Приведем пример использования неполной индукции в работе с дошкольниками: используя игру «Чудесный мешочек» с объемными геометрическими фигурами, лаем задание ребенку: «Достань фигуру и назови». После нескольких попыток ребенок делает предположение:
- Шар. Шар. Шар. Здесь, наверное, все шары.
Задание 14
Предложите дальнейшие рассуждения для того, чтобы убедиться в истинности (или ложности) полученного утверждения.
Невозможно переоценить значение доказательств в нашей жизни и особенно в науке. К доказательствам прибегают все, но не всегда задумываются, что значит «доказать*. Практические навыки доказательства и интуитивные представления о нем достаточны для многих бытовых целей, но не для научных.
Доказать какое-либо утверждение — это показать, что это логическое утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
Доказательство является логической операцией обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений.
В доказательстве выделяют три структурных элемента:
1) доказываемое утверждение;
2) систему истинных утверждений, с помощью которых обосновывается истинность доказываемого;
3) логическую связь между пп. 1 и 2.
Основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод.
По своей форме доказательство — это дедуктивное умозаключение или цепочка дедуктивных умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемому утверждению.
В математическом доказательстве важен порядок расположения умозаключений. По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. К прямым доказательствам относится полная индукция, речь о которой шла в п.1.6.
Полная индукция - способ доказательства, при котором истинность утверждения следует из его истинности во всех частных случаях.
Полная индукция часто применяется в играх с дошкольниками типа: «Назови одним словом».
Пример прямого доказательства высказывания «Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°»:
«Рассмотрим произвольный четырехугольник. Проведя в нем диагональ, получим 2 треугольника. Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов двух образовавшихся треугольников. Так как сумма углов в любом треугольнике 180°, то, сложив 180° и 180°, получим сумму углов в двух треугольниках, она составит 360°. Следовательно, сумма углов в любом четырехугольнике равна 360", что и требовалось доказать».
В приведенном доказательстве можно выделить следующие умозаключения:
1. Если фигура четырехугольник, то в ней можно начертить диагональ, которая разобьет четырехугольник на 2 треугольника. Данная фигура четырехугольник. Следовательно, его можно разбить на 2 треугольника, построив диагональ.
2. В любом треугольнике сумма углов равна ISO". Данные фигуры треугольники. Следовательно, сумма углов каждого из них равна 180°.
3. Если четырехугольник составлен из двух треугольников, то сумма его углов равна сумме углов этих треугольников. Данный четырехугольник составлен из двух треугольников с суммой углов по 180°. 180о+180о=360°. Следовательно, сумма углов в данном четырехугольнике равна 360°.
Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения, следовательно, являются дедуктивными.
Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. В этом случае допускают, что заключение ложно, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив это предложение к совокупности истинных посылок, проводят рассуждения, пока не получат противоречие.
Приведем пример доказательства от противного теоремы: «Если две прямые а и Ь параллельны третьей прямой с, то они параллельны между собой»:
«Допустим, что прямые а и b не параллельны, тогда они пересекутся в некоторой точке А, не принадлежащей прямой с. Тогда получим, что через точку А можно провести две прямые а и Ь, параллельные с. Это противоречит аксиоме параллельности: «Через точ-
8. Сформулируйте правила явного определения через род и видовое отличие.
9. Какое определение называется:
• контекстуальным;
• остенсивным?
10. Что такое высказывание, а что такое высказывательная форма?
11. Когда предложения видов «А и В», «А или В», «Не А» истинны, а когда ложны?
12. Перечислите кванторы общности и кванторы существования. Как установить значение истинности предложений с различными кванторами?
13. Когда между предложениями имеется отношение следования, а когда отношение равносильности? Как они обозначаются?
14. Что такое умозаключение? Какое умозаключение называется дедуктивным?
15. Запишите при помощи символов правила заключения, правило отрицания, правило силлогизма.
16. Какие умозаключения называются неполной индукцией, а какие умозаключениями по аналогии?
17. Что значит доказать какое-либо утверждение?
18. Что такое математическое доказательство?
19. Дайте определение полной индукции.
20. Что такое софизмы?
