В) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра

Бета. Я полагаю, сэр, что вы намереваетесь объяснить ваши несколько парадоксальные замечания. Принося вам всяческие извинения за мою нетерпеливость, я все же должен избавиться от их тяжести.

Учитель. Продолжайте.

(Альфа возвращается.)

Бета. Хотя некоторые положения из аргументов Дельты не кажутся мне умными, но я все-таки прихожу к убеждению, что в них есть разумное зерно. Теперь, мне кажется, что ни одно из предположений не является правильным вообще, но только в некоторой ограниченной области, которая не содержит исключений. Я против того, чтобы называть эти исключения «монстрами», или «патологическими случаями». По существу это равносильно методологическому требованию не рассматривать их как примеры интересные, имеющие право на самостоятельное существование и заслуживающие специального исследования. Но я также против термина «контрапример»; хотя это и дает право принимать их на равной ноге с подтверждающими примерами, но как-то окрашивает их в военные цвета, так что некоторые, вроде Гаммы, при их виде приходят в панику и впадают в соблазн совсем отказаться от прекрасных и остроумных доказательств. Нет, они являются только исключениями.

Сигма. Я более чем согласен. Термин «контрапример» имеет агрессивный оттенок и оскорбляет тех, кто нашел доказательство. «Исключение» – это как раз правильное выражение. «Существуют три рода математических предложений:

1. Те, которые являются всегда справедливыми и для которых нет ни ограничений, ни исключений, например, сумма углов всех плоских треугольников всегда равна двум прямым.

2. Те, которые основаны на некотором ложном принципе и, следовательно, никак не могут быть допущены.

3. Те, которые зависят от правильных принципов, но тем не менее в некоторых случаях допускают ограничения или исключения…»

Эпсилон. Что?

Сигма. «…Не должно смешивать ложные теоремы с теоремами, допускающими некоторые ограничения»[37]. Как говорит пословица: исключения подтверждают правило.

Эпсилон (к Каппе). Кто этот путаник? Ему следовало бы немного поучиться логике.

Каппа (к Эпсилону). И узнать кое-что об неевклидовых плоских треугольниках.

Дельта. Хотя мне и трудно, но я должен предсказать, что в этой дискуссии, вероятно, я и Альфа окажемся на одной стороне. Мы оба аргументировали, исходя из той основы, что предложение может быть или ложным или правильным, и расходились лишь в том, будет ли, в частности, правильной или ложной эйлерова теорема. Но Сигма хочет, чтобы мы допустили третью категорию предложений, которые «в принципе» верны, но «в некоторых случаях допускают исключения». Согласиться с мирным сосуществованием теорем и исключений, значит допустить в математике хаос и смуту.

Альфа. Согласен.

Эта. Я не хотел мешать блестящей аргументации Дельты, но теперь я думаю, что, может быть, будет полезно, если я кратко расскажу историю моего интеллектуального развития. В мои школьные годы я сделался, как вы сказали бы, устранителем монстров не для защиты против людей типа Альфы, но для защиты против типа Сигмы. Я припоминаю прочитанное в журнале относительно теоремы Эйлера: «Блестящие математики предложили доказательства всеобщей правильности этой теоремы. Однако она допускает исключения… Необходимо обратить внимание на эти исключения, так как даже новейшие авторы не всегда ясно признают их»[38]. Эта статья не была изолированным дипломатическим упражнением. «Хотя в учебниках и лекциях по геометрии всегда указывается, что прекрасная теорема Эйлера в некоторых случаях имеет «ограничения», или «не кажется правильной», но еще никто не узнал истинной причины этих исключений»[39]. Я очень внимательно рассмотрел эти «исключения» и пришел к выводу, что они не соответствуют правильному определению рассматриваемых предметов. Таким образом, можно восстановить в правах доказательство теоремы; тогда хаотическое сосуществование теорем и исключений исчезнет.

Альфа. Хаотическая позиция Сигмы может служить объяснением вашего устранения монстров, но никак не извинением, не говоря уже об оправдании. Почему не исключить хаос принятием верительных грамот контрапримера и отбросить и «теорему» и «доказательство»?

Эта. А почему я должен отбрасывать доказательство? Я не могу видеть в нем ничего неправильного. А вы можете? Мое устранение монстров мне кажется более рациональным, чем ваше устранение доказательств.

Учитель. Наши дебаты показали, что устранение монстров может получить более симпатизирующую аудиторию, если оно будет исходить из дилеммы Эты. Но вернемся к Бете и Сигме. Ведь это Бета перекрестил контрапримеры в исключения. Сигма согласился с Бетой…

Бета. Я рад, что Сигма согласился со мной, но боюсь, что я не могу согласиться с ним. Конечно, существуют три типа предложений: правильные, безнадежно неправильные и неправильные, но подающие надежду. Этот последний вид может быть улучшен и возведен в степень правильных при помощи добавления ограничивающих положений, устанавливающих исключения. Я никогда не «приписываю формулам неограниченную область правильности. В действительности большая часть формул справедлива только при выполнении некоторых условий. Определение этих условий и, конечно, уточнение смысла употребляемых терминов заставляют у меня исчезать всякую неопределенность»[40]. Как видите, я не являюсь сторонником любой формы мирного сосуществования между неисправленными формулами и исключениями. Я исправляю мои формулы и делаю их совершенными, вроде стоящих в первом классе Сигмы. Это значит, что я принимаю метод устранения монстров, поскольку он может служить для установления области правильности первоначальной догадки; но отбрасываю его, если он действует как лингвистический трюк для спасения «изящных» теорем при помощи ограничивающих положений. Эти два вида функционирования метода Дельты должны быть строго разделены. Мой метод, для которого характерен только первый способ функционирования, мне хотелось бы назвать «методом устранения исключений». Я буду использовать его для точного определения области, в которой является правильной догадка Эйлера.

Учитель. Какую же «точно определенную область» эйлеровых многогранников вы обещаете нам? И какова ваша «совершенная формула»?

Бета. Для всех многогранников, не имеющих полостей (вроде пары куб в кубе) и туннелей (как рама картины), .

Учитель. Вы уверены?

Бета. Да, вполне.

Учитель. А как быть с тетраэдрами-близнецами?

Бета. Извините. Для всех многогранников, которые не имеют полостей, туннелей и «кратной структуры»[41].

Учитель. Вижу. Я согласен с тем, что вы исправляете догадку, вместо того чтобы просто принять или не принять ее. Я считаю, это лучше и метода устранения монстров, и метода сдачи. Однако у меня есть два возражения. Во-первых, я оспариваю вашу уверенность в том, что ваш метод не только улучшает, но даже «совершенствует» догадку, что он делает ее «строго правильной», что он «заставляет исчезнуть все неопределенности», Но ad hoc-ность вашего метода уничтожает его шансы на достижение уверенности в истине.

Бета. В самом деле?

Учитель. Вы должны допустить, что каждая новая версия вашего предположения является лишь придуманным ad hoc средством исключения только что возникшего контрапримера. Когда вы напали на куб в кубе, вы исключили многогранники с полостями. Когда вам удалось заметить картинную раму, вы исключили многогранники с туннелями. Я ценю ваш открытый и наблюдательный ум; заметить все эти исключения, конечно, очень хорошо, но я думаю, что все же стоило бы внести некоторый метод в ваше слепое отыскивание «исключения». Хорошо, допустим, что положение «все многогранники являются эйлеровыми» является только догадкой. Но зачем же статус теоремы, которая более уже не является догадкой, давать положению, что «все многогранники без полостей, туннелей и еще чего-нибудь являются эйлеровыми»? Как вы можете быть уверенным, что перечислили все исключения?

Бета. Можете ли дать одно, которое я не учел бы?

Альфа. А что вы скажете о моем «морском еже»?

Гамма. И о моем цилиндре?

Учитель. Мне даже не нужно какое-нибудь конкретное новое «исключение» для моей аргументации. Мой аргумент касается только возможности дальнейших исключений.

Бета. Конечно, вы, может быть, правы. Не нужно сразу менять своей позиции при появлении какого-нибудь нового контрапримера. Не нужно говорить: «Если в явлениях не находится ни одного исключения, то заключение может быть высказано в общем смысле. Но если в дальнейшем появится какое-нибудь исключение, то тогда можно будет начать высказывать его с тем исключением, которое появилось»[42]. Дайте подумать. Сначала мы высказали догадку, что годится для всех многогранников, потому что мы нашли его верным для кубов, октаэдров, пирамид и призм. Мы, конечно, не можем принять «этот несчастный путь заключения от частного к общему»[43]. Ничего нет удивительного в том, что исключения появляются; скорее поразительно то, что раньше их не было найдено много больше. По-моему, это произошло оттого, что мы главным образом занимались выпуклыми многогранниками. Как только появились другие многогранники, так наше обобщение уже перестало годиться[44]. Так, вместо постепенного отбрасывания исключений я скромно, но с надежностью проведу граничную линию – «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми»[45]. И я надеюсь, вы согласитесь, что в этом нет ничего гадательного, это уже будет теоремой.

Гамма. А как с моим цилиндром? Ведь он выпуклый?

Бета. Это шутка!

Учитель. Забудем на момент об этом цилиндре. Некоторые критические замечания можно выставить даже и без цилиндра. В этой новой видоизмененной версии метода устранения исключений, который так бодро выдумал Бета в ответ на мою критику, постепенный отход заменен стратегическим отступлением в область, которая, как думают, для данной догадки будет твердыней. Вы стремитесь к безопасности. Но так ли вы безопасны, как думаете? У вас нет никаких гарантий, что внутри вашей твердыни не найдется никаких исключений. Кроме того, есть и противоположная опасность. Может быть, вы слишком радикально отступили, оставив за стеной большое количество эйлеровых многогранников? Наша первоначальная догадка могла быть чрезмерным утверждением, но ваш «усовершенствованный» тезис, по-моему, очень сильно смахивает на утверждение с недостатком; и все же вы не можете быть уверены, что он также не будет чрезмерным утверждением.

Мне также хотелось бы выставить мое второе возражение: вы в своей аргументации забываете о доказательстве; делая предположение относительно области правильности догадки, по-видимому, вы совсем не нуждаетесь в доказательстве. Конечно, вы не думаете, что доказательства являются излишними?

Бета. Этого я никогда не говорил.

Учитель. Да, этого вы не сказали. Но вы открыли, что наше доказательство не доказывает нашей первоначальной догадки. А будет ли оно доказывать вашу исправленную догадку? Скажите же мне это[46].

Бета. Ну…

Эта. Благодарю вас, сэр, за этот аргумент. Смущение Беты ясно обнаруживает превосходство опороченного метода устранения уродств. Ведь мы говорим, что доказательство доказывает то, что было предложено доказать, и наш ответ совершенно недвусмыслен. Мы не позволяем своенравным контрапримерам свободно уничтожать респектабельные доказательства, даже если они переодеваются в скромные «исключения».

Бета. Я ничуть не смущен тем, что мне приходится разработать, исправить и – извините меня, сэр – усовершенствовать мою методологию под стимулом критики. Мои ответ таков. Я отбрасываю первоначальную догадку как ложную, потому что для нее имеются исключения. Также я отбрасываю и доказательство, потому что те же исключения, по крайней мере для одной из лемм будут тоже исключениями (по вашей, терминологии это значит, что глобальный контрапример является необходимо и локальным). Альфа остановился бы на этом месте, так как опровержения, по-видимому, вполне удовлетворяют его интеллектуальным способностям Но я иду дальше. Подходящим ограничением сразу и догадки и доказательства их собственной областью я совершенствую догадку, которая теперь становится истинной и совершенствую в своей основе здравое доказательство, которое становится теперь строгим и, очевидно уже не будет содержать ложных лемм. Например, мы видели что не все многогранники после устранения одной грани могут быть растянуты на плоскости в плоскую фигуру Но это может быть сделано со всеми выпуклыми многогранниками. Поэтому мою усовершенствованную; строго доказанную догадку я имею право назвать теоремой Я снова формулирую ее: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми». Для выпуклых многогранников все леммы будут, очевидно, истинными и доказательство, которое в его ложной всеобщности не было строгим, в ограниченной области выпуклых многогранников станет строгим. Итак, сэр, я ответил на ваш вопрос.

Учитель. Итак леммы, которые когда-то выглядели очевидно истинными до открытия исключения, будут опять выглядеть очевидно истинными, …пока не открыто новое исключение, вы допускаете, что положение: «Все многогранники являются эйлеровыми» было догадкой; вы только что допустили, что «Все многогранники без полостей и туннелей являются эйлеровыми» было тоже догадкой, почему же не допустить, что «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми» может тоже оказаться догадкой!

Бета. На этот раз не догадкой, а интуицией!

Учитель. Я ненавижу вашу претенциозную «интуицию». Я уважаю сознательную догадку, потому что она происходит от лучших человеческих качеств: смелости и скромности.

Бета. Я предложил теорему: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми». Против нее вы произнесли речь. Можете ли вы предложить контрапример?

Учитель. Вы не можете быть уверены, что я этого не сделаю. Вы улучшили первоначальную догадку, но вы не можете требовать признания, что усовершенствовали эту догадку, чтобы достичь совершенной строгости в вашем доказательстве.

Бета. А вы это можете?

Учитель. Я тоже не могу. Но я думаю, что мой метод улучшения догадок будет улучшением вашего, так как я установлю единство, настоящее взаимодействие между доказательствами и контрапримерами.

Бета. Я готов учиться.