучении раздела Ђќсновные пон€ти€ и теоремы теории веро€тностейї. ѕри изучении раздела ЂЁлементы теории графовї студенты знаком€тс€ с приемами поиска путей между заданными пунктами. ¬ разделе Ђ‘ункцииї студенты вспомн€т пон€тие производной и ее применени€, познаком€тс€ как с комбинаторными функци€ми, так и с функци€ми двух переменных, а также узнают, что такое интеграл и как он примен€етс€ при вычислении площадей. Ёти сведени€ будут необходимы в разделе Ђ—лучайные величиныї. –аздел Ђќсновные пон€ти€ и теоремы теории веро€тностейї обогащает школьный материал по теории веро€тностей важными теоремами. –аздел Ђ—лучайные величиныї знакомит с видами величин и типами распределений.

ѕоследним разделом курса €вл€етс€ раздел ЂЁлементы математической статистикиї. Ётот раздел особенно важен дл€ специалистов в области внешних св€зей, туризма и иностранных €зыков, так как именно математическа€ статистика и ее приемы и методы помогают в вы€влении св€зей между событи€ми или €влени€ми и в изучении запросов населени€ в различных сегментах туристического рынка.

 

 

Ёлементы математической логики

 

Ћогика Ц это наука, изучающа€ формы и законы мышлени€. —амо слово произошло от греческого logos, что означает Ђслово, пон€тие, разумї. «аконы и правила формальной логики необходимо знать дл€ построени€ правильных рассуждений. —огласно основному принципу логики правильность рассуждени€ (вывода) определ€етс€ только его логической формой и не зависит от конкретногосодержани€ вход€щихв него рассуждений.ќтличительной особенностью правильного вывода €вл€етс€ то, что из истинных утверждений всегда получаютс€ истинные заключени€. Ёто позвол€ет из одних истин получать другие с помощью только рассуждений, разума и без обращени€ к опыту.

 ак самосто€тельна€ наука, логика оформилась в трудах греческого философа јристотел€ (384-322 гг. до н.э.). ќн систематизировал известные до него сведени€, и эта система стала впоследствии называтьс€ традиционной или аристотелевой логикой. јппарат этой логики оказалс€ настолько мощным, что, например, на его основе известный средневековый философ и богослов ‘ома јквинский осуществил обоснование всей христианской теологии. Ќемецкий математик Ћейбниц впервые высказал мысль о том, что основные пон€ти€ логики должны быть обозначены символами, которые соедин€ютс€ по определенным правилам, и это позвол€ет вс€кие рассуждени€ заменить вычислением. ќн писал, что единственное средство улучшени€ умозаключений состоит в уподоблению их математическим, Ђчтобы ошибочность их можно было увидеть глазами, и если между людьми возникают разногласи€, достаточно было бы сказать Ђ¬ычислим!ї и станет €сно, кто правї. Ёто проделал в своей работе Ђ»сследование законов мыслиї ƒжордж Ѕуль, в результате чего логическа€ теори€ прин€ла вид обычной алгебры и получила название алгебры высказываний или булевой алгебры, которую мы и будем изучать.

ћатематическа€ логика Ц разновидность формальной логики, т.е. науки, котора€ изучает умозаключени€ с точки зрени€ их формального строени€.  ак наука математическа€ логика содержит множество разделов, например, теорию доказательств. ћы, в основном, познакомимс€ с наиболее простым разделом математической логики Ц с логикой высказываний. ¬ этом разделе вопрос об истинности или ложности высказываний рассматриваетс€ и решаетс€ на основе изучени€ способа построени€ высказываний из так называемых элементарных с помощью логических операций или св€зок. ќсновным пон€тием этого раздела логики естественно €вл€етс€ высказывание.

¬ысказыванием называетс€ повествовательное предложение, про которое всегда определенно можно сказать, €вл€етс€ оно истинным (») или ложным (Ћ). ѕримеры высказываний: Ђƒважды два четыреї, Ђ«емл€ вращаетс€ вокруг —олнцаї, Ђ3>5ї, Ђ10 Ц нечетное числої, ЂЌа улице идет дождьї. ѕобудительные предложени€ (Ђ ругомї, Ђ»дите к доскеї), вопросительные (Ђ—колько времени?ї) и восклицательные (Ђјк Ѕарс Ц чемпион!ї) высказывани€ми не €вл€ютс€. Ћогические операции на множестве высказываний задаютс€ аксиоматически с применением таблиц истинности, указывающих значение (» или Ћ) результата операции при задании значений исходных высказываний.

 

јксиоматика операций над высказывани€ми.

1) ќтрицание. Ћогическа€ операци€, соответствующа€ логической св€зке Ђнеї называетс€ отрицанием. ¬ результате этой операции получаетс€ высказывание ложное, если исходное высказывание истинно и истинное, если исходное ложно. ќна обозначаетс€ или и читаетс€ Ђне ї. Ќапример, если Ц это высказывание Ђматематическое утверждение доказаної, то высказывание Ђматематическое утверждение не доказаної обозначаетс€ . —оответствие между высказывани€ми определ€етс€ таблицами истинности. ¬ нашем случае эта таблица имеет вид:

» Ћ
Ћ »

ѕример. : Ђ∆ј¬— остроугольный.ї, тогда : Ђневерно, что ∆ј¬— остроугольныйї или : Ђ∆ј¬— пр€моугольный или тупоугольный.ї ѕример показывает, что отрицание не об€зательно содержит частицу Ђнеї в €вном виде, Ц отрицание может содержатьс€ и в смысловом оттенке фразы.

2)  онъюнкци€. ќпераци€ конъюнкции примен€етс€ к двум высказывани€м ј и ¬ и соответствует соединению их с помощью союза Ђиї. ќна обозначаетс€ ј & ¬ или ј^¬ или ј∙¬ (читаетс€: ј и ¬). Ќапример, Ђќн мой сокурсник и другї.  онъюнкци€ двух высказываний ј и ¬ будет истинной тогда и только тогда, когда истинны оба высказывани€. ѕоэтому таблица истинности дл€ конъюнкции имеет вид

 

» » »
» Ћ Ћ
Ћ » Ћ
Ћ Ћ Ћ

ѕредложение Ђ—олнце светит и на улице теплої представл€ет собой конъюнкцию двух высказываний ’: Ђ—олнце светит.ї и ”: ЂЌа улице теплої.

3) ƒизъюнкци€. ќпераци€ дизъюнкции примен€етс€ к двум высказывани€м ј и ¬ и соответствует соединению их с помощью союза Ђилиї. ќна обозначаетс€ јÚ¬ (читаетс€: ј или ¬). Ќапример, Ђƒоговор может быть заключен в устной или письменной формеї. ƒизъюнкци€ двух высказываний ј и ¬ будет ложной тогда и только тогда, когда оба высказывани€ ложны. ѕоэтому таблица истинности дл€ конъюнкции имеет вид

A
» » »
» Ћ »
Ћ » »
Ћ Ћ Ћ

«аметим, что в обыденной речи союз Ђилиї употребл€етс€ в двух смыслах:

1) неразделительном, как, например, в предложении Ђѕраво бесплатного проезда имеют пенсионеры или ветераны трудаї (очевидно, что если человек одновременно пенсионер и ветеран труда, то правом бесплатного проезда он может пользоватьс€); 2) разделительном. Ќапример, молодой человек говорит другу: Ђ¬ечером € пойду на дискотеку или посижу в библиотекеї. ќчевидно, он куда-то не пойдет.

Ќа самом деле это два разных союза. ” древних римл€н в качестве неразделительного Ђилиї использовалось слово Ђvelї, а разделительного слово Ђautї. ƒизъюнкци€ это неразделительное Ђилиї.

–ассмотренные три операции называют булевыми.

4) »мпликаци€. ќпераци€ импликации соответствует объединению двух высказываний с помощью союза Ђесли ј, то ¬ї. ќна обозначаетс€ ј→¬. Ќапример, Ђ≈сли студент-контрактник в течение 2-х сессий получал только отличные отметки, то по его ходатайству деканат может перевести его на бюджетную форму обучени€ї. »мпликаци€ двух высказываний ј и ¬ ложна тогда и только тогда, когда высказывание ј истинно, а ¬ Ц ложно. ¬ысказывание ј называетс€ посылкой импликации, а высказывание ¬ Ц следствием. “аблица истинности имеет вид

 

ј ¬ ј→¬
» » »
» Ћ Ћ
Ћ » »
Ћ Ћ »

ѕриведем несколько выражений, которые считаютс€ имеющими тот же смысл, что и Ђесли ј, то ¬ї (где ј и ¬ высказывани€): Ђј влечет ¬ї, Ђј только тогда, когда ¬ї, Ђ¬ при условии јї, Ђј, только если ¬ї, Ђ¬, если јї. —ледует уточнить, что логическими операци€ми никак не учитываетс€ смысл высказываний в них участвующих. ¬ысказывани€ рассматриваютс€ как объекты, обладающие единственным свойством быть истинными или ложными. Ќапример: ѕусть ’: ЂЋуна сделана из зеленого сыраї, а ”: Ђ2+2=5ї, тогда согласно таблице раз ’ ложно, то импликаци€ ’→ ” будет истинна, хот€ никакой св€зи по смыслу между ’ и ” нет. “очно так же, если ”Ц это Ђ2+2=4ї, то ’→ ” Ц истинно, причем совершенно независимо от того есть ли св€зь между ЂЋуна состоит из зеленого сыраї и Ђ2+2=4ї. “акое уточнение смысла импликации Ђесли ’, то ”ї не противоречит обыденному смыслу. Ќапример обещание Ђ≈сли мне подар€т велосипед, то € дам тебе покататьс€ї воспринимаетс€ как ложь только в том случае, если мне подарили велосипед, а покататьс€ на нем € не дал.

5) Ёквиваленци€. Ёквиваленци€ обозначаетс€ ј↔¬ (читаетс€: ј эквивалентно ¬ или ј равносильно ¬ или ј тогда и только тогда, когда ¬). Ќапример, Ђ „етное число делитс€ на 6 тогда и толькотогда, когдаоно делитс€ на 3ї или Ђ—тудент допускаетс€ к сессии в том и только в том случае, если он сдаст все зачетыї. Ёквиваленци€ двух высказываний ј и ¬ истинна тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают. ѕоэтому таблица истинности дл€ эквиваленции имеет вид

ј ¬ ј↔¬
» » »
» Ћ Ћ
Ћ » Ћ
Ћ Ћ »

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-22; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 5131 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент всегда отча€нный романтик! ’оть может сдать на двойку романтизм. © Ёдуард ј. јсадов
==> читать все изречени€...

738 - | 557 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.012 с.