Метод непосредственного интегрирования основан на преобразовании подинтегральной функции, применении свойств неопределённого интеграла и приведении подинтегрального выражения к табличной форме.
Например:
1) 
Проверка (на основании свойства №2 неопределённого интеграла):
2) 
Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла): 
2. Метод подстановки (замены переменной)
Этот метод основан на введении новой переменной. В интеграле 
сделаем подстановку:
, тогда
;
;
Следовательно, получим:
Например:
1) 
Проверка: 
2) 
Проверка (на основании свойства №2 неопределённого интеграла):
Интегрироване по частям
Пусть u и v - дифференцируемые функции. Раскроем дифференциал произведения этих функций:
,
откуда 
Проинтегрируем полученное выражение:
Тогда
или
Например:
Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла):
2) 
Решаем 
Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла):
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задачи для домашнего решения
Найти интеграл:
I. Метод непосредственного интегрирования
а) 
; е) 
;
б) 
; ж) 
в) 
; з) 
г) 
; и) 
д) 
; к) 
II. Метод подстановки (замены переменной)
а) 
; е) 
;
б) 
; ж) 
;
в) 
; з) 
;
г) 
; и) 
;
д) 
; к) 
.
III. Метод интегрирования по частям
а) 
; в) 
; д) 
б) 
; г) 
; е) 
Задачи для решения на практических занятиях:
I. Метод непосредственного интегрирования
а) 
; ж) 
;
б) 
; з) 
;
в) 
; и) 
г) 
; к) 
д) 
; л) 
е) 
; м) 
II. Метод подстановки (замены переменной)
а) 
; ж) 
;
б) 
; з) 
;
в) 
; и) 
;
г) 
; к) 
;
д) 
; л) 
;
е) 
; м) 
III. Метод интегрирования по частям
а) 
; д) 
;
б) 
; е) 
;
в) 
; ж) 
г) 
;
ТЕМА №4
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
При математических расчётах часто требуется найти приращение первообразной функции при изменении её аргумента в заданных пределах. Такую задачу приходится решать при вычислении площадей и объёмов различных фигур, при определении среднего значения функции, при вычислении работы переменной силы. Эти задачи могут быть решены вычислением соответствующих определённых интегралов.
Цель занятия:
1. Научиться вычислять определённый интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
2. Уметь применять понятие определённого интеграла для решения прикладных задач.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейной трапеции.
Пусть дана некоторая функция y=f(x), график которой изображён на рисунке.
Рис 1. Геометрический смысл определенного интеграла.
На оси 0х выберем точки “ a” и “в” и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура ограниченная кривой, перпендикулярами и осью 0х называется криволинейной трапецией. Разобьём интервал 
на ряд небольших отрезков. Выберем произвольный отрезок 
. Достроим криволинейную трапецию, соответствующую этому отрезку до прямоугольника. Площадь такого прямоугольника определится как:
.
Тогда площадь всех достроенных прямоугольников в интервале 
будет равна:
;
Если каждый из отрезков достаточно мал и стремится к нулю, то суммарная площадь прямоугольников будет стремиться к площади криволинейной трапеции:
;
Итак, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела суммы.
Интегральная сумма есть сумма произведений приращения аргумента на значение функции f(x), взятой в некоторой точке интервала, в границах которого изменяется аргумент. Математически задача о нахождении предела интегральной суммы, если приращение независимой переменной стремится к нулю, приводит к понятию определённого интеграла.
Функция f(x ) в некотором интервале от х=а до х=в интегрируема, если существует такое число, к которому стремится интегральная сумма при Dх®0. В этом случае число J называют определённым интегралом функции f(x) в интервале :
;
где ] а, в [ – область интегрирования,
а –нижний предел интегрирования,
в –верхний предел интегрирования.
Таким образом, с точки зрения геометрии, определённый интеграл есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции в определённом интервале ] а, в [ и осью абцисс.
2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЁННЫМ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫМ ИНТЕГРАЛАМИ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Неопределённый интеграл - это совокупность первообразных функций. Определённый интеграл - это число. Связь между ними задаётся формулой Ньютона-Лейбница.
Теорема. Значение определённого интеграла равно разности значений любой первообразной от подинтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределами интегрирования:
Например: 
.
3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
;
2. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций 
, заданных на отрезке равен алгебраической сумме определённых интегралов от слагаемых функций:
;
3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
; 
4. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл изменит свой знак на противоположный:
;
5. Если а=в, то 
;
6. Если отрезок интегрирования разбить на две части 
и 
, то:
;
7. Если подинтегральная функция на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, т.е. если 
, то
;
8. Значение определённого интеграла заключено между произведениями наибольшего и наименьшего значений подинтегральной функции на длину интервала интегрирования:
, где M,m – наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке : m £ £ M.
9. Определённый интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке х=С отрезка интегрирования на длину отрезка (в-а):
,
где f(c) - среднее значение функции в интервале.
4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
