Вычислительная погрешность

Далее для краткости будем обозначать абсолютную погрешность числа х как , относительную погрешность - .

1. Погрешность суммирования чисел , .

Абсолютная погрешность:

.

Относительная погрешность:

2. Погрешность вычитания чисел , .

Абсолютная погрешность:

.

Относительная погрешность:

3. Погрешность умножения чисел , .

Абсолютная погрешность:

.

Относительная погрешность:

4. Погрешность деления чисел , .

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

.

5. Погрешность функции, зависящей от одной переменной.

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Аналогично получают формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности для функций, зависящих от n переменных.

Задание 1: Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры:
а) в строгом смысле б) в широком смысле

Ответ: абсолютная погрешность для числа х:
относительная погрешность числа х

абсолютная погрешность для числа y:
относительная погрешность числа y

Задание 2. Число х, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата х1 вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х1 указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешности.

Это значит, что в числе 1.143 три цифры до тысячных (1,1,4,3) верны в строгом смысле по абсолютной погрешности.

т.к. первая значащая цифра в относительной погрешности 3<5, то сравниваем относительную погрешность с числом

Это значит, что в числе 1.143 три цифры (1,1,4) верны в строгом смысле по относительной погрешности.

Задание 3. Вычислить значение величины z с помощью ЭВМ при заданных значениях a и b с систематическим учетом абсолютных погрешностей после каждой операции, если цифры верны в строгом смысле.

Для получения значения величины z необходимо выполнить 6 действий. Будем вычислять абсолютную погрешность после каждого действия с целью определения количества верных цифр в промежуточных результатах.
Т.к. цифры верны в строгом смысле, то абсолютные значения данных чисел a, b равны соответственно:

1)

Значит, в числе а1 верны цифры до сотых (т.е.3, 5, 1, а остальные - сомнительные. т.е.

(сохраняем одну сомнительную цифру)

2)

Значит, в числе b1 верны цифры до десятых (т.е.3, 7, а остальные - сомнительные. т.е.

(сохраняем одну сомнительную цифру)

3)

Значит, в числе chicl верны цифры до десятых (т.е.7, 2, а остальные - сомнительные. т.е.

(сохраняем одну сомнительную цифру)

4)

Значит, в числе а2 верны цифры до тысячных (т.е.2, 5, 1, 2, а остальные - сомнительные. т.е.

(сохраняем одну сомнительную цифру)

5)

Значит, в числе chicl верны цифры до единиц (т.е.1, 6, а остальные - сомнительные. т.е.

(сохраняем одну сомнительную цифру)

6)

Значит, в числе z верны цифры до сотых (т.е.0, 4, 3, а остальные - сомнительные. т.е.

(сохраняем одну сомнительную цифру)

т.к. первая значащая цифра в относительной погрешности 4<5, то сравниваем относительную погрешность с числом

Это значит, что в числе 0.4339285714 две цифры (4,3) верны в строгом смысле по относительной погрешности.

Ответ: Величина z=0,434. Две цифры 4, 3 верны по абсолютной погрешности, две цифры верны по относительной погрешности.

Задания для самостоятельной работы

Задача 1. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры (Табл. 1):

а) в строгом смысле, б) в широком смысле.

Таблица 1

1. 1	а)11,445	б) 2,043		а) 2,4516,	б) 0,863
2. 2	а) 8,345,	б) 0,288		а) 5,6432,	б) 0,00858
3. 3	а) 0,374,	б) 4,348		а) 12,688,	б) 4,636
4. 4	а) 41,72,	б) 0,678		а) 15,644,	б) 6,125
5. 5	а) 18,357,	б) 2,16		а) 16,383,	б) 5,734
6. 6	а) 14,862,	б) 8,73		а) 18,275,	б) 0,00644
7. 7	а) 0,3648,	б) 21,7		а) 3,75,	б) 6,8343
8. 8	а) 0,5746,	б) 236,58		а) 26,3,	б) 4,8556
9. 9	а) 5,634,	б) 0,0748		а) 43,813,	б) 0,645
	а) 20,43,	б) 0,576		а) 3,643,	б) 72,385
	а) 12,45,	б) 3,4453		а) 3,425,	б) 7,38
	а) 2,3445,	б) 0,745		а) 0,573,	б) 3,6761
	а) 0,5746,	б) 42,884		а) 0,3825,	б) 24,6
	а) 3,4,	б) 0,078		а) 0,856,	б) 23,508
	а) 2,4342,	б) 0,57004		а) 5,60234,	б) 0,07
	а) 112,5,	б) 0,04453		а) 20,4143,	б) 0,51
	а) 0,576,	б) 2,5008		а) 12,	б) 53,3
	а) 25,613,	б) 0,0748		а) 2.35,	б) 0,74015
	а) 0,4223,	б) 0,57		а) 92.451,	б) 103,43
	а) 112,45,	б) 3,4		а) 2010.345,	б) 0,44745

Задача 2. Число х (Табл. 2), все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата x ₁ »x вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа x ₁ указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешностям.

 

Таблица 2

№	x	№	х
1. 1			23,394
2. 2	32,147		0,003775
3. 3	35,085		718,21
4. 4	7,544		9,73491
5. 5	198,745		11,456
6. 6	37,4781		0,1495
7. 7	0,183814		6,2358
8. 8	0,009145		4,4005
9. 9	11,3721		2,3078
	0,2538		3,2175
	10,2118		0,0002568
	4,394		37,8455
	0,8437		0,09872
	129,66		3,00971
	48,847		1,15874
	9,2038		0,003711
	2,3143		0,029056
	0,012147		4,7561
	0,86129		0,003822
	0,1385		0,095641

Задача 3. Вычислить значение величины z (Табл. 3) при заданных a, b и c c систематическим учетом абсолютных погрешностей после каждой операции и с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z, и определить по ним количество верных цифр в z, если цифры a, b и c верны в строгом смысле:

 

Таблица 3

№	Задание	Исходные данные	№	Задание	Исходные данные
1. 1		a = 0,317 b = 3,27 c = 4,7561			a = 0,038 b = 3,9353 c = 5,75
2. 2		a = 0,0399 b = 4,83 c = 0,0721			a = 7,345 b = 0,31 c = 0,09871
3. 3		a = 1,0574 b = 1,40 c = 1,1236			a = 0,2471 b = 0,0948 c = 4,378
4. 4		a = 12,72 b = 0,34 c = 0,0290			a = 1,284 b = 4,009 c = 3,2175
5. 5		a = 3,49 b = 0,845 c = 0,0037			a = 18,407 b = 149,12 c = 2,3078
6. 6		a = 0,0976 b = 2,371 c = 1,15887			a = 29,49 b = 87,878 c = 4,403
7. 7		a = 82,3574 b = 34,12 c = 7,00493			a = 74,079 b = 5,3091 c = 6,234

Продолжение таблицы 3

№	Задание	Исходные данные	№	Задание	Исходные данные
8. 15		a = 3,71452 b = 3,03 c = 0,756			a = 3,4 b = 6,22 c = 0,149
9. 16		a = 0,11587 b = 4,256 c = 3,00971			a = 5,387 b = 13,527 c = 0,7565
		a = 4,05 b = 6,723 c = 0,03254			a = 1,75 b = 1,215 c = 0,041
		a = 0,7219 b = 135,347 c = 0,013			a = 3,672 b = 4,63 c = 0,0278
		a = 0,113 b = 0,1056 c = 89,4			a = 13,57 b = 3,7 c = 4,226
		a = 1,247 b = 0,346 c = 0,051			a = 0,317 b = 13,57 c = 0,751
		a = 11,7 b = 0,0937 c = 5,081			a = 0,317 b = 33,827 c = 14,85
		a = 18,035 b = 3,7251 c = 0.071			a = 5,52 b = 3,27 c = 14,123
		a = 5,7568 b = 21,7 c = 2,65			a = 9,542 b = 3,128 c = 0,17

Отчет о выполненной работе должен содержать:

1. Тему и цель работы

2. Индивидуальное задание согласно варианту

3. Решение предложенных задач

 

Вопросы к защите лабораторной работы

1.Что такое абсолютная и относительная погрешности?

2.Как классифицируются виды ошибок?

3.Что значит цифра, верная в строгом, широком смыслах?

 

 

Лабораторная работа №2,3