Ділення двоцифрового числа на двоцифрове. Ділення виду 64: 16, 125: 25.

 

Спочатку вводиться правило перевірки ділення. Міркування здійснюються наступним чином.

Ділене дорівнює добутку частки і дільника. Отже, якщо після множення частки на дільник не отримали ділене, то в обчисленнях припущено помилку.

 

 

Учні вчаться перевіряти ділення множенням, наприклад:

84: 6 = 14, 14 * 6 = 84 – в результаті множення частки на дільник отримали ділене, таким чином ділення виконано вірно.

Потім вводиться перевірка множення. Міркування здійснюються наступним чином:

	Якщо добуток поділити на один із множників, то отримаємо інший множник. Отже, якщо після ділення добутку на один із множників не отримали інший множник, то в обчисленнях припущено помилку.

 

Учні вчаться перевіряти множення діленням, наприклад:

18 * 5 = 90, 90: 5 = 18 – в результаті ділення добутку на другий множник, отримали першій множник; отже множення виконано вірно.

 

360: 3 = 36 дес.: 3 = 12 дес. = 120

Далі учні зустрічаються з новим випадком ділення розрядного числа на одноцифрове, коли в частці отримаємо двоцифрове число десятків. Міркування здійснюється за відомою пам’яткою, засобом прийому укрупнення розрядних одиниць:

 

Ознайомлення з діленням двоцифрового числа на двоцифрове число здійснюється способом випробування. Треба зазначити, що з способом випробування діти познайомились при вивченні ділення розрядного числа на розрядне число, тому відомий їм спосіб міркування треба перенести в нову ситуацію:

- Знайдіть значення частки способом випробування: 80: 20.

- Як ми міркували? (Розділити 80 на 20 – це означає знайти таке число, яке при множенні на 20 дає 80. Будемо шукати його способом проб: спробуємо число 2, помножимо 2 на дільник, порівняємо результат з діленим.....)

- Чи можна так само міркувати при обчислюванні частки чисел 64 та 16? (Можна. 64 поділити на 16 – це означає знайти таке число, яке при множенні на 16 дає 64. Це число будемо шукати випробуванням. Починаємо випробувати числа, починаючи з 2...)

В рамках даної теми існує можливість познайомити учнів з більш раціональним способом проб, застосовуючи прикидку:

51: 17 =, * 17 = 51

*

Прикидка: шукаємо таке число, яке при множенні на одиниці дільника, 7, дає результат, що закінчується одиницями діленого, 1. При множенні 3 на 7 в результаті отримаємо число 21, воно закінчується 1. Чи є інші такі числа? (Ні.) Випробуємо лише число 3: 3 * 17 = 51. Висновок: 3 – є часткою чисел 51 та 17.

 

 

Треба зазначити, що діленні двоцифрового числа на двоцифрове можна здійснювати способом послідовного ділення. Ми вже виконували такі завдання при вивченні правила ділення числа на добуток (див. Тему “Ділення числа на добуток. Ділення розрядного числа на розрядне”.)

	64: 16 = 64: (8 * 2) = (64: 8): 2 = 8: 2 = 4

 

 

Тут треба звернути увагу, на подання дільника у вигляді добутку зручних множників: першим повинно бути найбільше число, на яке ділиться дільник за таблицями ділення.

 

Ділення з остачею.

Конкретний зміст ділення з остачею розкривається при розв’язуванні задач на ділення на вміщення та на рівні частини, за допомогою операцій з предметами: учні впевнюються, що не завжди можна виконати розбиття множини на рівно чисельні підмножини, і що в таких випадках операція розбиття пов’язується з дією ділення з остачею.

Задача. 20 кольорових олівців дівчинка поставила в склянки, по 6 олівців у кожну. Скільки дівчинка отримала склянок з олівцями.

Це задача на конкретний зміст дії ділення на вміщення, тому учні відразу можуть записати її розв’язання наступним чином: 20: 6. Але знайти значення цієї частки вони не можуть, тому що не існує такого числа, яке при множенні на 6 дає 20. Складається проблемна ситуація. Вчитель пропонує її вирішення засобом практичних дій:

- Скільки потрібно взяти олівців, щоб покласти в першу склянку? (6) Візьміть 6 олівців і покладів їх в першу склянку.

- Чи всі олівці ми розклали? (Ні, не всі.)

- Візьміть ще стільки олівців, щоб покласти у другу склянку. Скільки потрібно взяти олівців? (6) Беремо 6 олівців і кладемо у другу склянку.

- Чи всі олівці ми розклали? (Ні, не всі.)

- Візьміть ще стільки олівців, щоб покласти у третю склянку. Скільки потрібно взяти олівців? (6) Беремо 6 олівців і кладемо у третю склянку.

- Чи всі олівці ми розклали? (Ні, залишилося 2 олівці.) Чи можна їх покласти у четверту склянку? (Ні, тому що треба розкладати по 6 олівців у кожну склянку, а тут лише 2.)

- Скільки ми отримали склянок з олівцями? (Три склянки по 6 олівців в кожній.)

- Скільки олівців залишилося? (Залишилося 2 олівці.)

- Розв’язання цієї задачі можна так: 20: 6 = 3 (ост. 2) – ми виконали ділення з остачею, тут: 20 – ділене, 6 – дільник, 3 – частка, 2 – остача. Цей запис читають так: 20 розділити по 6, в частці буде 3 і в остачі 2.

Після ознайомлення з дією ділення з остачею учні виконують ділення з остачею, спираючись на практичні дії:

17

 

17: 3

 

 

Порівнюючи приклади на ділення націло і ділення з остачею:

12: 3 = 4 16: 4 = 4 10: 5 = 2

13: 3 = 4 (ост 1) 18: 4 = 4 (ост. 2) 13: 5 = 2 (ост. 3)

учні дістають висновку: в остачі отримуємо число, яке показує на скільки ділене більше за число, яке ділиться на дільник націло, а в частці отримуємо те ж саме число, що й при діленні націло.

На другому уроці учні знайомляться з алгоритмом ділення з остачею:

	Пам”ятка   Ділення з остачею   Називаю всі числа, які менші за ділене, які діляться на дільник націло. Найбільше з них ділю на дільник і результат записую в частці. Віднімаю знайдене число з діленого, отримую остачу. Записую у дужках.   16: 3 1) 3, 6, 9, 12, 15 2) 15: 3 = 5 – це частка 3) 16 – 15 = 1 – це остача   16: 3 = 5 (ост. 1)

 

 

Розглядаючи різноманітні випадки ділення на 4, учні роблять висновок, про те, що остача повинна бути меншою за дільник. Від цього моменту, виконавши ділення з остачею, учні перевіряють чи отримана остача є меншою за дільник. Якщо остача більша за дільник, то ділення можна продовжити.

Також на даному уроці можна звернути увагу учнів на залежність між дільником і кількістю остач: кількість остач (з нулем) дорівнює дільнику. Отже при діленні на 3 можуть бути три остачі: 0, 1, 2; при діленні на 7 – 0, 2,3,4,5,6.

З перевіркою ділення з остачею учні знайомляться пізніше, вона здійснюється за алгоритмом:

	Пам’ятка Перевірка ділення з остачею Множу отриману частку на дільник. Додаю до отриманого добутку остачу. Порівнюю знайдене число з діленим: якщо це число дорівнює діленому, то ділення з остачею виконано вірно.   23: 5 = 4 (ост. 3) Перевірка: 1) 4 * 5 = 20 2) 20 + 3 = 23 3) 23 = 23   4 * 5 + 3 = 23

 

Останній запис пам’ятки також можна прочитати так: при діленні 23 на 5, в частці отримуємо 4, а в остачі 3. Крім того, цей запис можна прочитати ще й так: при діленні 23 на 4 в частці отримуємо 5, а в остачі 3.

Запис: 3 * 5 + 4 = 19, можна прочитати лише одним способом: при діленні 19 на 5 в частці отримуємо 3, а в остачі 4 (якщо ви спробуєте прочитати цей запис другим способом, то остача буде більшою за дільник, що є неможливим.)

Отже, учні повинні навчитися виконувати ділення з остачею за алгоритмом, перевіряти ділення з остачею.

 

Методика вивчення частин величини.

 

Потреба в більш точних вимірюваннях величин призвела до того, що одиниці вимірювання стали ділити на кілька рівних частин: 2, 4, 8 і так далі. Кожна частина початкової мірки мала свою назву. Наприклад, в стародавній Русі половину називали полтиною, четверту частину називали четь, про восьму частину говорили – півчеть, про шістнадцяту – півпівчеть і так далі. Рівні частини цілої мірки називали долями (частинами): четверта частина, восьма, шістнадцята й тощо.

Отже, дроби – це числа, які виражають частини рахунку або вимірювання.

Означення. Звичайні дроби – це числа виду, де а і в натуральні числа.

Згідно програми початкового курсу математики при вивченні частин величини розв’язуються наступні задачі:

1) сформувати у учнів уявлення про частини величини;

2) навчити порівнювали частини на наочній основі;

3) навчити розв’язувати задачі на знаходження частини від числа і числа за величиною його частини.

Тема “Частини величини” (“Долі”) починає вивчатися в 3-му класі під час вивчення таблиць множення і ділення.

Тема вивчається на практичній основі з застосуванням великої кількості наочності: рисок паперу, прямокутників, кругів, рівносторонніх трикутників, а також можна застосовувати яблуко, торт для ділення на рівні частини.

 

Ознайомлення з поняттям про частини.

 

Учитель приносить на урок яблуко і розрізає його на дві рівні частини і показує одну таку частину.

- Як можна назвати цю частину яблука?(Діти кажуть, що це половина яблука.)

- Чому? (Яблуко розділили навпіл.)

- Як отримати половину яблука? (Треба ціле яблуко поділити на дві рівні частини і взяти лише одну таку частину.)

Учитель показує іншу частину яблука:

- Що це? (Половина яблука!) Доведіть. (Яблуко поділили на дві рівні частини. Кожна така частина є половиною. Отже перша частина – половина та друга частина – половина.)

- Скільки половин в цілому яблуці? (В цілому дві половини!)

 

Далі учням пропонується взяти риску паперу, поділити її на дві рівні частини і розмалювати одну таку частину.

 

- Що ви розмалювали? (Половину риски?)

- Що таке половина? (Половина – це одна з двох рівних частин цілого!)

 

Учні розмальовують половину круга: перегинають круг навпіл так, щоб боки співпали, розгладжують лінію згину, розгортають і бачать: лінією згину поділено цілий круг на дві рівні частини; і розмальовують одну з таких частин.

 

Після розмалювання половини прямокутника вчитель запитує дітей:

- Як отримати половину?

- Поділіть прямокутник навпіл. Розмалюйте половину.

- Скільки таких половин в цілому?

- Як можна інакше поділити прямокутник навпіл? Покажіть половину?

- Скільки таких половин в цілому?

- Як інакше поділити прямокутник навпіл? Покажіть половину.

- Скільки таких половин в цілому?

- Скільки половин в цілому? (Цілому дві половини!)

 

 

Отже, якщо цілу величину поділити на дві рівні частини, то кожну таку частину називають половиною.

 

		Для того, щоб отримати половину, треба ціле поділити на дві рівні частини і взяти одну таку частину.
			Ціле містить дві половини.

 

- Половина - одна друга – це дробове число, воно записується так:.

- Як ми отримали? (Ми одне ціле поділили на 2 рівні частини.)

- Отже: 1: 2 =.

- В запису під рискою записано число 2. Що означає число 2? (Число 2 означає на скільки рівних частин поділили ціле.)

- Яке число записано над рискою((Число 1.) Число над рискою 1 означає скільки таких частин взяли.

Деякі методисти відразу радять ввести і терміни “чисельник” і “знаменник”, тоді як за чинним підручником ці терміни вводяться при вивченні дробів в 4-му класі.

- Число під рискою називається знаменник. Що показує знаменник? (Знаменник показує на скільки рівних частин поділили ціле.)

- Число над рискою називається чисельник. Що показує чисельник? (Чисельник показує скільки таких частин взяли.)

Отже, частини записуються парою цифр. Кажуть цифра над рискою (чисельник) та цифра під рискою (знаменник).

 

 

Риска – це те ж знак ділення. В математиці арифметична дія ділення має два знаки – “:”, “—“.

Аналогічно вводяться третина, чверть, п’ята, шоста, восьма... частини

Якщо цілу одиницю рахунку або вимірювання поділити на 3 рівні частини, то кожна буде рівна одній третій – третині:

		Ціле містить три третини.

 

 

Якщо одиницю розділити на 4 рівні частини, то кожна частина рівна одній четвертій – чверті.

		Ціле містить чотири чверті.

 

 

Такий самий зміст мають числа,, і так далі.

 

 

Отже, запис означає, що одиницю поділили на п рівних частин і взяли 1 таку частину.

Термін “ рівні частини” іноді заміняють терміном “долі” (частини). Сказати, що пиріг розділили на 5 долів – це означає, що пиріг поділили на 5 рівних частин.

Закріплення поняття про частини відбувається на підставі завдань:

 

Завдання 1. Диню поділили порівну між 5 дітьми. Яку частину дині отримав кожний?

 

Завдання 2. Яку частину відрізку АВ складає відрізок СD?

А С D В

 

 

Завдання 3. Яку частину круга складає розмальована частина?

 

Завдання 4. Прочитай записи: торту, яблука, гарбуза, дороги, дециметру, години, кілограму. Що вони означають?

 

Завдання 5. Одне ціле – одиницю поділили на 7, 13, 17, 24, 99 рівних частин. Як назвати одну з таких частин в кожному випадку? Запишіть отримані дроби.

 

Завдання 6. Кавун важить 6 кг. Скільки кілограмів важить його половина?

При розв’язанні подібних задач діти повинні міркувати за правилом: щоб отримати половину, треба ціле поділити на дві рівні частини. Отже, цілий кавун, 8 кг, треба поділити на 2. Маємо 8: 2 = 4(кг). Половина кавуна важить 8 кг.

 

Завдання 7. П’ята частина учнів класу відмінники. Відмінників 7 учнів. Скільки учнів в класі?

При розв’язанні цього завдання учні міркують за правилом: в цілому 5 п’ятих частин, тому по 7 учнів треба взяти 5 разів. Маємо 7 * 5 = 35 (уч.). Відповідь: 35 учнів в класі.

 

Треба зазначити, що 6 та 7 завдання можна розглядати, як підготовку до введення правил на знаходження долі від числа та числа за його долею. З цією метою корисні запитання:

- У скільки разів (,,,,...) менше за ціле?

- У скільки разів ціле більше за (,,...)?

Завдання 8. Яку частину метра складає 1 дм? 1 см?

Яку частину години складає 1 хвилина? 1 секунда?

Міркуємо так: в 1 метрі 10 дециметрів, тому 1 така частина – це, отже 1 дм – м.

Порівняння частин.

 

Діти порівнюють частини спираючись на наочність.

1) виконують практичні дії з наочністю: на однакових геометричних фігурах отримують дані частини і накладають одну на одну, і роблять висновок;

2) розглядають малюнки, на яких на однакових геометричних фігурах розмальовані певні частини, на підставі чого роблять висновок.

 

Завдання 1. Порівняйте за малюнками частини:

- Розгляньте риски. Що в них спільного?

- На скільки рівних частин поділено першу риску? Яку частину розмальовано? Скільки половин в цілому?

- На скільки рівних частин поділено другу риску? Яку частину розмальовано? Скільки третин в цілому?

- На скільки рівних частин поділено третю риску? Яку частину розмальовано? Скільки четвертих частин в цілому?

- На скільки рівних частин поділено четверту риску? Яку частину розмальовано? Скільки п’ятих частин в цілому?

- Порівняйте та. Чому половина більша за третину? (Тому що цілу риску спочатку поділили лише на дві рівні частини, а потім – на три рівні частини; і від цього величина однієї частини зменшилася.)

- Порівняйте та. Чому?

- Порівняйте та. Чому?

		- «одна друга»   - «одна третя»   - «одна четверта»   - «одна п’ята»

 

> > >;

Величина однієї долі більше, якщо ціле поділили на менше число рівних частин.

Величина однієї долі менше, якщо ціле поділили на більше число рівних частин.

Завдання 2. Запишіть частини в порядку зростання:,,,,,.

Завдання 3. Порівняйте половину та чверть. Що більше?

1. Відрізок ділять спочатку на дві рівні частини і показують половину;
2. Потім відрізок ділять на чотири рівні частини і показують чверть;
3. Роблять висновок.

 

 

 

 

Знаходження частини (долі) від числа.

 

Правило знаходження частини від числа може бути введено двома способами:

1. На підставі розв’язання простої задачі на конкретний зміст ділення на рівні частини;
2. На підставі індуктивного узагальненні результатів вимірювання.

Розглянемо обидві методики:

 

Задача1. Відрізок, довжиною 12 см розділили на 4 рівні частини. Як називається одна така частини? Знайдіть довжину четвертої частини відрізка.

Доцільно розв’язання задачі ілюструвати кресленням:

?

 

12 см

- Як отримати чверть? (Треба величину цілого поділити на 4 рівні частини.)

Звідти витікає розв’язок: 12: 4 = 3 (см)

Можна міркувати інакше:

- Скільки четвертих частин в цілому? (Чотири)

- У скільки разів довжина чверті менше, ніж довжина цілого відрізку? (В чотири рази.)

- Якою арифметичною дією знаходимо число, яке у кілька разів менше за дане? (Дією ділення.)

Розв’язання: 12: 4 = 3 (см)

Відповідь: 3 см.

- Що означає число 12? (Довжину цілого відрізка.)

- Що означає число 4? (Кількість рівних частин в цілому.)

- Що означає число 3? (Довжину четвертої частини відрізку.)

- Якою арифметичною дією ми дізналися про частину від цілого? (Дією ділення)

- Як знайти величину частини від цілого? (Треба величину цілого поділити на кількість рівних частин в ньому.)

- Зробимо узагальнюючий висновок:

Щоб знайти частину від числа, треба величину цілого поділити на кількість рівних частин в ньому.

 

При виведенні цього висновку можна застосовувати практичну роботу. Дітям роздаються по 3 риски паперу довжиною 24 см. Діти отримують,, цієї риски і вимірюють лінійкою довжини отриманих частин. Дані заносять у таблицю:

Довжина цілої риски	На скільки рівних частин ділили цілу риску	Довжина однієї частини
24 см		12 см
24 см		6 см
24 см		3 см

Діти вивчають дані таблиці і визначають, якою арифметичною дією можна дізнатися про величину частини від цілого. Потім роблять перевірку своєї гіпотези і формулюють правило.

На етапі закріплення правила учням пропонуються завдання на знаходження частини від числа:

1) Знайти від 49;

2) Знайти від 20;

3) Знайти від 100 см;

4) Знайти від 15 хв.;

Задача 2. В магазин привезли 56 кг огірків. До обіду продали всіх огірків. Скільки кілограмів огірків продали до обіду?

	1 – 56 кг -?....

 

 

- Що означає число 56? (Масу усіх огірків, що привезли.)

- Що означає число? (Яку частину огірків продали до обіду.)

- Що означає знаменник 8? (Що усі 56 кг огірків поділили на 8 рівних частин.)

- Що означає чисельник 1? (ЩО 1 таку частину продали до обіду.)

- Що в цій задачі грає роль цілого? (56 кг огірків). Ціле в математиці позначається, як 1. Запишімо це:

- Що треба знайти в цій задачі? (Треба знайти від 56 кг.)

- Як знайти частину від числа?

Розв’язання: 56: 8 = 7 (кг).

Відповідь: 7 кг огірків продали до обіду.

Далі розв’язуються складені задачі, які містять знаходження частини від числа.

 

Знаходження числа за величиною його частини (долі).

 

Задача 1. Довжина чверті відрізка дорівнює 3 см. Визначити довжину цілого відрізка.

- Скільки четвертих частин в цілому? (Чотири)

- Яка довжина чверті відрізка? (3 см).

- Якщо в цілому відрізку 4 таких частини по 3 см, то треба по 3 см взяти 4 рази.

- Якою арифметичною дією дізнаємося про довжину цілого відрізка? (Дією множення.)

Розв’язання: 3 * 4 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

- Що означає число 3? (Довжини однієї частини.)

- Що означає число 4? (Кількість частин в цілому.)

- Що означає число 12? (Величину цілого)

- Якою дією ми дізналися про величину цілого? (Дією множення.)

- Як знайти величину цілого за величиною його частини? (Треба величину частини помножити на кількість частин в цілому.)

- Зробимо узагальнюючий висновок:

Щоб знайти число за величиною його частини, треба величину частини помножити на кількість частин в цілому.

На етапі закріплення правила учням пропонуються завдання на знаходження цілого числа за величиною його частини, наприклад:

1) Знайти число, якщо його складає 8;

2) Знайти число, якщо його дорівнює 5;

3) частина складає 7 кг. Яка маса цілого?

1 -?.... - 12 с.

Задача 2. Дівчинка прочитала 12 сторінок, що складає книги. Скільки сторінок містить ціла книга?

 

 

- Що означає число 12? (Скільки сторінок прочитала дівчинка.)

- Що ще означає число 12? (Величину книги.)

- Що означає число? (Яку частину книги прочитала дівчинка.)

- Що означає знаменник 5? (На скільки рівних частин поділили цілу книгу.)

- Що означає чисельник 1? (Скільки таких частин прочитала дівчинка.)

- Що треба знайти в цій задачі? (Величину цілої книги.)

- Як в математиці позначається ціле? (1)

- Що треба знайти в цій задачі? (Треба знайти число за величиною його частини.)

- Як знайти число за величиною його частини?

Розв’язання: 12 * 5 = 60 (с.)

Відповідь: 60 сторінок в книзі.

 

Складені задачі, які містять знаходження частини від числа ми розглянемо в розділі „ Методика роботи над складеними задачами в 3-му класі.”.