Рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку Δ S и вычислим давление на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m 0 υ -(- m 0 υ) = 2 m 0 υ,
где: т 0- масса молекулы, υ - ее скорость.
За время Δ t площадки Δ S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием Δ S и высотой υ Δ t. Число этих молекул равно n Δ Sυ Δ t (n - концентрация молекул).
Необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадке Δ S под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул, т.е. 1/6 часть, движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку Δ S будет 1/6 n Δ Sυ Δ t. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс
Δ P =2 m 0 υ∙ 
n Δ Sυ Δ t = 
nm 0 υ2 Δ S Δ t.
Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,
p =Δ Ρ/ (Δ S Δ t) = nm 0 υ2. (7.12)
Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями υ 1, υ 2,..., υN, то целесообразно рассматривать среднюю квадратную скорость
υ cк= 
(7.13)
характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (3.1) с учетом (3.2) примет вид
p= nm 0 υ cк 2. (7.14)
Выражение (7.14) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов.
Учитывая, что n=N/V,получим
pV= Nm 0 υ cк 2,
или
pV= 
N 
= 
W, (7.15)
где W — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.
Так как масса газа m=Nm 0, то уравнение (7.14) можно переписать в виде
pV= 
mυ cк 2.
Для одного моля газа т=М (М — молярная масса), поэтому
pVm= Mυ cк 2,
где Vm — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона - Менделеева, pVm=RT. Таким образом,
RT = Mυ cк 2
откуда
υcк = 
. (7.16)
Так как
М= NА m 0,
где m 0 — масса одной молекулы, а NА — постоянная Авогадро, то из уравнения (7.16) следует, что
υcк= 
= 
, (7.17)
где: k=R/NA — постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют υcк =480 м/с, водорода – 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа
< w 0> = 
= 
= 
kТ (7.18)
пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при N =0 имеем < w 0>=0, т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (7.18) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.
