В случае равновероятных исходов вероятностью события называется число, где – число всевозможных исходов, а – число исходов, благоприятствующих событию.

Пример. Пусть опыт состоит в однократном бросании игральной кости, а событие – выпадение нечетного числа. Всего исходов 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), из них 3 благоприятствуют событию (1,3,5). Таким образом, .

Пример. Вернемся к нашему опыту бросания двух монет. Вычислим вероятности событий, составляющих множество исходов: – «выпало два герба», – «выпали две цифры», – «выпал один герб и одна цифра». Если каждое из первых двух событий соответствует одному исходу: одновременное выпадение либо гербов, либо цифр у монет, условно названных первой и второй, то событию благоприятствуют следующие исходы: «герб на первой монете и цифра на второй» и «цифра на первой монете и герб на второй». Таким образом, если сосчитать равновероятные исходы с учетом номера монет, то их 4: ЦЦ, ГГ, ГЦ, ЦГ. Следовательно, , .

Большую роль в решении задач об опытах с равновероятными исходами играют комбинаторные функции.

Пример. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров, из них 12 белых и 8 черных. Наудачу вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба они белые?

Определим число возможных исходов выбора двух шаров из 20. Это . Благоприятных исходов . Таким образом, вероятность выбора двух белых шаров равна .

 

Часто для вычисления вероятностей пользуются теоремой сложения, согласно которой . В частности, если события и несовместны, . Следствием теоремы сложения является формула .

Пример. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку – с вероятностью 0,2, в восьмерку – с вероятностью 0,6. Какова вероятность при одном выстреле выбить не менее восьми очков?

Интересующее нас событие является объединением попарно не пересекающихся событий: «выбито 8 очков», «выбито 9 очков» и «выбито 10 очков». Следовательно, в соответствии с теоремой сложения для вычисления требуемой вероятности следует сложить вероятности всех этих событий и получить 0,85.

Пример. В ящике лежат 8 белых и 12 красных одинаковых на ощупь шаров. Какова вероятность, вынимая наугад 3 шара, вынуть хотя бы один белый?

В данном случае можно сосчитать вероятности вынуть 3 белых, 2 белых и один красный и 1 белый и 2 красных шара, а затем сложить полученные величины. Однако рациональнее сосчитать вероятность противоположного события – вероятность вынуть три красных шара. Итак, . Следовательно, .

 

Пусть два события и независимы, то есть, от того, произойдет или нет одно из них, не зависит наступление второго. Для независимых событий определяют вероятность пересечения событий как .

Пример. Два самолета сбрасывают по бомбе на вражеский объект. Объект считается уничтоженным, если в него попали две бомбы. Какова вероятность уничтожить объект, если вероятность попадания первого самолета 0,8, а второго – 0,75?

Очевидно, что если летчик не отслеживает попадание в цель товарища и не укрепляет (или ослабляет) тем самым свой моральный дух, попадание бомб из разных самолетов в цель – взаимно независимые события. Поэтому вероятность одновременного попадания в цель равна .

Пример. В условиях предыдущего примера следует подсчитать вероятность попадания в цель хотя бы одного летчика.

Благоприятными для наступления интересующего нас события являются следующие исходы: «попали оба», «первый попал, второй не попал», «первый не попал, второй попал». Вероятность первого из исходов 0,6, вероятность второго , вероятность третьего . Поэтому вероятность попадания хотя бы одного летчика равна . В соответствии со следствием из теоремы сложения тот же результат мы получим, подсчитав вероятность противоположного события «в цель не попали оба летчика» () и вычтя полученный результат из единицы.

 

В ряде случаев возникает вопрос: что можно сказать о вероятности события , если известно, что произошло событие ? Вероятность при этом обозначается и читается «вероятность при условии ». Если события и несовместны, то , то есть – невозможное событие при наступлении события . Если, наоборот, , то , то есть, при событие при условии – достоверное событие. Для случаев, когда при условии событие может как наступить, так и не наступить, вводят понятие условной вероятности, вычисляемой по формуле: . Рассмотренные нами случай несовместных событий и случай согласуются с данной формулой.

 

В случае равновероятных исходов опыта формула условной вероятности имеет вид , где – число исходов, благоприятных для события , и из них благоприятствуют событию .

Пример. Найти вероятность того, что при бросании игрального кубика выпало число 3, если известно, что выпавшее число нечетное.

Число исходов, благоприятных для выпадения нечетного числа, равно 3 (1, 3, 5). Из этих исходов только один благоприятен выпадению числа 3. Следовательно, искомая вероятность равна .

Проверим, чему равна условная вероятность , если события и независимы. Согласно определению вероятности пересечения независимых событий

 

. Этот результат, несомненно, соответствует интуитивному представлению о том, что если события и независимы, то на вероятность наступления события никак не влияет, произошло событие или не произошло.

 

Условная вероятность используется для вычисления вероятности наступления события при известных вероятностях исходов опыта и условных вероятностях наступления события при каждом исходе. Справедлива следующая теорема.

Пусть – множество исходов некоторого опыта (то есть , и ). Тогда .

Последняя формула называется формулой полной вероятности.

Пример. По самолету производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле 0,5, при втором 0,6, при третьем 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух попаданиях с вероятностью 0,6, при трех самолет будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолет будет сбит?

Событием является событие «самолет сбит». Множество исходов при трех выстрелах – это события: – «попадания при всех трех выстрелах», – «два попадания и один промах», – «одно попадание и два промаха», – «три промаха». Имеем , , , . Теперь нужно подсчитать . Используя независимость попаданий, получим . Событие – это объединение трех несовместных событий: «попадание при первых двух выстрелах и промах при третьем», «попадание при первом и третьем выстрелах и промах при втором» и «промах при первом выстреле и попадание при двух следующих». Поэтому .

Аналогично считается вероятность третьего исхода: . Очевидно, что в силу независимости промахов . В результате применения формулы полной вероятности получим .

 

Представим, что нас интересует не столько событие, происшедшее в результате опыта, а то, при каком исходе из множества всех исходов это событие произошло. Назовем при этом множество исходов множеством гипотез.

Пример. Одинаковыедетали производятся в трех цехах. В первом цехе 50% всех деталей, во втором цехе 30% и в третьем цехе 20%. Вероятность выпуска бракованной детали в 1-м цехе 0,02 во втором и третьем по 0,01 (видимо, там стоят более современные, чем в первом цехе, станки). К работникам ОТК попала бракованная деталь. Следует узнать вероятность того, что бракованная деталь из третьего цеха.

Итак, событием в данном опыте является событие – «появление бракованной детали». Гипотезами здесь являются исходы «деталь произведена в 1-м цехе», «деталь произведена во 2-м цехе» и «деталь произведена в 3-м цехе». Обозначим эти гипотезы , соответственно. Очевидна вероятность исходов-гипотез по объему поступающей из цехов продукции: .

Известны также вероятности события при каждой из гипотез: . Как же подсчитать ? Ответ на этот вопрос дает теорема Байеса.

Пусть – полная группа событий. Тогда

.

Применяя теорему Байеса, решим поставленную в примере задачу: подсчитаем вероятность того, что бракованная деталь из третьего цеха. .

 

 

Многие задачи теории вероятностей сводятся к тому, что опыт проводится раз независимым образом, причем наступление события в одном опыте не влияет на наступление того же события в другом опыте. Если вероятность наступления события в одном опыте равна , то чему равна вероятность наступлений этого события раз при проведенных опытах ()?. Так как при проведении опытов событие произойдет раз и не произойдет раз, то если мы зафиксируем, в каких опытах событие произойдет, а в каких нет, из-за независимости наступления или отсутствия события мы должны получить . Но поскольку мы не знаем, в каких опытах событие произойдет, а в каких нет, мы должны просуммировать вероятности несовместных событий, отличающихся номерами опытов, в которых событие происходит. Число различных вариантов групп опытов с происшедшими событиями равно . Поэтому ответ на поставленный вопрос дает формула Бернулли: .

Пример. Какова вероятность того, что при десяти бросаниях игральной кости два раза выпадет 6? Здесь , . Следовательно, вероятность интересующего нас события .

Заметим, что в соответствии с формулой бинома Ньютона сумма вероятностей наступления событий 0, 1, 2, …, раз при проведении опытов равна 1.

Задания.

1. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара. 1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый. 2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.

2. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Найти вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.

3. Дано 6 карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки; б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются 6 карточек.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков не превосходит 7; б) на обеих костях выпадает одинаковое число очков; в) произведение выпавших очков делится на 4; г) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.

5. Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что случайно набирая цифры, можно угадать нужный код?

6. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр. Определить вероятность того, все 6 цифр различны.

7. Имеется 6 изделий: 4 из них первого сорта и 2 второго. Наудачу взяли 3 изделия. Найти вероятность того, что среди них только одно первого сорта.

8. Среди 12 студентов 7 отличников. Из группы отобрано наудачу 5 человек. Какова вероятность того, что среди них 3 отличника.

9. Среди 20 изделий 3 дефектных. Случайно из них отобрано 4 изделия. Найти вероятность того, что а) все отобранные годны; б) число годных и дефектных одинаково.

10. Каждый из двух стрелков делает по одному выстрелу в мишень. Пусть событие А – первый стрелок попал в цель, событие В – второй стрелок попал в цель. Что означают события: а) А + В; б) А В; в) .

11. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы выбирается один цветок. Пусть события А – вынута красная роза, В – вынута желтая роза, С – вынута белая роза. Что означают события: а) В + С; б) А + В; в) А С; г) ; д) А+В+С; е) А В + С?

12. Три студента независимо друг от друга решают задачу. Пусть событие А₁ - первый студент решил задачу, событие А₂ – второй студент решил задачу, А₃ – третий студент решил задачу. Выразить через события А_i (i= 1,2,3) следующие события: 1) А – все студенты решили задачу; 2) В – задачу решил только первый студент; 3) С – задачу решил хотя бы один студент; 4) D – задачу решил только один студент; 5) Е – с задачей не справился ни один студент; 6) F – задачу решило не более двух студентов.

13. Только один из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что придется опробовать 5 ключей для открывания замка?

14. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз?

 

Случайные величины.

Случайной величиной называют функцию, заданную на множестве исходов конкретного опыта.