Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S ₁и S ₂, по которой слева направо течет жидкость (рис.6.3). Пусть в месте сечения S ₁ скорость течения v ₁, давление р ₁и высота, на которой это сечение расположено, h ₁. Аналогично, в месте сечения S ₂скорость течения v₂, давление p ₂ и высота сечения h ₂. За малый промежуток времени Δ t жидкость перемещается от сечений S ₁ и S ₂ к сечениям S′ ₁ и S′ ₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии W ₂ – W ₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости:

W ₂ – W ₁= A, (6.3)

где W ₁и W ₂ - полные энергии жидкости массой т в местах сечений S ₁и S ₂соответственно.

С другой стороны, А - это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S ₁и S ₂,за рассматриваемый малый промежуток времени Δ t. Для перенесения массы т от S ₁ до S' ₁жидкость должна переместиться на расстояние l ₁ = υ ₁Δ t и от S ₂ до S' ₂ - на расстояние l ₂ = υ ₂Δ t. Отметим, что l ₁и l ₂настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.6.3, приписывают постоянные значения скорости υ, давления р и высоты h. Следовательно,

А = F ₁ l ₁ + F ₂ l ₂, (6.4)

где F ₁ = p ₁ S ₁и F ₂ = - p ₂ S ₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис.6.3).

Полные энергии W ₁и W ₂будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:

W ₁ = mυ ₁²/2 + mgh ₁, (6.5)

W ₂ = mυ ₂²/2 + mgh ₂. (6.6)

Подставляя (6.5) и (6.6) в (6.3) и приравнивая (6.3) и (6.4), получим

mυ ₁²/2 + mgh ₁ + p ₁ S ₁ υ ₁Δ t = mυ ₂²/2 + mgh ₂ + p ₂ S ₂ υ ₂Δ t. (6.7)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (6.2), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Δ V = S ₁ υ ₁Δ t = S ₂ υ ₂Δ t.

Разделив выражение (6.5) на Δ V, получим

ρυ ₁²/2 + ρgh ₁ + p ₁ = ρυ ₂²/2 + ρgh ₂ + p ₂,

где ρ - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

ρυ ²/2 + ρgh + p = const. (6.8)

Выражение (6.8) называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина р в формуле (6.8) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρυ ²/2 - динамическим давлением. Как уже указывалось выше, величина ρgh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h ₁= h₂) выражение (6.8) принимает вид

ρυ ²/2 + p = const, (6.9)

где p + ρυ ²/2называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (6.9) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (6.2) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис.6.4). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито - Прандтля (рис.6.5). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р ₀), с помощью другой - статическое (р). Манометром измеряется разность давлений:

р ₀ – p = ρ ₀ gh, (6.10)

где ρ ₀ - плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

р ₀ – p = ρυ ²/2. (6.11)

Из формул (6.10) и (6.11) получаем искомую скорость потока жидкости:

υ = . (6.12)

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.6.6). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм.рт.ст.

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.6.7).

Рассмотрим два сечения (на уровне h ₁ свободной поверхности жидкости в сосуде на уровне h₂ выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

ρυ ₁²/2 + ρgh ₁ + p ₁ = ρυ ₂²/2 + ρgh₂ + p ₂.

Так как давления р ₁и р ₂в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. p ₁ = p _2, то уравнение будет иметь вид
υ ₁²/2 + gh ₁ = υ ₂²/2 + gh ₂.

Из уравнения неразрывности (6.2) следует, что υ ₂/ υ ₁ =S ₁/ S ₂, где S ₁и S ₂ - площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S ₁ >> S ₂, то членом υ ₁²/2 можно пренебречь и

υ ₂² = 2g(h ₁ – h ₂ ) = 2 gh,

υ ₂ = . (6.13)

Это выражение получило название формулы Торричелли.