Б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям

Омега. Вы критиковали анализы доказательства за крушение обратной передачи ложности при помощи контрапримеров третьего типа. Теперь я критикую их за крушение передачи ложности (или, что то же самое, обратной передачи истины) при помощи контрапримеров второго типа. Доказательство должно объяснить явление эйлеровости в полном его объеме.

Мои поиски имеют целью не только верность, но также и окончательность. Теорема должна быть верной – не должно быть никаких контрапримеров внутри ее области; но она также должна быть окончательной; не должно быть никаких контрапримеров вне ее области. Я хочу провести граничную линию между примерами и контрапримерами, а совсем не между, с одной стороны, безопасной областью с небольшим числом примеров, а, с другой стороны, с мешком, содержащим смесь примеров и контрапримеров.

Ламбда. Итак, вы хотите, чтобы условия теоремы были не только достаточными, но также и необходимыми!

Каппа. Вообразим в целях доказательства, что вы нашли такую магистральную теорему, «Все магистральные многогранники будут эйлеровыми». Понимаете ли вы, что эта теорема будет «окончательной» только в том случае, если будет верной обратная теорема: «Все эйлеровы многогранники будут магистральными многогранниками»?

Омега. Конечно.

Каппа. Значит ли это, что если в порочной бесконечности потеряется верность, то будет потеряна также и окончательность? Вы должна находить по крайней мере по одному эйлерову многограннику вне области каждого из ваших все более глубоких доказательств.

Омега. Конечно, я знаю, что не могу решить проблему окончательности, не решив проблемы верности. Я уверен, что мы решим обе. Мы остановим бесконечный поток контрапримеров как первого, так и третьего типа.

Учитель. Ваши поиски увеличивающегося содержания очень важны. Но почему не признать ваш второй критерий удовлетворительности – окончательность – лишь желательным, но не обязательным? Почему отвергать интересные доказательства, не содержащие сразу достаточных и необходимых условий? Почему рассматривать их как опровергнутые?

Омега. Ну…[113]

Ламбда. Во всяком случае Омега вполне убедил меня, что единственное доказательство может быть недостаточным для критического улучшения наивной догадки. Наш метод должен заключать радикальную формулировку Правила 4, и тогда он должен быть назван методом «доказательств и опровержений» вместо «доказательства и опровержений».

Мю. Извините мое вмешательство. Результаты вашей дискуссии я как раз перевел в квазитопологические термины. Метод включения лемм дал сужающуюся последовательность найденных областей постепенно исправляемых теорем: в процессе появления скрытых лемм эти области сокращались под непрерывной атакой глобальных контрапримеров и стремились к некоторому пределу; назовем этот предел «областью анализа доказательств». Если мы применяем более слабую формулировку Правила 4, то эта область может быть расширена под продолжающимся давлением локальных контрапримеров. Эта расширяющаяся последовательность будет тоже иметь предел; я назову его «областью доказательства». Дискуссия показала, что даже и эта область может быть очень узкой (возможно, даже пустой). Нам придется придумывать более глубокие доказательства, области которых составят расширяющуюся последовательность, включающую все более и более упорствующие эйлеровы многогранники, бывшие локальными контрапримерами для предшествующих доказательств. Эти области, являющиеся и сами предельными областями, будут сходиться к двойному пределу – «области наивной догадки», – которая является целью исследования.

Топология этого эвристического пространства является проблемой математической философии: если последовательности бесконечны, то будут ли они вообще сходиться, стремиться к пределу, может ли предел быть пустым множеством?

Эпсилон. Я нашел более глубокое доказательство, чем у Коши, которое объясняет также эйлеровость «большого звездчатого додекаэдра»! (Передает записку Учителю.)

Омега. Окончательное доказательство! Теперь будет раскрыта истинная сущность эйлеровости!

Учитель. Я очень жалею, но время истекает: мы обсудим крайне утонченное доказательство Эпсилона как-нибудь в другое время[114]. Все, что я вижу, сводится к тому, что оно не будет окончательным в смысле Омеги. Не правда ли, Бета?