Взаимное положение точки и прямой

 

Точка может принадлежать прямой, в этом случае на плоском чертеже проекции точки принадлежат соответствующим проекциям прямой. На рис. 16 точки А(А₁,А₂) и В(В₁.В₂) принадлежат прямой f(f₁,f₂), т. к. А₁, В₁ принадлежат f₁ и А₂, В₂ принадлежат f₂.

Рис. 16

 

Точки C и D по той же причине не принадлежат прямой f (обе проекции точки D не принадлежат одноименным проекциям прямой f, горизонтальная проекция C₁ не принадлежит горизонтальной проекции f₁).

Прямая f и две точки С и D образуют жесткий объемный объект, например двугранный угол между плоскостями D(АВD) и S(АВС), который имеет неизменные внутренние размеры, например расстояния от точек С и D до прямой f (высоты треугольников с общим основанием АВ). Следовательно, изменять положение в пространстве любого элемента (например, отрезка прямой АВ) можно только вместе с другими элементами (точками C и D).

Если расстояние измеряется между двумя точками, то определить

 

расстояние от точки до прямой можно при условии, что проекция прямой – точка. Для чего угол наклона отрезка прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций в текущем положении 2 изменен до 90°.

Изменять угол a ^(АВ) можно при наличии его натуральной величины. Поэтому в положении 1 определен ÷a ^(АВ)÷, для чего на основании (9) и (11) тригонометрический угол горизонтальной проекции j₁ изменен до 0°. Координата Y^А при этом изменении j₁ стала равна координате Y^В и угол наклона к фронтальной плоскости проекций b^(АВ) стал равен 0°, фронтальная проекция А¹₂В¹₂ = ÷АВ÷, угол÷a ^(АВ)÷ = А¹₂В¹₂ ^Ù А¹₁В¹₁.

Чтобы сохранить геометрические размеры горизонтальной проекции объекта при изменении угла j₁ в текущем положении 1, в исходном положении из горизонтальных проекций точек C₁ и D₁ опустим перпендикуляры C₁К и D₁Н на горизонтальную проекцию прямой А₁В₁. Для построения в первом текущем положении горизонтальной проекции точки С¹₁ от горизонтальной проекции точки А¹₁ отложено расстояние (А¹₁ К) = (А₁ К), из точки К восставлен перпендикуляр (КС¹₁) = (КС₁). Для построения горизонтальной проекции точки D¹₁ от горизонтальной проекции точки А¹₁ отложено расстояние (А¹₁Н) = (А₁Н), из точки Н восставлен перпендикуляр (НD¹₁) = (Н D₁).

Фронтальные проекции точек А¹₂ , В¹₂ , С¹₂ и D¹₂ расположены на пересечении линий связи к оси Х через проекции точек А¹₁ , В¹₁ , С¹₁ и D¹₁ и линий связи к оси Z через проекции точек А₂ , В₂ , С₂ и D₂.

В текущем положении 2 угол a изменен по отношению к текущему положению 1 на угол (90 - a)° и стал равен 90°. Горизонтальная проекция прямой – точка А²₁= В²₁.

Геометрические размеры фронтальной проекции во 2 текущем положении должны соответствовать геометрическим размерам той же проекции в 1 текущем положении. Положение фронтальной проекции точки D²₂ определено расстояниями от концов фронтальной проекции отрезка (А²₂ В²₂) и находится на пересечении дуг радиусами R=(А¹₂ D¹₂ ) и R=(В¹₂ D¹₂ ). Аналогично построена фронтальная проекция точки С²₂.

Горизонтальные проекции точек D²₁, С²₁ расположены на пересечении линий связи к оси Х через проекции D²₂, С²₂ и линий связи к оси Y через проекции D¹₁, С¹₁.

 

Примечание: Оба варианта сохранения геометрических размеров проекции объекта при перемещении в новое текущее положение равнозначны.

Расстояние от точки D до прямой f(f₁,f₂) определяется во 2 текущем положении между горизонтальной проекцией точки D²₁ и горизонтальной проекцией прямой (А²₁= В²₁). Расстояние от точки С до прямой f(f₁,f₂) - ÷ С²₁, (А²₁= В²₁)÷.

 

Взаимное положение прямых

 

Параллельные прямые имеют одинаковые углы наклона к плоскостям проекций, но расстояние между ними не равно 0 (базовая точка одной прямой не принадлежит другой прямой). На рис. 17 прямая a(a₁, a₂)и параллельная ей прямая е(е₁, е₂) заданы проекциями на плоскости П₁ и П₂. Линейные уравнения:

Y^a = K₁´ X + Y^В - горизонтальная проекция прямой a

Y^е = K₁´ X + Y^С - горизонтальная проекция прямой е

 

Z^a = K₂ ´ X + Z^B - фронтальная проекция прямой a

Z^е = K₂ ´ X + Z^С - фронтальная проекция прямой е.

 

Одноименные проекции параллельны (a₁êêе₁,a₂êêе₂), т. к. коэффициенты К₁, К₂ в одноименных уравнениях одинаковы.

Рис. 17

 

Для определения расстояния между параллельными прямыми a и e достаточно изменить угол наклона прямых, например к плоскости П₂, до 90°. Тогда фронтальные проекциями прямых A²₂ и E²2 на П₂ будут точки, расстояние между этими точками равно расстоянию между параллельными прямыми ½a,e½ = ½A²₂E²₂½.

 

Пересекающиеся прямые имеют общую точку, проекции которой лежат на одной линии связи к оси x и совпадают с точками пересечения одноименных проекций, угол между прямыми j больше 0 (рис. 18).

Для определения угла между пересекающимися прямыми следует исходить из того, что они задают плоскость S(n, m). Тогда для определения угла j достаточно например, изменить угол наклона плоскости S к пл. П₁ до 0, и горизонтальная проекция угла между горизонтальными проекциями m²₁ и n²₁ будет равна натуральной величине угла между прямыми m и n. Для этого следует:

- в плоскости S выделить треугольник (АВС) с вершиной в точке А(n Ç m), основание треугольника ВС следует взять исходя из условия, что угол a^ВС = 0, что возможно, если Z^B = Z^C, в этом случае угол b^ВС = В₁С₁ ^ В₂С₂;

Рис. 18

 

- в первом текущем положении угол наклона прямой b^ВС увеличен до 90°, в результате треугольник (АВС) стал перпендикулярен П₂, угол наклона его к горизонтальной плоскости проекций a^АВС измеряется между S₂ и осью Х₁₂;

- во втором текущем положении угол a^(АВС) изменен до 0° (координаты Z^A=Z^B=Z^C), горизонтальная проекция треугольника (А²₁В²₁С²₁) = ½АВС½, угол (В²₁ А²₁С²₁) = (m^ n) = j.

 

Скрещивающиеся прямые - не пересекаются (расстояние между ними не равно 0), не параллельны (угол между ними не равен 0). На плоском чертеже точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи к оси x (рис. 19).

Рис.19

 

При определении расстояния и угла между ними следует исходить из условия, что через две скрещивающиеся прямые можно всегда провести две параллельные плоскости.

 

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной

плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся

прямым другой плоскости. (18)

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми формально равно расстоянию между параллельными плоскостями S и D, которые проведены через скрещивающиеся прямые.

Угол между ними равен углу между пересекающимися прямыми, которые построены в одной из упомянутых плоскостей параллельно скрещивающимся прямым.

Кратчайшее расстояние можно измерить между двумя точками, например между принадлежащей прямой АВ точкой F и точкой К, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из точки F на прямую CD. При этом точка F не может быть произвольной. Однозначно можно взять проекцию точки на проекции прямой, если проекция прямой – точка.

 

Поэтому:

- определим угол наклона a прямой АВ к плоскости П₁ в текущем положении 1, для чего выравняем координаты Y точек А и В (тригонометрический угол наклона горизонтальной проекции А¹₁В¹₁ j₁ = 0° Þ b^АВ = 0 Þ (А¹₂В¹₂) = ½АВ½ Þ a^АВ = ½АВ½^ (А¹₁В¹₁));

- во 2 текущем положении угол a^АВ увеличен до 90°, фронтальная проекция (A²₂В²₂) ^ Х₁₂ , горизонтальная проекция (А²₁=В²₁) – точка;

- горизонтальная проекция точки F²₁, из которой следует опустить перпендикуляр на прямую CD для измерения кратчайшего расстояния между прямыми, совпадет с горизонтальной проекцией (А²₁=В²₁) прямой АВ.

 

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой,

которая принадлежит плоскости. (19)

 

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна

двум пересекающимся прямым в этой плоскости. (20)

 

Проекция прямого угла - прямой угол, если одна из его сторон

параллельна плоскости проекций. (21)

 

Во 2 текущем положении построена параллельная прямой CD плоскость S, которая задана пересекающимися прямыми (АВ Ç АТ). На основании (19) прямая АТêê CD Þ фронтальные проекции (A²₂Т²₂) êê (С²₂D²₂) и горизонтальные проекции (A²₁Т²₁) êê (С²₁D²₁). Плоскость S перпендикулярна плоскости П₁ согласно (16), т. к. АВ ^ П₁. Следовательно, горизонтальный след плоскости S²₁ совпадет с горизонтальной проекцией прямой (A²₁Т²₁). Угол наклона плоскости S к фронтальной плоскости проекций П₂ b^S = S²₁ ^ Х₁₂.

Если через прямую СD построить плоскость D параллельную S, то горизонтальный след D²₁ совпадет с горизонтальной проекцией прямой (С²₁D²₁).

Перпендикуляр, опущенный из точки F на прямую CD, будет одновременно перпендикуляром к плоскости D. В таком случае горизонтальная проекция F²₁К²₁ перпендикуляра, опущенного из точки F на прямую CD на

основании (21) перпендикулярна D²₁. К²₁ – горизонтальная проекция точки пересечения перпендикуляра с прямой CD. Фронтальная проекция точки К²₂ находится на пересечении линии связи к оси Х₁₂ с фронтальной проекцией С²₂D²₂ прямой CD.

Если прямая FK ^S, то на основании (21) фронтальная проекция прямой F²₂К²₂ ^ A²₂В²₂ (b^АВ=0).

Угол наклона прямой FK к горизонтальной плоскости проекций во 2 текущем положении равен 0 (координаты Z точек F и К одинаковы). Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине горизонтальной проекции F²₁К²₁ отрезка прямой FK.

Угол между скрещивающимися прямыми АВТ во 2 текущем положении расположен в плоскости S и задан горизонтальной проекцией A²₁ В²₁Т²₁ и фронтальной проекцией A²₂ В²₂Т²₂. Натуральная величина угла j определена в 3 текущем положении, для чего угол b^S изменен до 0°. Угол j равен Ð A³₂ В³₂Т³₂ .