Рівносильність нерівностей

Означення. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо їх множини розв’язків рівні.

Наприклад, нерівності і рівносильні, бо їх множини розв’язків рівні і є числовим проміжком .

Теореми про рівносильність нерівностей схожі з теоремами про рівносильність рівнянь, і доведення їх аналогічне до доведення теореми 1 рівносильності рівнянь.

Теорема 3. Нехай нерівність f (х) > g (x) задана на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х. Тоді нерівність і дана нерівність f (х) > g (x) рівносильні.

Теорема 4. Нехай нерівність f (х) > g (x) задана на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х і для всіх значень х з множини Х . Тоді нерівність і дана нерівність рівносильні на множині Х.

Теорема 5. Нехай нерівність f (х) > g (x) задана на множині Х і h (х) – вираз, який визначений на тій же множині Х і для всіх значень х з множини Х . Тоді нерівність і дана нерівність рівносильні на множині Х.

При розв’язуванні нерівностей з однією змінною першого степеня використовують наслідки з теорем про рівносильність нерівностей.

Наслідки з теорем про рівносильність нерівностей

До теореми 3

1. Якщо до обох частин нерівності додати одне й те саме число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо в нерівності перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

До теореми 4

Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на одне і те саме додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

До теореми 5

Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на одне і те саме від’ємне число і знак нерівності змінити на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

Наприклад.

1. Розв’яжемо нерівність:

а) Перенесемо доданок 2 х у ліву частину нерівності, а доданок 5 у праву, змінивши їх знаки на протилежні:

За наслідком 2 з теореми 3 дістанемо нерівність, рівносильну даній.

б) Виконаємо тотожне перетворення – зведемо подібні:

Дістали нерівність, рівносильну попередній, а отже і даній.

в) Поділимо ліву і праву частини нерівності на число 2:

За наслідком з теореми 4 дістанемо нерівність, рівносильну попередній, отже і даній.

Отже, розв’язком нерівності є проміжок

 

2. Розв’яжемо нерівність:

Розв’язання.

Отже, множиною розв’язків нерівності є проміжок

 

У початкових класах розглядаються лише найпростіші нерівності. Вони розв’язуються такими способами: методом підбору; на основі залежностей між компонентами та результатом дій; зведенням нерівності до рівності.

Наприклад. При яких значеннях букви а правильна нерівність .

Міркуємо так: зводимо до рівності, рівняння перетворюється у правильну рівність при . Щоб сума була менше 90, потрібно взяти (якщо один доданок сталий, а другий зменшити, то і сума зменшиться).

Отже, на множині цілих невід’ємних чисел множиною розв’язків нерівності є множина .