Геометричні фігури і операції над ними

Означення геометричних фігур.

Операції над геометричними фігурами

План

1. Точка, пряма,їх властивості.

2. Відрізок.

3. Кут.

4. Трикутник.

5. Коло, круг.

6. Многокутники.

7. Многогранники і тіла обертання.

Точка, пряма, їх властивості

Слово «точка» від латинського слова «punqo», що означає «доторкаюсь».

Слово «лінія» є перекладом від латинського слова «linea», що означає «льон», «льняна нитка», іноді це слово розуміють як «пряма лінія», і звідси походить слово «лінійка».

Точка – поняття, що не має означення. Уявлення про точку дає слід на аркуші паперу, зроблений добре загостреним олівцем, ручкою або крейдою на дошці.

 

•А •В Позначаються точки великими латинськими

буквами: А,В,С...

•С

Пряма -поняття, що не визначається. Уявлення про пряму дають такі речі: туго натягнута нитка; промінь світла, який проходить крізь вузький отвір.

Позначається маленькою латинською літерою або двома великими латинськими буквами.

а А _{• •} В

 

Пряма нескінчена.

На малюнку точки і прямі наносяться добре загостреним олівцем. Для побудови прямих користуються лінійкою.

Властивості:

1.1. Через одну точку можна провести безліч прямих.

 

_•

 

 

 

1.2. Через будь – які дві точки можна провести пряму і тільки одну.

А В а ۪ ۪

 

1.3. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій і точки, що не належать їй.

А •

а В

•

 

В є а, А а.

1.4. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

 

А _• В _• С _•

1.5. Дві різні прямі або перетинаються в одній точці, або не перетинаються.

 

 

Відрізок

Означення. Відрізок – частина прямої, обмежена двома точками, включаючи ці точки.

Відрізок позначається точками, що є його кінцями.

Позначення відрізка двома буквами, які відповідають його кінцям, запровадили ще стародавні греки.

 

А• •В

.

Рівні відрізки — відрізки, які співпадають при накладанні.

 

М

А• • •В

 

Середина відрізка – точка, яка ділить відрізок навпіл.

М – середина відрізка АВ, АМ = МВ.

Властивості:

2.1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля.

 

А _{• •} В

а АВ = а, а > 0

Відстань між різними точками - довжина відріз­ка з кінцями в даних точках.

Відстань між точками, що співпадають,дорів­нює 0.

2.4. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

А ۪ ۪ ۪ С АС = АВ + ВС

В

2.5. Рівні відрізки мають рівні довжини. Якщо відрізки мають рівні довжини, то вони рівні.

2.6.Для будь-яких трьох точок відстань між дво­ма з них не більша суми двох інших відста­ней.

B

А С А• B • •C АС ≤ АВ + ВС

 

Кут

3.1. Півпряма А۪ _________________

Означення: Частина прямої а, яка складається з усіх її точок, називається півпрямою або променем.

Означеня кута

Кут — фігура, утворена двома променями, які виходять з однієї точки (вершини).

Кут позначають його вершиною або сторонами, або записують три точки: вершину і дві точки, що лежать на сторонах кута. Слово «кут» іноді замінюють знаком

ВАС = А = 1

Рівні кути — кути, які співпадають при накладанні. ВАN = CAN

 

Одиниці вимірювання кутів:

Градус — величина (градусна міра) кута, яка дорівнює частині розгорнутого кута.

Хвилина - частина градуса.

Секунда — частина хвилини.

1° = 60´, 1´ = 60´´, 1´ = 1°

Властивості вимірювання кутів:

2.Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля 3.Градусна міра кута дорівнює сумі гра­дусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. 4. Від будь-якого променя в дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180°, і тільки один.

1. Якщо два кути мають рівні градусні мі­ри, то вони рівні. Рівні кути мають рівні градусні міри

Види кутів

Кут називається розгорнутим, якщо його градусна міра дорівнює 180⁰.

 

Кут називається гострим, якщо його градусна міра менше, ніж 90⁰.

 

 

Кут називається прямим, якщо його градусна міра 90⁰.

 

 

Кут називається тупим, якщо його градусна міра більше 90⁰, але менше 180⁰.

 

Бісектриса – промінь, який виходить із вершини кута й ділить його навпіл.

 

AN – бісектриса ВАС, BAN = CAN

 

Трикутники

Означення: Трикутником називаєтьсяфігура, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що сполучають ці точки попарно. Точки називаються вершинами, а відрізки – сторонами трикутника.

Вершини трикутника позначають великими латинськими літерами А, В, С, кути при відповідних вершинах грецькими літерами α, β, γ, а довжини протилежних сторін – маленькими латинськими літерами а, b, с.

Сума внутрішніх кутів трикутника – 180^°. α+β+γ = 180^°

Зовнішній кут трикутника (кут, суміжний до внутрішнього кута) завжди дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів трикутника.

Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника завжди перевищує довжину третьої сторони. Це є нерівність трикутника або аксіома трикутника.

Трикутники можна класифікувати в залежності від відносної довжини його сторін:

· В рівносторонньому трикутнику всі сторони мають однакову довжину. Всі кути рівностороннього трикутника також рівні і дорівнюють 60^°. Рівносторонній трикутник також називають правильним.

· В рівнобедреному трикутнику дві сторони мають однакову довжину, третя сторона при цьому називається основою трикутника. Рівнобедрений трикутник також має рівні кути, які знаходяться при його основі.

· Різносторонній трикутник має сторони різної довжини. Внутрішні кути різностороннього трикутника також різні.

Рівносторонній

Рівнобедрений

Різносторонній

Також трикутники можна класифікувати відповідно до їх внутрішніх кутів:

· Прямокутний трикутник має один внутрішній кут рівний 90^° (прямий кут). Сторона, протилежна до прямого кута, називається гіпотенузою. Інші дві сторони називаються катетами прямокутного трикутника.

· Тупокутний трикутник має один внутрішній кут більший, ніж 90^°.

· В гострокутному трикутнику всі кути менше за 90^°. рівносторонній трикутник є гострокутним, але не всі гострокутні трикутники рівносторонні.

Прямокутний

Тупокутний

Гострокутний

Коло, круг

 

Коло — множина точок пло­щини, відстань яких від даної точки (центра кола) дорівнює даній відстані (радіусу кола).

Радіус кола — відстань від центра кола до точки кола (відрізок, що з’єднує центр кола з точкою кола). ОD — радіус.

Хорда кола — відрізок, що з'єднує дві точки кола. AВ — хорда.

Діаметр кола — хорда, яка проходить через центр кола. CD - діаметр, CD = 2OD.

Круг — множина точок пло­щини, відстань яких від да­ної точки (центра круга) не перевищує даної відстані (ра­діуса круга).

Радіус, хорда, діаметр кола, яке обмежує да­ний круг, називають радіусом круга, хордою круга, діаметром круга.

Многокутники

Чотирикутник – це частина площини, обмежена замкненою ламаною, яка містить чотири ланки. Вона складається з чотирьох вершин (точок) і чотирьох сторін (відрізків), що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій. Вершини називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. A + В + С + D = 360°.

 

Кожна сторона чотирикутника менша за суму усіх його інших сторін.

АВ < АD + ВС + СВ.

 

 

Паралелограм - це чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

 

 

Існує декілька окремих видів паралелограмів:

Прямокутник – паралелограм, всі кути якого прямі;

Ромб – паралелограм, всі чотири сторони якого рівні;

Квадрат – рівносторонній прямокутник або прямокутний ромб.

 

Властивості паралелограма:

1. Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто АВ = DC та AD = BC.

2. Протилежні кути паралелограма рівні, тобто А = С та В = D.

3. Діагоналі паралелограма перетинаються та в точці перетину діляться навпіл.

4. Сума сусідніх кутів дорівнює 1800, загальна сума кутів паралелограма дорівнює 3600.

5. Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів його сторін.

Властивості квадрата:

1. У квадрат завжди можна вписати коло.

2. Навколо квадрату завжди можна описати коло.

 

 

Властивості ромба:

1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.

2. Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, з яких вони проведені.