Теоретичне обґрунтування алгоритму множення в десятковій системі числення має багато спільного з теоретичним обґрунтуванням алгоритму додавання, тому що використовується десятковий склад числа і основні закони даної арифметичної дії.
Для виконання множення одноцифрових чисел складають таблицю множення (як суми однакових доданків) і запам’ятовують її. Множення багатоцифрових чисел на одноцифрове зводиться до використання таблиці множення, розподільного закону множення відносно додавання і правил додавання чисел. Наприклад,
453 · 4 = (4· 102 + 5 · 10 + 3) · 4 = (4 · 102) · 4 + (5 · 10) · 4 + 3 · 4.
Користуючись переставним і сполучним законами множення, дістаємо:
(4 · 4) · 102 + (5 · 4) · 10 + (3 · 4) = 16 · 102 + 20 · 10 + 12 = 1812.
Як бачимо, множення багатоцифрового числа на одноцифрове зводиться до множення одноцифрових чисел і додавання, взагалі кажучи, багатоцифрових чисел. Множення числа на степінь 10 k зводиться до приписування до множеного k нулів. Множення числа на багатоцифрове число зводиться до використання правила множення на одноцифрове число і степені числа 10. Для цього множник подають у вигляді суми степенів числа 10 з коефіцієнтами, що є цифрами числа. Наприклад,
453 · 132 = 453 · (1 · 102 + 3 · 10 + 2) = (453 · 1) · 102 + (453 · 3) · 10 + (453 · 2).
Результат множення можна дістати, якщо подати множення у такій формі:
× 132
+1359
453___
Алгоритм множення числа х = an an-1 … a1 a0 на число у = bm bm-1 … b1b0 такий:
1. Записати множник у під множником х.
2. Помножити число х на число одиниць b0 числа у і записати добуток х·b0 під відповідними розрядами числа у.
3. Помножити число х на число десятків числа у і записати добуток х · b1, зміщуючи запис на один розряд вліво.
4. Цей процес множення продовжити до обчислення х · bm.
5. Знайдені добутки додати.
Ділення чисел – операція, обернена до операції множення. Вона полягає у знаходженні за відомим добутком двох множників і одним із множників другого (невідомого) множника. Тому при діленні одноцифрових і двоцифрових чисел на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел. При цьому можуть бути такі випадки:
1) за таблицею множення знаходять повну частку, як, наприклад, при діленні числа 63 на 9;
2) за таблицею множення знаходять неповну частку і обчислюють остачу, як у випадку ділення числа 65 на 9: 65 = 9 · 7 + 2, або 65: 9 = 7 (ост. 2).
Отже, взагалі процес ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число в є дія ділення з остачею, яка полягає у знаходженні таких цілих невід’ємних чисел q і r, що а = bq + r, де 0 ≤ r < b. Оскільки
bq ≤ a < b (q + 1), то процес ділення числа а на число в полягає спочатку у знаходженні такого цілого числа q, яке б задовольняло цю рівність. Тоді остача r = а – b q. Наприклад, для виконання ділення 637 на 25 треба знайти такі цілі невід’ємні числа q і r, щоб 637 = 25 ∙ q + r. Подвійна нерівність
25 q ≤ 637 < 25(q +1) дає змогу встановити число цифр у неповній частці q. Справді, оскільки 25 ∙ 10 < 637 < 25 · 100, то частка q – двоцифрове число. Для знаходження цифри її десятків помножимо послідовно дільник 25 на 10, 20,... Оскільки 25 ∙ 20 < 637 <25 ∙ 30, то цифра десятків неповної частки дорівнює 2, а сама частка 20 < q < 30, тобто q = 20 + q1, де q1 – число одиниць. Через те що 25 ∙ (20 + q 1) ≤ 637 < 25 ∙ (20 + q 1 +1), маємо
500 + 25 q1 ≤ 637 < 500 + 25(q1 +1), або 25 q1 ≤ 137 < 25(q1 +1).
Число q1 – одноцифрове. Його можна знайти, послідовно помножаючи 25 на 1, 2, 3,... Дістанемо: 25 · 5 = 125, а 25 ∙ 6 = 150. Тому число одиниць частки дорівнює 5. Отже, неповна частка q = 25, a остача r = 637 – 635 = 12 і
637 = 25 · 25 + 12. Викладені міркування лежать в основі ділення «кутом»:
_ 637 25
50 25
_ 137
125
Загальний алгоритм ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число b такий:
1. Якщо а = b, то частка q = 1, остача r = 0.
2. Якщо а > b і число розрядів у чисел а і b однакове, то, помножаючи b послідовно на числа 1, 2,...,9, знаходять частку q від ділення числа а на число b і остачу r = а – bq.
3. Якщо а > b і число розрядів у числі а більше, ніж у числі b, то частку і остачу шукають так.
У числі а зліва відокремлюють стільки розрядів, скільки їх має число b чи на один розряд більше, а число с1, ними утворене, дорівнювало б чи було б більше від числа b; далі підбирають серед чисел 1, 2,..., 9 такий множник q1, що bq1 ≤ c1, число bq1 підписують під числом c1 і віднімають.
Дістають r1 = с1 – bq1. Це число записують під числом bq1; потім справа до r1 приписують цифри першого з невикористаних розрядів діленого а і порівнюють здобуте число з числом b; якщо воно не менше b, то повторюють вище розглянутий процес, якщо ж воно менше b, то приписують до нього ще стільки розрядів, щоб воно було не менше числа b, і знову застосовують розглянутий вище процес.
