Пример задачи. Владелец грузового судна должен перевезти груз по реке из одного порта в другой. Расходы этого владельца складываются из расходов на содержание экипажа и из затрат на топливо. Следует выяснить, какую скорость движения судна следует выбрать, чтобы плавание было наиболее экономичным, так как увеличение скорости ведет к большим тратам на топливо (расходы на топливо пропорциональны кубу скорости), а уменьшение скорости, а значит, увеличение времени пути приведет к большим тратам на питание команды.
Решение. Обозначим суточные расходы на топливо 
, а суточные расходы на питание команды 
. Пусть 
– расстояние, которое должна пройти баржа. Тогда время в пути равно 
. Следовательно, путевые расходы составляют 
.
Нам нужно найти такое положительное значение 
, которое обеспечит минимум введенной функции. Используя теорему о необходимом условии экстремума, приравняем нулю производную введенной функции: 
. Получим точку экстремума 
. То, что мы получили минимум, а не максимум, следует из поведения функции 
при значениях переменной 
, близких к 0 и к бесконечности: функция при таких значениях переменной стремится к положительной бесконечности. Следовательно, единственный экстремум этой функции может быть только минимумом. Таким образом, оптимальная скорость движения баржи по реке .
Задачи для самостоятельного решения.
1. Сеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади.
2. Из квадратного листа картона со стороной 
вырезаются по углам одинаковые квадраты, и из оставшейся части склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?
3. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 
так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
Интеграл
Определение. Первообразной функции 
называется функция 
, производная которой равна 
, т.е. 
.
Поскольку 
, где 
постоянная, первообразных функции 
бесчисленное множество.
Любые две первообразные функции 
могут отличаться только на постоянную. Другими словами, если 
и 
, то 
Определение. Множество всех первообразных одной функции называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается 
, причем 
называется подынтегральной функцией, 
подынтегральным выражением. Интегрирование – нахождение первообразных – так же, как и нахождение производных, производится с помощью таблицы. Такая таблица приведена ниже.
1. 
|  .
|
2.  .
| 
|
3.  .
|  .
|
4. 
| 
|
5.  .
| 
|
6. 
| 
|
7.  .
| 
|
8. 
| 
|
9. 
| 
|
10. 
| 
|
11. 
| 
|
Существует ряд приемов интегрирования, но в нашем курсе эти приемы не рассматриваются. К сожалению, не любую непрерывную функцию можно «проинтегрировать в квадратурах», то есть, найти первообразную в виде конечного числа действий над элементарными функциями.
Интегралы интересны для нас не только тем, что они являются результатом операции, обратной к операции дифференцирования. Они являются мощным аппаратом для вычисления геометрических характеристик различных объектов. Например, площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной с трех сторон отрезками прямых, два из которых параллельны оси OY, третий лежит на оси OX, 
, а четвертая сторона задается с помощью непрерывной функции 
,
вычисляется по формуле 
, где 
– любая первообразная функции 
. Последняя формула, устанавливающая связь интеграла по отрезку с разностью значений первообразной в концах отрезка, называется формулой Ньютона-Лейбница.
В случае, когда конечный отрезок [ a,b ] превращается в бесконечную прямую, формула площади соответствующей криволинейной трапеции принимает вид 
.
Основные понятия и теоремы теории вероятностей
В теории вероятностей изучаются возможные исходы опыта – случайные события,то есть, события, которые могут произойти или не произойти. Классический пример опыта – бросание монет. Например, при одновременном бросании двух монет (опыт) могут произойти следующие события: «выпало два герба», «выпал хотя бы один герб», «выпали две цифры», «монеты упали одинаковыми сторонами», «выпал один герб и одна цифра».
Событие называют достоверным (обозначают 
), если оно обязательно происходит в результате опыта. Например, в приведенном опыте достоверным является событие: «выпал хотя бы один герб или хотя бы одна цифра».
Событие называют невозможным ( обозначают 
), если оно не может произойти в результате опыта. В рассмотренном опыте невозможным является событие: «выпало три герба».
Два события называют несовместными, если онине могут одновременно произойти в результате опыта. В рассмотренном примере события «выпало два герба» и «монеты упали разными сторонами» являются несовместными.
Говорят, что событие 
благоприятствует событию 
(обозначают 
), если из того, что произошло событие следует, что произошло событие . В случае опыта с бросанием двух монет событие «выпало две цифры» благоприятствует событию «выпала хотя бы одна цифра».
Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опыта обязательно происходит, а любые два из которых несовместны, называется множеством исходов опыта (или множеством элементарных событий, или полной группой событий). В случае бросания двух монет множеством исходов являются события: «выпало два герба», «выпали две цифры», «выпал один герб и одна цифра». Заметим, что множество исходов может определяться неоднозначно, ведь множеством исходов того же опыта являются события: «монеты упали одинаковыми сторонами» и «монеты упали разными сторонами». Мы видим, что первое множество исходов содержит два события («выпало два герба», «выпали две цифры»), благоприятствующих событию «монеты упали одинаковыми сторонами» из второго множества исходов. А третье событие первого множества исходов («выпал один герб и одна цифра») совпадает со вторым событием второго множества исходов («монеты упали разными сторонами»).
Очень удобно изображать события так же, как изображают множества. Несовместные события изображаются непересекающимися множествами, событие, благоприятствующее другому событию, изображается подмножеством этого другого события. Достоверное событие 
, которое обязательно происходит в результате опыта, является аналогом универсума, то есть содержит все множества, соответствующие исходам опыта. Пустому множеству соответствует невозможное событие.
Так же, как в случае множеств, для событий вводятся операции объединения (
) – событие, состоящее в том, что произошло или событие 
, или событие 
, и операция пересечения 
– событие, состоящее в том, что одновременно произошли события и событие . Операция разности событий 
представляет собой событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло событие . Аналогично операции дополнения множества вводится понятие противоположного события: 
.
Возможно следующее определение математической вероятности события: это числовая характеристика степени возможности наступления события в определенных, могущих повториться неограниченное число раз условиях. Это означает, что если вероятность события охарактеризовать числом 
, то при проведении опыта 
раз при достаточно большом данное событие произойдет примерно 
раз, причем чем больше , тем ближе количество наступлений события к числу . Очевидно, что получить вероятность события можно при достаточно большом числе опытов как отношение 
, где 
– количество наступлений события, – количество опытов. Из определения очевидно, что вероятность 
не может быть больше 1 и меньше 0. Очевидно также, что вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного события равна 0.
Проще всего определять вероятность событий, когда множество исходов опыта представляет собой несколько равновероятных событий. Так, в случае бросания неповрежденной монеты множество исходов состоит из двух равновероятных событий: «выпадение герба» и «выпадение цифры». Поскольку «выпадение герба или цифры» – это достоверное событие с вероятностью 1 и события несовместны, то при многочисленных бросаниях вследствие симметричности монеты примерно половина исходов даст герб, а другая половина цифру. Следовательно, вероятность выпадения герба, как и вероятность выпадения цифры, равна 
. Аналогично определяется вероятность выпадения числа от 1 до 6 при бросании игральной кости: в силу симметричности кости вероятность выпадения всех чисел одинаковая и равна 
.
