Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


¬ случае равноверо€тных исходов веро€тностью событи€ называетс€ число, где Ц число всевозможных исходов, а Ц число исходов, благопри€тствующих событию.




ѕример. ѕусть опыт состоит в однократном бросании игральной кости, а событие Ц выпадение нечетного числа. ¬сего исходов 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), из них 3 благопри€тствуют событию (1,3,5). “аким образом, .

ѕример. ¬ернемс€ к нашему опыту бросани€ двух монет. ¬ычислим веро€тности событий, составл€ющих множество исходов: Ц Ђвыпало два гербаї, Ц Ђвыпали две цифрыї, Ц Ђвыпал один герб и одна цифраї. ≈сли каждое из первых двух событий соответствует одному исходу: одновременное выпадение либо гербов, либо цифр у монет, условно названных первой и второй, то событию благопри€тствуют следующие исходы: Ђгерб на первой монете и цифра на второйї и Ђцифра на первой монете и герб на второйї. “аким образом, если сосчитать равноверо€тные исходы с учетом номера монет, то их 4: ÷÷, √√, √÷, ÷√. —ледовательно, , .

Ѕольшую роль в решении задач об опытах с равноверо€тными исходами играют комбинаторные функции.

ѕример. ¬ €щике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров, из них 12 белых и 8 черных. Ќаудачу вынимают 2 шара.  акова веро€тность того, что оба они белые?

ќпределим число возможных исходов выбора двух шаров из 20. Ёто . Ѕлагопри€тных исходов . “аким образом, веро€тность выбора двух белых шаров равна .

 

„асто дл€ вычислени€ веро€тностей пользуютс€ теоремой сложени€, согласно которой . ¬ частности, если событи€ и несовместны, . —ледствием теоремы сложени€ €вл€етс€ формула .

ѕример. —трелок попадает в дес€тку с веро€тностью 0,05, в дев€тку Ц с веро€тностью 0,2, в восьмерку Ц с веро€тностью 0,6.  акова веро€тность при одном выстреле выбить не менее восьми очков?

»нтересующее нас событие €вл€етс€ объединением попарно не пересекающихс€ событий: Ђвыбито 8 очковї, Ђвыбито 9 очковї и Ђвыбито 10 очковї. —ледовательно, в соответствии с теоремой сложени€ дл€ вычислени€ требуемой веро€тности следует сложить веро€тности всех этих событий и получить 0,85.

ѕример. ¬ €щике лежат 8 белых и 12 красных одинаковых на ощупь шаров.  акова веро€тность, вынима€ наугад 3 шара, вынуть хот€ бы один белый?

¬ данном случае можно сосчитать веро€тности вынуть 3 белых, 2 белых и один красный и 1 белый и 2 красных шара, а затем сложить полученные величины. ќднако рациональнее сосчитать веро€тность противоположного событи€ Ц веро€тность вынуть три красных шара. »так, . —ледовательно, .

 

ѕусть два событи€ и независимы, то есть, от того, произойдет или нет одно из них, не зависит наступление второго. ƒл€ независимых событий определ€ют веро€тность пересечени€ событий как .

ѕример. ƒва самолета сбрасывают по бомбе на вражеский объект. ќбъект считаетс€ уничтоженным, если в него попали две бомбы.  акова веро€тность уничтожить объект, если веро€тность попадани€ первого самолета 0,8, а второго Ц 0,75?

ќчевидно, что если летчик не отслеживает попадание в цель товарища и не укрепл€ет (или ослабл€ет) тем самым свой моральный дух, попадание бомб из разных самолетов в цель Ц взаимно независимые событи€. ѕоэтому веро€тность одновременного попадани€ в цель равна .

ѕример. ¬ услови€х предыдущего примера следует подсчитать веро€тность попадани€ в цель хот€ бы одного летчика.

Ѕлагопри€тными дл€ наступлени€ интересующего нас событи€ €вл€ютс€ следующие исходы: Ђпопали обаї, Ђпервый попал, второй не попалї, Ђпервый не попал, второй попалї. ¬еро€тность первого из исходов 0,6, веро€тность второго , веро€тность третьего . ѕоэтому веро€тность попадани€ хот€ бы одного летчика равна . ¬ соответствии со следствием из теоремы сложени€ тот же результат мы получим, подсчитав веро€тность противоположного событи€ Ђв цель не попали оба летчикаї () и вычт€ полученный результат из единицы.

 

¬ р€де случаев возникает вопрос: что можно сказать о веро€тности событи€ , если известно, что произошло событие ? ¬еро€тность при этом обозначаетс€ и читаетс€ Ђверо€тность при условии ї. ≈сли событи€ и несовместны, то , то есть Ц невозможное событие при наступлении событи€ . ≈сли, наоборот, , то , то есть, при событие при условии Ц достоверное событие. ƒл€ случаев, когда при условии событие может как наступить, так и не наступить, ввод€т пон€тие условной веро€тности, вычисл€емой по формуле: . –ассмотренные нами случай несовместных событий и случай согласуютс€ с данной формулой.

 

¬ случае равноверо€тных исходов опыта формула условной веро€тности имеет вид , где Ц число исходов, благопри€тных дл€ событи€ , и из них благопри€тствуют событию .

ѕример. Ќайти веро€тность того, что при бросании игрального кубика выпало число 3, если известно, что выпавшее число нечетное.

„исло исходов, благопри€тных дл€ выпадени€ нечетного числа, равно 3 (1, 3, 5). »з этих исходов только один благопри€тен выпадению числа 3. —ледовательно, искома€ веро€тность равна .

ѕроверим, чему равна условна€ веро€тность , если событи€ и независимы. —огласно определению веро€тности пересечени€ независимых событий

 

. Ётот результат, несомненно, соответствует интуитивному представлению о том, что если событи€ и независимы, то на веро€тность наступлени€ событи€ никак не вли€ет, произошло событие или не произошло.

 

”словна€ веро€тность используетс€ дл€ вычислени€ веро€тности наступлени€ событи€ при известных веро€тност€х исходов опыта и условных веро€тност€х наступлени€ событи€ при каждом исходе. —праведлива следующа€ теорема.

ѕусть Ц множество исходов некоторого опыта (то есть , и ). “огда .

ѕоследн€€ формула называетс€ формулой полной веро€тности.

ѕример. ѕо самолету производитс€ три выстрела. ¬еро€тность попадани€ при первом выстреле 0,5, при втором 0,6, при третьем 0,8. ѕри одном попадании самолет будет сбит с веро€тностью 0,3, при двух попадани€х с веро€тностью 0,6, при трех самолет будет сбит наверн€ка.  акова веро€тность того, что самолет будет сбит?

—обытием €вл€етс€ событие Ђсамолет сбитї. ћножество исходов при трех выстрелах Ц это событи€: Ц Ђпопадани€ при всех трех выстрелахї, Ц Ђдва попадани€ и один промахї, Ц Ђодно попадание и два промахаї, Ц Ђтри промахаї. »меем , , , . “еперь нужно подсчитать . »спользу€ независимость попаданий, получим . —обытие Ц это объединение трех несовместных событий: Ђпопадание при первых двух выстрелах и промах при третьемї, Ђпопадание при первом и третьем выстрелах и промах при второмї и Ђпромах при первом выстреле и попадание при двух следующихї. ѕоэтому .

јналогично считаетс€ веро€тность третьего исхода: . ќчевидно, что в силу независимости промахов . ¬ результате применени€ формулы полной веро€тности получим .

 

ѕредставим, что нас интересует не столько событие, происшедшее в результате опыта, а то, при каком исходе из множества всех исходов это событие произошло. Ќазовем при этом множество исходов множеством гипотез.

ѕример. ќдинаковыедетали производ€тс€ в трех цехах. ¬ первом цехе 50% всех деталей, во втором цехе 30% и в третьем цехе 20%. ¬еро€тность выпуска бракованной детали в 1-м цехе 0,02 во втором и третьем по 0,01 (видимо, там сто€т более современные, чем в первом цехе, станки).   работникам ќ“  попала бракованна€ деталь. —ледует узнать веро€тность того, что бракованна€ деталь из третьего цеха.

»так, событием в данном опыте €вл€етс€ событие Ц Ђпо€вление бракованной деталиї. √ипотезами здесь €вл€ютс€ исходы Ђдеталь произведена в 1-м цехеї, Ђдеталь произведена во 2-м цехеї и Ђдеталь произведена в 3-м цехеї. ќбозначим эти гипотезы , соответственно. ќчевидна веро€тность исходов-гипотез по объему поступающей из цехов продукции: .

»звестны также веро€тности событи€ при каждой из гипотез: .  ак же подсчитать ? ќтвет на этот вопрос дает теорема Ѕайеса.

ѕусть Ц полна€ группа событий. “огда

.

ѕримен€€ теорему Ѕайеса, решим поставленную в примере задачу: подсчитаем веро€тность того, что бракованна€ деталь из третьего цеха. .

 

 

ћногие задачи теории веро€тностей свод€тс€ к тому, что опыт проводитс€ раз независимым образом, причем наступление событи€ в одном опыте не вли€ет на наступление того же событи€ в другом опыте. ≈сли веро€тность наступлени€ событи€ в одном опыте равна , то чему равна веро€тность наступлений этого событи€ раз при проведенных опытах ()?. “ак как при проведении опытов событие произойдет раз и не произойдет раз, то если мы зафиксируем, в каких опытах событие произойдет, а в каких нет, из-за независимости наступлени€ или отсутстви€ событи€ мы должны получить . Ќо поскольку мы не знаем, в каких опытах событие произойдет, а в каких нет, мы должны просуммировать веро€тности несовместных событий, отличающихс€ номерами опытов, в которых событие происходит. „исло различных вариантов групп опытов с происшедшими событи€ми равно . ѕоэтому ответ на поставленный вопрос дает формула Ѕернулли: .

ѕример.  акова веро€тность того, что при дес€ти бросани€х игральной кости два раза выпадет 6? «десь , . —ледовательно, веро€тность интересующего нас событи€ .

«аметим, что в соответствии с формулой бинома Ќьютона сумма веро€тностей наступлени€ событий 0, 1, 2, Е, раз при проведении опытов равна 1.

«адани€.

1. ¬ урне содержитс€ 5 белых и 4 черных шара. 1) ¬ынимаетс€ наудачу один шар. Ќайти веро€тность того, что он белый. 2) ¬ынимаютс€ наудачу два шара. Ќайти веро€тность того, что: а) оба шара белые; б) хот€ бы один из них черный.

2. ¬ коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Ќаудачу вынимают 3 карандаша. Ќайти веро€тность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.

3. ƒано 6 карточек с буквами Ќ, ћ, », я, Ћ, ќ. Ќайти веро€тность того, что: а) получитс€ слово Ћќћ, если наугад одна за другой выбираютс€ три карточки; б) получитс€ слово ћќЋЌ»я, если наугад одна за другой выбираютс€ 6 карточек.

4. Ѕрошены две игральные кости. Ќайти веро€тность того, что: а) сумма выпавших очков не превосходит 7; б) на обеих кост€х выпадает одинаковое число очков; в) произведение выпавших очков делитс€ на 4; г) хот€ бы на одной кости выпадет 6 очков.

5.  од домофона состоит из 8 цифр, которые могут повтор€тьс€.  акова веро€тность того, что случайно набира€ цифры, можно угадать нужный код?

6. Ќаудачу вз€тый телефонный номер состоит из 6 цифр. ќпределить веро€тность того, все 6 цифр различны.

7. »меетс€ 6 изделий: 4 из них первого сорта и 2 второго. Ќаудачу вз€ли 3 издели€. Ќайти веро€тность того, что среди них только одно первого сорта.

8. —реди 12 студентов 7 отличников. »з группы отобрано наудачу 5 человек.  акова веро€тность того, что среди них 3 отличника.

9. —реди 20 изделий 3 дефектных. —лучайно из них отобрано 4 издели€. Ќайти веро€тность того, что а) все отобранные годны; б) число годных и дефектных одинаково.

10.  аждый из двух стрелков делает по одному выстрелу в мишень. ѕусть событие ј Ц первый стрелок попал в цель, событие ¬ Ц второй стрелок попал в цель. „то означают событи€: а) ј + ¬; б) ј ¬; в) .

11. »з корзины, содержащей красные, желтые и белые розы выбираетс€ один цветок. ѕусть событи€ ј Ц вынута красна€ роза, ¬ Ц вынута желта€ роза, Ц вынута бела€ роза. „то означают событи€: а) ¬ + —; б) ј + ¬; в) ј ; г) ; д) ј+¬+—; е) ј ¬ + —?

12. “ри студента независимо друг от друга решают задачу. ѕусть событие ј1 - первый студент решил задачу, событие ј2 Ц второй студент решил задачу, ј3 Ц третий студент решил задачу. ¬ыразить через событи€ јi (i= 1,2,3) следующие событи€: 1) ј Ц все студенты решили задачу; 2) ¬ Ц задачу решил только первый студент; 3) Ц задачу решил хот€ бы один студент; 4) D Ц задачу решил только один студент; 5) Ц с задачей не справилс€ ни один студент; 6) F Ц задачу решило не более двух студентов.

13. “олько один из 9 ключей подходит к данному замку.  акова веро€тность того, что придетс€ опробовать 5 ключей дл€ открывани€ замка?

14. ѕри включении зажигани€ двигатель начинает работать с веро€тностью 0,9.  акова веро€тность того, что дл€ запуска двигател€ придетс€ включать зажигание не более трех раз?

 

—лучайные величины.

—лучайной величиной называют функцию, заданную на множестве исходов конкретного опыта.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-22; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1418 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ѕобеда - это еще не все, все - это посто€нное желание побеждать. © ¬инс Ћомбарди
==> читать все изречени€...

511 - | 536 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.029 с.