Задача вимірювання площі – одна з найдавніших задач практики. Люди у давнину вимірювали площі земельних ділянок, з кожної одиниці площі вони платили податки. У стародавньому Єгипті після весняного розливу Нілу і спаду води потрібно було відновлювати межі ділянок, а для цього необхідно було вміти вимірювати їх площі. В стародавні часи одиницями площі були: колодязь – площа, яку можна полити з одного колодязя, соха або плуг – середня площа, що оброблена за день сохою чи плугом. (Слово «геометрія» – грецьке, у перекладі означає «землемірство»).
Площею фігури називається додатна величина, яка визначена для кожної фігури так, що:
1) рівні фігури мають рівні площі;
2) якщо фігура складається із скінченої кількості фігур, то її площа дорівнює сумі їх площ.
Якщо порівняти дане означення з означенням довжини відрізка, то маємо, що для площі характерні ті ж самі властивості, що і для довжини, але задані вони на різних множинах: довжина – на множині відрізків, а площа – на множині плоских фігур.
За одиницю площі приймають площу квадрата, довжина сторони якого дорівнює одній лінійній одиниці: 1 м2 (площа квадрата із стороною 1 м), 1 см2, 1 мм2.
Якщо довжину лінійної одиниці позначено через е, то відповідну їй одиницю площі зручно позначити через е2.
Вимірювання площі полягає в кратному порівнянні площі даної фігури F з площею одиничного квадрата е2. Результатом порівняння буде число n таке, що
S ф = n ∙ e2 => me (F) = n, де n – числове значення площі.
Властивості площі:
1. Якщо фігури рівні, то рівні і числові значення їх площ (при однаковій одиниці площі).
Фігури, площі яких рівні, називаються рівновеликими.
2. Якщо фігура F складається з фігур F1, F2,..., Fn, то числове значення площі фігури F дорівнює сумі числових значень площ фігур F1, F2, …, Fn (при однаковій одиниці площі).
3. При заміні одиниці площі числове значення площі збільшується (зменшується) у стільки ж разів, у скільки ж нова одиниця менша (більша) від старої.
Щоб на практиці вимірювати площу використовують палетку – сітку квадратів на прозорому матеріалі. Для вимірювання палетку накладають на фігуру, площу якої знаходять. Якщо виміри прямокутника – цілі числа, палетка накладається так, щоб її лінії сумістились із сторонами прямокутника. Далі підраховують число квадратів, що вміщуються в прямокутнику.
Якщо фігура складніша, то є два способи визначення площі за допомогою палетки.
І спосіб. Спочатку порахувати кількість цілих квадратів, що знаходяться у середині фігури F. Їх кількість m. А потім порахувати кількість нецілих квадратів, тобто число n. Тоді площа фігури F буде обчислена за формулою:
S (F) ≈ (m + n: 2) ∙ е 2.
ІІ спосіб. Також полічити кількість цілих квадратів у середині фігури, їх m. Потім полічити найбільшу кількість квадратів, що містять у собі фігуру, нехай їх k, тоді
m ∙ е 2 < S (F) < k ∙ е 2.
Тобто значення S буде десь посередині між числами m i k. Тому треба знайти середнє арифметичне
S ≈ 
∙ е 2.
В обох способах значення площі будуть співпадати: k = m + n
S ≈ (
) ∙ е 2 = 
∙ е 2 = (m + 
) ∙ е 2.
|
У підручниках з математики початкових класів за допомогою палетки учні знаходять площі різних фігур. Наприклад:
У даній таблиці подано одиниці вимірювання площі, які застосовуються найчастіше:
| 1мм2 – площа квадрата, сторона якого 1мм |
| 1см2 – площа квадрата, сторона якого 1см |
| 1дм2 – площа квадрата, сторона якого 1дм |
| 1м2 – площа квадрата, сторона якого 1м |
| Ар (а) – площа квадрата, сторона якого 10м (сотка) |
| Гектар (га) – площа квадрата, сторона якого 100м |
| 1км2 – площа квадрата, сторона якого 1км |
Між одиницями площі існують наступні співвідношення:
1см2 = 100мм2 1 дм2 = 100см2
1м2 = 100дм2 1 а = 100м2
1га = 10000м2 1 км2 = 1000000м2
За Програмою початкових класів у 4 класі учні знайомляться з правилом обчислення площі прямокутника:
