Система единичных векторов n-мерного векторного пространства

Неизвестное х_к называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение содержит х_к с коэффициентом 1, а в остальных уравнениях х_к не содержится.

Суть ме­тода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, а в нем неизве­стное, например, х₁ с коэффициентом а₁₁, отличным от нуля (он в дальнейшем называется разрешающим элементом ), и, разделив первое уравнение на этот коэф­фициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Для этого преобразуют систему, умножая обе части 1-го уравнения на а₂₁ и вычитая из соответствующих частей 2-го уравнения. Затем обе части 1-го уравнения умножают на а₃₁ и вычитают из соответствующих частей 3-го уравнения и т.д. Если коэффициент при х ₁ в первом уравнении равен нулю,то можно выбрать любое уравнение, в котором коэффициент при х₁ отличен от нуля, и с помощью этого уравнения исключить х₁ из всех остальных уравнений.

Выбрав во втором уравнении не­известное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него вто­рое уравнение, с помощью второго уравнения исключают другое не­известное из всех уравнений, кроме второго, и т. д., т. е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжают до тех пор, пока не будут использованы все урав­нения. При этом возможны следующие случаи.

1. В процессе исключений левая часть i- го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отлич­ному от нуля, т. е. имеет место равенство 0=b_i¹0. Это означает, что система несовместна, т.е. не имеет решений.

2. Левая и правая части i-го уравнения обращаютсяв нуль. Это означает, что i-е уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтомуономожет быть отброшено.

3. После того, как все уравнения использованыдля исключения неизвестных, либо будет получено решение,либо доказано, что система несовместна.

Рассмотрим применение метода Жордана — Гауссана примере системы линейных уравнений, в которой количество уравнений меньше количества неизвестных.

Пример 1. Решить системууравнений

или найти коэффициенты разложения вектора В по векторам A₁, А₂, А_3, А₄:

A₁x₁ +А₂x₂ + А₃x₃ + А₄x₄ =B.

Решение. Запишем коэффициенты при неизвестных и свободные члены в таблицу, к элементам которой и применим метод полных исключений.

В первом уравнении коэффициент при x₁ отличен от нуля: a₁₁=5¹0; выбираем его за разрешающий элемент. Разделим первое уравнение на 5. Исключим x₁ из всех уравнений, кроме первого.

Выделены разрешающие элементы уравнений, с помощью которых производим полные исключения неизвестных. Окончательно система принимает вид

Откуда находим общее решение: х₁ = 3/7-3/7x₄,

x₂ =- 53/56-З/5б х₄,

x₃ = 1/4-1/4x₄.

Базисными могут быть разные группы из n переменных. Максимально возможное число групп равно числу сочетаний .

Если в общем решении системы свободные неизвестные приравнять нулю, то такое решение называется базисным.

Таким образом, базис­ное решение рассматриваемой системы таково: х₁ = 3/7, х₂= - 53/56, x₃ = 1/4, x₄ = 0.

Для базисного решения получаем разложение вектора B по век­торам базиса A₁, А₂, А₃

3/7A₁ - 53/56А₂ + 1/4А₃ = B.

Базисное решение, содержащее точно т отличных от нуля неизвест­ных, где т — количество линейно независимых уравнений системы, называется невырожденным.

Если хотя бы одно из базисных неизвестных равно нулю, то базисное решение называется вырожденным.

Решение X=(x₁,x₂,…,x_n) называется допустимым, если оно содержит лишь неотрицательные компоненты, т.е. x_j³0 для любых j=1,2,…,n. В противном случае решение называется недопустимым.