Довжина відрізка, її властивості і вимірювання

Властивість предметів мати протяжність називається довжиною. А також довжиною відрізка називається додатна величина, яка визначається для кожного відрізка так, що:

1) рівні відрізки мають рівні довжини;

2) якщо відрізок складається із кінченої кількості відрізків, то його довжина дорівнює сумі довжин цих відрізків.

Розглянемо процес вимірювання довжин відрізків. З множини відрізків вибирають будь-який відрізок e і приймають його за одиницю довжини. На відрізку а від одного його кінця відкладають послідовно відрізки, що дорівнюють e до тих пір, поки це можливо. Якщовідрізки, що дорівнюють e, відкладаються n раз і кінець останнього співпав з кінцем відрізка а, то кажуть, що значення довжини відрізка а – це натуральне число n і пишуть: а = nе.

Якщо ж відрізки, що дорівнюють e відклалися n раз і ще залишилась остача, яка менша e, то на ній відкладають відрізки, що дорівнюють

e₁ = e.

Якщо вони відклалися точно n₁ раз, тоді а = n,n₁е і значення довжини відрізка а – цескінчений десятковий дріб.

Якщо відрізок e₁ відклали n₁ раз і залишилась остача, яка менша e_{1 ,} то на ній відкладають відрізки, що дорівнюють

е₂ = e.

Якщо цей процес продовжувати далі, то отримаємо, що значення довжини відрізка а – це нескінченний десятковий дріб.

Отже, при вибраній одиниці довжина будь – якого відрізка виражена додатнім дійсним числом.

Правильне і обернене твердження:

якщо дано додатне число n,n ₁ n ₂ …, то при побудові відрізка його числове значення довжини буде рівне дробу n,n ₁ n ₂...

 

Отже, маємо основну властивість довжин відрізків:

при вибраній одиниці довжини довжина будь-якого відрізка виражена додатнім дійсним числом і, навпаки, для кожного додатного дійсного числа існує відрізок, довжина якого виражена цим числом.

Зауважимо, що коли в результаті вимірювання маємо нескінчений десятковий дріб, то значення довжини відрізка вважається наближеним.

 

Сформулюємо інші властивості довжин відрізків:

1. Якщо два відрізка рівні, то числові значення їх довжин теж рівні і, навпаки, якщо числові значення довжин двох відрізків рівні, то і рівні самі відрізки, тобто

а = b m_e (a) = m_e (b).

2. Якщо даний відрізок – це сума декількох відрізків, то числове значення його довжини дорівнює сумі числових значень довжин відрізків-доданків і, навпаки, якщо числове значення довжини відрізка дорівнює сумі числових значень декількох відрізків, то і сам відрізок дорівнює сумі цих відрізків, тобто

с = а + b m_e (с) = m_e (a) + m_e (b).

3. Якщо довжини відрізків а і b такі, що b = х · а, де х – додатне дійсне число і довжина відрізка а виміряна за допомогою одиниці е, то для того, щоб знайти числове значення довжини відрізка b при одиниці е, достатньо число х помножити на числове значення довжини відрізка а при одиниці е, тобто

b = х · а m_e (b) = х · m_e (а).

4. При зміні одиниці довжини числове значення довжини збільшиться (або зменшиться) в стільки ж разів, в скільки збільшиться (або зменшиться) нова одиниця відносно старої.

З даних властивостей маємо:

5. а < b m_е (а) < m_е (b),

а > b m_е (а) > m_е (b);

6. с = а − b m_e (с) = m_e (a) − m_e (b);

7. х = а: b х = m_e (a): m_e (b).

Розглянуті властивості дозволяють порівнювати довжини відрізків та дії над ними зводити до порівняння та дій над відповідними числовими значеннями довжин цих відрізків.

Приклади:

1) 15м < 15, 1м, бо 15 < 15, 1;

2) 6, 5см + 4, 8см = (6, 5 + 4, 8) см = 11, 3см;

3) 14 · 2 дм = (14 · 2) дм = 28дм.

 

Найдавніші одиниці довжини ототожнювались з назвами частин людського тіла. Наприклад: ширина чотирьох пальців – долоня, довжина ліктя – лікоть, довжина ступні – фут, довжина суглоба великого пальця – дюйм, довжина фаланги вказівного пальця – вершок.

У XV – XVI ст. у ряді країн були одиниці, пов’язані між собою. У Росії одиницями довжини були миля, верства, сажень і аршин:

1миля = 7 верств,

1 верства = 500 сажнів,

1 сажень = 3 аршина.

У метричних одиницях 1 аршин ≈ 71,12см.

 

Основою для міжнародної системи мір стала нова система одиниць вимірювання величин, створена у Франції у 18 столітті. За основну одиницю довжини в цій системі мір було взято метр – одна сорокамільйонна частина довжини земного меридіана, який проходить через Париж. Тому було виготовлено платиновий еталон метра – лінійку з нанесеними штрихами на її кінцях, що зберігається в Національному архіві Франції та має назву «архівного метра».

Метрична система мір не одразу дістала визнання: у 1875 р. нею користувались 17 держав, а зараз – 60. У Росії ця система почала використовуватись з 1899 р., а в Україні – з 1925 р.

При сучасних вимірюваннях довжин використовують такі одиниці як міліметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), кілометр (км), між якими існують відповідні співвідношення:

1м = 100см 1км = 1000м

1м = 10дм 1 дм = 10см

1м = 1000мм 1см = 10мм