Примеры построения математических моделей простейших экономических задач

Задача об использовании ресурсов (планирование производства, задача оптимального использования удобрений и т.д.).

При выпуске n видов продукции используются m видов сырья. Обозначим через

S_i (i=1,2,...,m) - виды сырья;

b_i - запасы сырья i-го вида;

P_j (j=1,2,....n) - виды продукции;

a_ij - количество единиц i-го сырья, идущего на изготовление единицы j-й продукции;

C_j - величина прибыли, полученная при реализации единицы j-й продукции. Все данные можно свести в таблицу (см. табл. 1.).

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Пусть x_j - количество единиц j-й продукции, которую необходимо произвести.

Тогда математическая модель задачи имеет следующий вид: найти максимальное значение линейной функции L=C₁x₁+C₂x₂+×××+C_nx_n (1) при ограничениях:

(2)

x_j ³ 0, (j=1,2,×××,n), b_i ³ 0 (i=1,2, ×××,m). (3)

Элементы таблицы a_ij образуют матрицу, имеющую m строк и n столбцов, показывающую количество единиц i-го сырья, идущего на изготовление единицы j-й продукции, которую назовем технологической матрицей и обозначим через A; количество b_i ресурсов выразим вектором B=(b₁,b₂,...,b_m) (вектор ресурсов). Назовем планом производства вектор X=(x₁,x₂,...,x_n), показывающий, какие количества товаров P₁,P₂,...,P_n будут произведены. Цены на продукты производства обозначим как вектор C=(C₁,C₂,...,C_n).

Представленная модель, хотя и отражает определенные черты реального производства, тем не менее, сильно идеализирована. Так в ней отсутствует такое важное для производства понятие, как время. Считается также, что все необходимые ресурсы S₁,S₂,...,S_m в нужный момент находятся под рукой. Тем самым мы абстрагировались от острых проблем динамики производства и ритмичности поставок. Здесь также не учитываются затраты живого труда и целый ряд других показателей.

К этому же классу задач относится задача оптимального использования удобрений.

Пусть для выращивания некоторой культуры применяется m видов удобрений соответственно в количестве b_i (I=1,2,…,m) единиц. Вся посевная площадь разбита на n почвенно-климатических зон по d_j (j=1,2,…,n) единиц. Пусть a_{ij ­} количество i-го удобрения, вносимого на единицу площади j-ой зоны, а С_j – повышение средней урожайности, получаемой с единицы площади j-й зоны. Составить такой план распределения удобрений между посевными зонами, который обеспечивал бы максимальный суммарный прирост урожайности культуры.

Обозначим через x_j (j =1,2,…,n) площадь j-й зоны, которую необходимо удобрить, тогда, математическая модель задачи имеет следующий вид:

найти максимальное значение линейной функции L= при ограничениях: , i=1,2,…,m, 0£x_j£d_j, j=1,2,…,n.

Пример1. Для изготовления двух видов продукции P₁, P₂ используются 4 вида сырья (ресурсов) S₁, S₂, S_3, S₄. Запасы сырья, количество единиц сырья, затраченных на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, полученной от реализации одной единицы продукции, приведены в таблице 2.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Таблица 2.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Определяя через x₁ количество единиц продукции P₁, через x₂ - количество единиц продукции P₂, получим систему ограничений:

x₁ ³ 0, x₂ ³ 0 (4)

которая показывает, что количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не может превысить имеющихся запасов. Если P₁ не выпускается, то
x₁ = 0, иначе x₁ > 0. То же самое и для P₂, x₂ = 0 или x₂ > 0. Следовательно, на x₁ и x₂ должно быть наложено ограничение неотрицательности: x₁ ³ 0, x₂ ³ 0.

Конечную цель решаемой задачи - получение максимальной прибыли при реализации продукции, выразим как функцию двух переменных x₁ и x₂: L=2x₁ + 3x₂ (грн) (5).

Таким образом, задача принимает следующий вид: необходимо найти максимальное значение линейной функции (5) при ограничениях (4).