Критика анализа, доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости

А) Устранение монстров в защиту теоремы

Гамма. Я только что понял, что мой контрапример 5 с цилиндром опровергает не только наивную догадку, но также и теорему. Хотя он удовлетворяет обеим леммам, он все же неэйлеров.

Альфа. Дорогой Гамма, не будьте чудаком. Пример с цилиндром был шуткой, а не контрапримером. Ни один серьезный математик не будет считать цилиндр многогранником.

Гамма. Почему же тогда вы не протестовали против контрапримера 3 – моего «морского ежа?» Разве он менее «чуден», чем мой цилиндр? Конечно, тогда вы критиковали наивную догадку и приветствовали опровержения. Теперь защищаете теорему и ненавидите опровержения! Тогда при появлении контрапримера вы ставили вопрос, в чем недостаток предположения. Теперь спрашиваете, в чем недостаток контрапримера.

Дельта. Альфа, вы обратились в устранителя монстров? Это вас не смущает?[68]

Б) Скрытые леммы

Альфа. Согласен. Я, может быть, несколько поторопился. Дайте подумать: имеются три возможных типа контрапримеров. Мы уже обсудили – первый – локальный, но не глобальный – он, конечно, не опровергает теоремы[69]. Вторым типом заниматься не надо; он одновременно и глобальный, и локальный. Он вовсе не опровергает теорему, а подтверждает ее[70]. Теперь мы имеем третий тип – глобальный, но не локальный. Он, конечно, опровергает теорему. Я не считал это возможным. Но Гамма думает, что его цилиндр как раз таким и будет. Если мы не хотим отбросить его как монстр, то должны допустить, что он является глобальным контрапримером: . Но, может быть, он принадлежит ко второму безобидному типу? Бьюсь об заклад, что он не удовлетворит по крайней мере одной из наших лемм.

Гамма. Проверим. Он, конечно, удовлетворяет первой лемме; если я выну грань-основание, то легко могу растянуть остальное на доске.

Альфа. Но если вы удалите боковую оболочку, то он распадется на два куска!

Гамма. Ну и что же? Первая лемма требует, чтобы многогранник был «простым», т.е. «чтобы по удалении одной грани его можно было растянуть на доске». Цилиндр удовлетворяет этому требованию, даже если вы начнете с отнимания оболочки. Вы требуете, чтобы цилиндр удовлетворял добавочной лемме, а именно, чтобы получающаяся плоская сетка была тоже связной. Но кто выдвигал когда-нибудь такую лемму?

Альфа. Всякий слово «растянут» понимал как «растянутый одним куском», «растянутый без разрывов». Мы решили не включать третью лемму, так как Эпсилон доказал, что она вытекает из двух первых. Но посмотрите на доказательство: оно основано на допущении, что после растягивания получается связная сеть. Иначе для триангулированной сети не будет 1.

Гамма. Почему же вы тогда не настаивали на том, чтобы выразить ее явно?

Альфа. Потому что мы считали, что это подразумевается само собой.

Гамма. Вы-то как раз наверняка так и не считали. Ведь вы предположили, что «простой» понимается как «могущий быть сжатым в шарик»[71]. Цилиндр может быть сжат в шарик, следовательно, по вашей интерпретации, он удовлетворяет первой лемме.

Альфа. Хорошо… Но вы должны сознаться, что он не удовлетворяет второй лемме, что любая грань, рассеченная диагональю, распадается на два куска. Как вы будете триангулировать круг или оболочку? Односвязны ли эти грани?

Гамма. Конечно.

Альфа. Но на цилиндре диагоналей вообще не проведешь! Диагональ представляет собой ребро, связывающее две прилежащих вершины. А у цилиндра нет вершин!

Гамма. Не волнуйтесь. Если вы хотите показать, что круг не односвязен, то проведите диагональ, которая не образует новой грани.

Альфа. Не смейтесь; вы очень хорошо знаете, что я не могу.

Гамма. Тогда допускаете ли вы, что утверждение «в круге имеется диагональ, не образующая новой грани» ложно?

Альфа. Да, допускаю. Ну и что же?

Гамма. Тогда вы обязаны допустить, что отрицание этого суждения будет истинным, а именно, что «все диагонали круга производят новую грань», или, что «Круг односвязен».

Альфа. Для вашей леммы: «все диагонали круга производят новую грань» вы не можете привести примера, поэтому ваша лемма не истинна, а лишена смысла. Ваше понимание истины ложно.

Каппа (в сторону). Сначала они ссорились из-за понятия многогранника, а теперь из-за понятия истины[72].

Гамма. Но вы уже допустили, что отрицание этой леммы было ложным! Может ли предложение A не иметь смысла, а не -A иметь смысл и быть ложным? В вашем понимании «смысла» что-то не в порядке.

Заметьте, я вижу ваше затруднение, но мы можем преодолеть его, изменив слегка формулировку. Назовем грань односвязной в случае, когда «для всех x, если x есть диагональ, то ж разрежет грань на две части». Ни круг, ни оболочка не могут иметь диагоналей, так что в их случае при всяком x первая посылка будет всегда ложной. Поэтому условное предложение может быть проверено примером для любого предмета и будет и имеющим смысл, и истинным. Но и круг, и оболочка односвязны – значит цилиндр удовлетворяет второй лемме.

Альфа. Нет! Если вы не можете проводить диагонали и тем самым триангулировать грани, то никогда не получите плоской треугольной сетки и никогда не сможете завершить доказательство. Как же можете тогда требовать, чтобы цилиндр удовлетворял второй лемме? Разве вы не видите, что в лемме должно быть условие существования? Правильная интерпретация односвязности грани должна быть такой: «Для всех x, если x есть диагональ, то x сечет грань надвое; и имеется по крайней мере один x, который будет диагональю». Наша первоначальная формулировка, возможно, не выразила этого словами, но в ней было сделанное бессознательно «скрытое допущение»[73].

Все грани цилиндра не удовлетворяют ему; следовательно, цилиндр будет противоречащим примером, являющимся одновременно и глобальным, и локальным и он не опровергает теоремы.

Гамма. Вы сначала модифицировали лемму о растягивании введением «связности», а теперь и триангуляционную лемму введением вашего условия существования! И все эти темные разговоры о «скрытых допущениях» только скрывают тот факт, что мой цилиндр заставил вас изобрести эти модификации.

Альфа. Зачем темные разговоры? Мы уже согласились опускать, т.е. «скрывать», тривиально ясные леммы. Зачем же нам тогда устанавливать и включать тривиально ложные леммы – они также тривиальны и также скучны! Держите их у себя в уме, но не формулируйте. Скрытая лемма не является ошибкой: это искусная стенография, указывающая на наше знание основ.

Каппа (в сторону). Знание основ – это когда мы допускаем, что знаем все, а в действительности не знаем ничего[74].

Гамма. Если бы вы сознательно ввели предположения, то они были бы таковы: (а) вынимание грани всегда оставляет связную сеть и (в) всякая нетреугольная грань может быть диагоналями разделена на треугольники. Пока они были в вашем подсознательном, то считались тривиально истинными, но цилиндр заставил их перескочить в сознательный ваш перечень в качестве тривиально ложных. Пока вы не были уличены цилиндром, вы даже не могли думать, чтобы эти две леммы могли быть ложными. Если теперь вы говорите, что вы так думали, то вы переписываете историю, чтобы очистить ее от ошибки[75].

Тета. Не так давно, Альфа, вы осмеивали «скрытые» дополнительные условия, которые вырастали в определениях Дельты после каждого опровержения. А теперь это вы делаете «скрытые» дополнительные условия в леммах после каждого опровержения; это вы меняете свою позицию и стараетесь скрыть ее, чтобы спасти лицо. Вас это не смущает?

Каппа. Ничто не может так меня позабавить, как припертый к стене догматик. Надевши платье воинствующего скептика для уничтожения меньших порослей догматизма, Альфа теперь приходит в волнение, когда в свою очередь о н тоже загоняется в угол такими же скептическими аргументами. Теперь он играет ва-банк, пытаясь одолеть контрапримеры Гаммы сначала при помощи защитного механизма, который он сам же обличил и запретил (устранение монстров), а затем проведя контрабандой резерв «скрытых лемм» в доказательство и соответствующих «скрытых условий» в теорему. Так в чем же разница?

Учитель. Помехой для Альфы был, конечно, догматический подход в его истолковании включения лемм. Он думал, что тщательное рассмотрение доказательства может дать совершенный анализ доказательства, содержащий все ложные леммы (так же, как и Бета думал, что он может перечислить все исключения). Он думал, что при помощи их включения может получить не только улучшенную, но и вполне совершенную теорему, не заботясь о контрапримерах. Цилиндр показал ему, что он неправ, но, вместо того чтобы допустить это, он теперь хочет назвать полным анализ доказательства, если он содержит все относящиеся сюда ложные леммы.