Емпірична функція розподілу

Дискретний та інтервальний статистичний розподіл вибірки можна подати емпіричною функцією.

Функцією розподілу вибірки (або емпіричною функцією розподілу) називається функція аргументу х, що визначає відносну частоту події X < x, тобто .

Властивості функції розподілу: 1) 0 £ F ^*(x)£ 1; 2) при і при .

3) F (x) є неспадною функцією аргументу х, а саме: F (x ₂)³ F (x ₁) при x ₂ ³ x ₁.

 

У табличній формі цей розподіл має такий вигляд:

h	x 1 – x 2	x 2 – x 3	x 3 – x 4	…	xk –1 – xk
ni	n 1	n 2	n 3	…	Nk
Wi	W 1	W 2	W 3	…	Wk

Тут h = x_i – x_{i –1} є довжиною часткового i -го інтервалу. Як правило, цей інтервал береться однаковим.

Інтервальний статистичний розподіл вибірки можна подати графічно у вигляді гістограми частот або відносних частот, а також, як і для дискретного статистичного розподілу, емпіричною функцією F ^*(x) (комулятою).

Гістограма частот являє собою фігуру, яка складається з прямокутників, кожний з яких має основу h і висотy .

Гістограма відносних частот є фігурою, що складається з прямокутників, кожний з яких має основу завдовжки h і висоту, що дорівнює .

Ряди статистичного розподілу та їхні форми

Задача математичної статистики полягає в розробці методів збору й обробки статистичних даних для отримання наукових і практичних висновків.

Генеральною сукупністю називається множина всіх можливих значень випадкової величини:

Одержані в результаті n експериментів числа: - вибіркою з цієї сукупності. Вибірка може записуватися у вигляді варіаційного або статистичного ряду.

Варіаційним рядом вибірки: називається послідовність варіант, записаних в порядку зростання. Різниця між максимальним і мінімальними елементами вибірки називається розмахом вибірки:.

Нехай у вибірці обсягу n елемент х_і зустрічається n разів.

Число n називається частотою елемента х_і. .

Статистичним рядом називається послідовність пар (, ), тобто перелік варіант і відповідних їм частот. Записують статистичний ряд у вигляді таблиці, перший рядок якої містить елементи х_і, а другий – їх частоти n .

Приклад 1. Записати у вигляді варіаційного і статистичного рядів вибірку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Знайти розмах вибірки.

Розв’язання

Обсяг вибірки n =15. Варіаційний ряд: 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7,10, 10.

Розмах вибірки =10-2=8.

хі

Статистичний ряд:

 

 

При великому обсязі вибірки її елементи групують окремими інтервалами їх значень. Ширина інтервалів визначається діленням розмаху вибірки на кількість інтервалів m:

 

Приклад 2. Побудувати полігон і гістограму частот вибірки, випадково вибраних робочих заводу, якщо число інтервалів m =5 (вік робочих в роках):24, 19, 38, 25, 44, 52, 69, 47, 29, 34, 42, 31, 25, 28, 57, 40, 42, 61, 35, 47.

Розв’язання

=19; =69. Розмах вибірки Ширина інтервалів h =

Інтервал віку
n
	0,3	0,2	0,3	0,1	0,1

Приклад 3. Побудувати графік емпіричної функції розподілу числа очок, вибитих стрілком: 10, 10, 9, 10, 7, 9, 10, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 6, 8, 10, 9, 8, 10, 10.

Розв’язання

Статистичний розподіл

 

Функція розподілу