Приклади розв’язання задач. Приклад 1 По відрізку прямого дроту довжиною l = =80 см проходить струм силою I = 50 А

Приклад 2 По тонкому провідному кільцю радіусом R = 10 см проходить струм I = 80 А. Знайти магнітну індукцію В в точці А, рівновіддаленій від усіх точок кільця на відстань r =20 см.

Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємося законом Біо-Савара-Лапласа:

, (6)

де - магнітна індукція поля, створеного елементом струму в точці, що визначена радіусом-вектором .

Виділимо на кільці елемент dl і від нього в точку А проведемо радіус-вектор (рис.41). Вектор направимо відповідно до правила свердлика перпендикулярно до вектора .

Рисунок 41 – Магнітна індукція, що створюється кільцем в точці А

Згідно з принципом суперпозиції магнітних полів магнітна індукція в точці А визначається інтегруванням

де інтегрування проводиться по всіх елементах dl кільця.

Розкладемо вектор на дві складові: , перпендикулярну до площини кільця, і , паралельну площині кільця, тобто

,

тоді

З міркувань симетрії легко помітити, що . Одночасно вектори від різних елементів співнапрямлені, в результаті векторне додавання (інтегрування) можна замінити скалярним

,

де , а (оскільки елемент перпендикулярний , ). Таким чином:

. (7)

У цьому співвідношенні врахуємо, що та проведемо скорочення

. (8)

Виразимо всі фізичні величини у (8) в одиницях СІ і проведемо обчислення

=6,28×10^-5 Тл.

Вектор напрямлений по осі кільця (пунктирна стрілка на рис.41) відповідно до правила свердлика.

Перевіримо розмірність отриманої величини (Тл):

= = = = .

Відповідь: =6,28×10^-5 Тл.

Приклад 3 Два нескінченно довгих дроти схрещені під прямим кутом (рис.42). По дротах проходять струми = 80 А і = 60 А. Відстань між дротами дорівнює d =10 см. Визначити магнітну індукцію в точці А, однаково віддаленій від обох дротів.

Рисунок 42 – Магнітна індукція, що створена двома схрещеними дротами

Розв’язання. Відповідно до принципу суперпозиції магнітних полів магнітна індукція поля, створеного струмами і в точці А, визначається векторною сумою полів, створених кожним струмом окремо .

Помітимо, що вектори і взаємно перпендикулярні (їх напрями знаходяться за правилом свердлика і зображені в двох проекціях на рис.42). Тоді модуль вектора можна визначити за теоремою Піфагора:

, (9)

де і визначаються за формулами розрахунку магнітної індукції для нескінченно довгого прямолінійного дроту із струмом:

і (10)

У нашому випадку . Тоді, підставивши співвідношення (10) у (9), одержимо

. (11)

Проведемо обчислення:

= Тл.

Перевіримо розмірність отриманої величини (Тл):

= = = = .

Відповідь: = Тл.

Приклад 4 Стрижень довжиною заряджений рівномірно розподіленим зарядом з лінійною густиною . Стрижень обертається з частотою с^-1 відносно осі, що перпендикулярна до нього і проходить через його кінець (рис. 43). Визначити магнітний момент ,обумовлений обертанням стрижня.

Рисунок 43 – Стрижень з розподіленим зарядом, що обертається навколо осі ОО`

Розв’язання. Виділимо на стрижні елемент довжиною (рис.43), на даному елементі знаходиться заряд . При обертанні стрижня відносно осі ОО` цей заряд обумовлює струм

, (12)

де - період обертання стрижня; - частота обертання.

Магнітний момент, що створюється струмом ,за визначенням дорівнює

, (13)

де площу контуру S можна знайти із співвідношення

. (14)

Підставимо співвідношення (12) і (14) в (13), тоді знайдемо

.

Проінтегруємо даний вираз за довжиною стрижня

. (15)

Підставивши числові значення фізичних величин у співвідношення (15), отримаємо відповідь

Перевіримо розмірність отриманої величини ():

=

Відповідь: .

Приклад 5 Диск радіусом несе рівномірно розподілений по поверхні заряд (рис.44). Визначити магнітний момент , обумовлений обертанням диска відносно осі, що проходить через його центр і перпендикулярна до площини диска. Кутова швидкість обертання диска .

Рисунок 44 – Диск з розподіленим зарядом, що обертається навколо осі ОО`

Розв’язання. Для знаходження магнітного моменту диска зобразимо його у вигляді сукупності тонких кілець шириною (рис. 44).

Виділимо на диску елемент площі із зарядом

. (16)

При обертанні диска відбувається переміщення електричних зарядів. Сила струму, що відповідає даному руху, визначається співвідношенням

. (17)

З урахуванням рівняння (16) отримаємо

. (18)

Магнітний момент даного струму визначається співвідношенням

, (19)

де площа контуру дорівнює .

Після підстановки виразів (17) і (18) в (19) та урахування того, що за визначенням , отримаємо

. (20)

Повний магнітний момент диска буде дорівнювати сумі (інтегралу) векторів . Оскільки ці вектори мають однаковий напрям, векторну суму можна замінити скалярною. Після інтегрування (20) одержимо

(21)

Підставивши числові значень фізичних величин, знайдемо відповідь

.

Перевіримо розмірність отриманої величини ():

= .

Відповідь: .

Приклад 6 Квадратна дротяна рамка із стороною а = =5 см і опором R = 10 мОм знаходиться в однорідному магнітному полі (В = 40 мТл). Нормаль до площини рамки складає кут з лініями магнітної індукції. Визначити заряд Q, який пройде по рамці, якщо магнітне поле вимкнути.

Розв’язання. При відключенні магнітного поля відбудеться зміна магнітного потоку, що пронизує рамку. Внаслідок цього в рамці виникне ЕРС індукції, яку можна визначити, скориставшись основним законом електромагнітної індукції

. (22)

ЕРС індукції, що виникла, викличе в рамці індукційний струм, миттєве значення якого можна визначити, скориставшись законом Ома для повного кола

, (23)

де R - опір рамки.

Тоді, прирівнявши співвідношення (22) та (23), одержимо

.

Оскільки миттєве значення сили індукційного струму , той цей вираз можна переписати у вигляді

,

звідси

. (24)

Проінтегрувавши співвідношення (24), знайдемо

,

або

.

З урахуванням того, що при вимкненому полі (кінцевий стан) , остання рівність перепишеться у вигляді

. (25)

Знайдемо магнітний потік . За визначенням магнітного потоку маємо

,

де - площа рамки.

В нашому випадку (рамка є квадратом) .

Тоді

. (26)

Підставивши співвідношення (26) в (25), отримаємо

.

Проведемо обчислення

= 8,67×10^-3 Кл.

Переконаємося в тому, що права частина цієї рівності дає одиницю заряду (Кл)

.

Відповідь: 8,67×мКл.

Приклад 7 Тонкий мідний дріт масою зігнутий у вигляді квадрата, кінці якого замкнені. Квадрат розміщений у однорідному магнітному полі так, що його площина перпендикулярна до ліній поля. Визначити заряд DQ, який пройде по провіднику, якщо квадрат, потягнувши його за протилежні вершини, витягнути у лінію.

Розв’язання. Заряд, що проходить через контур внаслідок зміни його форми, визначається виразом

, (27)

де – зміна магнітного потоку, що пронизує контур; – опір дроту, з якого виготовлений контур.

Зміна магнітного потоку дорівнює

,

де - магнітні потоки, що пронизують контур до і після його деформації.

Магнітний потік, що пронизує контур в початковий момент, знайдемо із співвідношення

, (28)

де - кут між нормаллю до рамки і напрямком вектора магнітної індукції; - площа контуру.

Підставивши вираз (28) в (27), отримаємо

. (29)

Площа контуру дорівнює .

Опір контуру знайдемо із співвідношення

, (30)

де - питомий опір міді; – площа перерізу дроту, – довжина дроту.

За умовою задачі

. (31)

Підставивши співвідношення (30) і (31) в (29), отримаємо

. (32)

Площу поперечного перерізу дроту знайдемо із виразу , де – густина міді (). Врахуємо, що , звідси

. (33)

Підставивши вираз (33) в (32), отримаємо

. (34)

Після підставлення числових значень величин у співвідношення (34) отримаємо остаточну відповідь

.

Перевіримо розмірність отриманої величини ():

.

Відповідь: .

Приклад 8 Плоский квадратний контур (рис.45) із стороною а = 10 см, по якому тече струм I =100 А, вільно встановився в однорідному магнітному полі (В = 1 Тл). Визначити роботу А, що здійснюється зовнішніми силами при повороті контуру відносно осі, що проходить через середину його протилежних сторін, на кут . При повороті контуру сила струму, що підтримується в ньому, є незмінною.

Рисунок 45 – Плоский контур у магнітному полі

Розв’язання. Як відомо, на контур із струмом у магнітному полі діє момент сили (рис.45)

, (35)

де - магнітний момент контуру; В - магнітна індукція; - кут між векторами (який направлений по нормалі до контуру) і .

За умовою задачі в початковому положенні контур вільно встановився в магнітному полі. При цьому момент сили дорівнює нулю (M = 0), а, отже, = 0, тобто вектори і співнапрямлені. Якщо зовнішні сили виведуть контур з положення рівноваги, то момент сил, що виникне (див. рис.45), прагнутиме повернути контур у початкове положення. Проти цього моменту і здійснюється робота зовнішніми силами. Оскільки момент сил є змінним (залежить від кута повороту ), то для розрахунку роботи застосуємо формулу роботи в диференціальній формі . Враховуючи співвідношення (35), одержимо

. (36)

Взявши інтеграл від виразу (36), знайдемо роботу при повороті рамки на кінцевий кут:

. (37)

Робота при повороті на кут дорівнює

. (38)

Виразимо числові значення величин в одиницях СІ і підставимо в (38):

= 1 Дж.

Перевіримо розмірність отриманої величини ():

.

Відповідь: 1 Дж.

Приклад 9 Соленоїд має витків. Переріз його сердечника із немагнітного матеріалу становить 10 см². По обмотці проходить струм, який створює поле з індукцією 8 мТл. Визначити середнє значення ЕРС самоіндукції, яка виникає на затискачах соленоїда, якщо сила струму зменшується практично до нуля за час 0,8 мс.

Розв’язання. ЕРС індукції визначається законом електромагнітної індукції

, (39)

де - потокозчеплення.

Магнітний потік, що створюється соленоїдом, дорівнює

, (40)

де - кут між нормаллю до площини витків та вектором магнітної індукції. За умовою задачі , .

Потокозчеплення соленоїда визначається виразом

. (41)

Підставивши співвідношення (40) в (41), отримаємо

. (42)

Оскільки 0, то .

З урахуванням даного виразу (39) набуде вигляду

. (43)

Підставивши числові значення фізичних величин у вираз (43), отримаємо

.

Переконаємося в тому, що права частина цієї рівності дає одиницю напруги (В)

.

Відповідь: .

Приклад 10 Протон, що пройшов прискорювальну різницю потенціалів U = 600 В, влетів в однорідне магнітне поле з індукцією В = 0,3 Тл і почав рухатися по колу (рис. 46). Обчислити радіус R кола.

Рисунок 46 - Рух зарядженої частинки у магнітному полі

Розв’язання. Рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі буде відбуватися по колу (рис. 46) тільки у тому випадку, коли частинка влетить в магнітне поле перпендикулярно до ліній магнітної індукції, .

Оскільки сила Лоренца перпендикулярна до вектора , то вона надасть частинці (протону) нормального прискорення . Згідно з другим законом Ньютона

, (44)

де m - маса протона.

На рис.46 траєкторія протона суміщена з площиною креслення і вказаний (довільно) напрям вектора . Силу Лоренца спрямуємо перпендикулярно до вектора до центра кола (вектори і співнапрямлені). Використовуючи правило лівої руки, визначимо напрям магнітних силових ліній (напрям вектора ).

Перепишемо вираз (44) у скалярній формі (в проекції на напрямок радіуса):

(45)

Модуль сили Лоренца дорівнює . У нашому випадку і , тоді . Оскільки нормальне прискорення , то співвідношення (45) набуде вигляду

.

Звідси знайдемо радіус кола:

. (46)

Помітивши, що , де - імпульс протона, цей вираз можна записати у вигляді

. (47)

Імпульс протона знайдемо, скориставшись зв’язком між роботою сил електричного поля і зміною кінетичної енергії протона, тобто , або

,

де - прискорювальна різниця потенціалів (або прискорювальна напруга U); - початкова і кінцева кінетичні енергії протона.

Нехтуючи початковою кінетичною енергією протона і виразивши кінетичну енергію через імпульс р, отримаємо

.

Знайдемо з цього співвідношення імпульс і підставимо його у формулу (46):

або

. (48)

Підставивши у цей вираз числові значення фізичних величин, проведемо обчислення :

= 11,8 мм.

Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю довжини (м):

=

.

Відповідь: = 11,8 10^-3 м.

Приклад 11 Електрон рухається в однорідному магнітному полі (B = 10мТл) по гвинтовій лінії, радіус якої дорівнює R =1 см і крок h = 6 см (рис.47). Визначити період Т обертання електрона і його швидкість .

Рисунок 47 – Рух зарядженої частинки у магнітному полі

Розв’язання. Електрон рухатиметься по гвинтовій лінії, якщо він влітає в однорідне магнітне поле під деяким кутом () до ліній магнітної індукції. Розкладемо, як це показано на рис.47, швидкість електрона на дві складові: паралельну вектору () і перпендикулярну йому (). Швидкість в магнітному полі не змінюється і забезпечує переміщення електрона вздовж силової лінії. Швидкість в результаті дії сили Лоренца буде змінюватися тільки за напрямом () (за відсутності паралельної складової ( = 0) рух електрона відбувався б по колу в площині, перпендикулярній до магнітних силових ліній). Таким чином, електрон братиме участь одночасно в двох рухах: рівномірному переміщенні із швидкістю і рівномірному русі по колу із швидкістю .

Період обертання електрона пов’язаний з перпендикулярною складовою швидкості співвідношенням

. (49)

Знайдемо . Для цього скористаємося тим, що сила Лоренца надає електрону нормального прискорення . Згідно з другим законом Ньютона можна написати

або

, (50)

де .

З цього співвідношення знайдемо та підставимо у (49), після простих перетворень отримаємо

. (51)

Модуль швидкості , як це показано на рис.47, можна виразити через :

.

Із співвідношення (50) виразимо перпендикулярну складову швидкості:

..

Паралельну складову швидкості знайдемо з наступних міркувань. За час, що дорівнює періоду обертання Т, електрон пройде вздовж силової лінії відстань, що дорівнює кроку гвинтової лінії, тобто , звідки

.

Підставивши замість Т праву частину співвідношення (49), отримаємо

.

Таким чином, модуль швидкості електрона дорівнює

. (52)

Проведемо обчислення періоду обертання та швидкості електрона:

= 3,57 нс.

.

Переконаємося в тому, що права частина рівності (51) дає одиницю часу (с), а співвідношення (52) - одиницю швидкості (м/с).

.

Оскільки R і h мають однакову одиницю вимірювання - метр (м), у квадратних дужках ми поставимо тільки одну з величин (наприклад, R):

Відповідь: 3,57 10^-9 с, .

Приклад 12 Альфа-частинка пройшла прискорювальну різницю потенціалів U = 104 В і влетіла в схрещені під прямим кутом електричне (E =10 кВ/м) і магнітне (В = 0,1 Тл) поля. Знайти відношення заряду альфа-частинки до її маси, якщо, рухаючись перпендикулярно до обох полів, частинка не відхиляється від прямолінійної траєкторії (рис.48).

Рисунок 48 – Рух зарядженої частинки у схрещених магнітному та електричному полях

Розв’язання. Для того щоб знайти відношення заряду Q альфа-частинки до її маси m, скористаємося зв’язком між роботою сил електричного поля і зміною кінетичної енергії частинки:

.

Звідки

. (53)

Швидкість альфа-частинки знайдемо з наступних міркувань. У схрещених електричному і магнітному полях на заряджену частинку, що рухається, діють дві сили:

а) сила Лоренца , спрямована перпендикулярно до швидкості і вектора магнітної індукції ;

б) кулонівська сила , співнапрямлена з вектором напруженості електростатичного поля (Q >0).

На рис.48 спрямуємо вектор магнітної індукції вздовж осі Oz, швидкість - в позитивному напрямі осі Ох, тоді і будуть спрямовані так, як показано на рисунку.

Альфа-частинка буде рухатися прямолінійно, якщо геометрична сума сил = буде дорівнювати нулю. В проекції на вісь Оу отримаємо таку рівність (при цьому враховано, що і ):

.

Звідки

. (54)

Підставивши цей вираз у формулу (53), отримаємо

. (55)

Проведемо обчислення:

мКл/кг.

Переконаємося в тому, що права частина рівності дає одиницю питомого заряду (Кл/кг):

Відповідь: мКл/кг.

Приклад 13 Частинка масою m = 0,01 кг здійснює гармонічні коливання з періодом T = 2 с. Повна енергія частинки, що коливається, становить E = 0,1 мДж. Визначити амплітуду А коливань і найбільше значення сили що діє на частинку.

Розв’язання. Для визначення амплітуди коливань скористаємося виразом повної енергії частинки:

де Звідси амплітуда

. (56)

Оскільки частинка здійснює гармонічні коливання, то сила, що діє на неї, є квазіпружною і, отже, може бути виражена співвідношенням F=-kx, де k - коефіцієнт квазіпружної сили; x - зміщення точки, що коливається. Максимальною сила буде при максимальному зміщенні , що дорівнює амплітуді:

. (57)

Коефіцієнт k виразимо через період коливань:

(58)

Підставивши вирази (56) і (58) в (57) і провівши спрощення, отримаємо

Проведемо обчислення:

мм,

Відповідь:

Приклад 14 Складаються два коливання однакового напрямку, що описуються рівняннями де = 3 cм = 2 см = 1/6 с = 1/3 с, Т =2 с. Побудувати векторну діаграму складання цих коливань і написати рівняння результуючого коливання.

Розв’язання. Для побудови векторної діаграми складання двох коливань одного напрямку треба зафіксувати який-небудь момент часу. Як правило, векторну діаграму будують для моменту часу t = 0. Перетворивши обидва рівняння до канонічної форми , отримаємо

(59)

Звідси бачимо, що обидва гармонічні коливання, які складаються, мають однакову циклічну частоту .