3. Рядом с длинным проводником с током расположен контур. Чему равна циркуляция индукции магнитного поля по контуру?
4. Получите формулу индукции магнитного поля на средней окружности тороида, если известна концентрация витков катушки и сила тока.
5. Из большого витка проволоки сделали небольшую катушку. Как изменится индукция магнитного поля в центре витков?
6. Провод сложили вдвое и из него намотали катушку (бифилярная обмотка). Что можно сказать о магнитном поле такой катушки? Почему такие катушки применяют для изготовления магазинов сопротивления?
7. Как ведет себя магнитная стрелка в магнитном поле Земли? Каков характер магнитного поля Земли?
8. Тангенс гальванометр представляет собой плоскую катушку, в центре которой расположен компас. Катушку в магнитном поле располагают так, чтобы стрелка компаса была в плоскости катушки. Как повернется стрелка при включении тока?
9. В опыте Эрстеда магнитная стрелка располагалась рядом с проводником. Как повернется стрелка при включении электрического тока в проводнике?
10. Можно ли разломив магнитную стрелку получить два магнитных заряда: северный и южный?
11. Постоянным подковообразным магнитом приподняли железный брусок. Другим железным бруском замкнули стержни магнита, и первый брусок упал. Почему?
12. Можно ли каким либо образом экранироваться от внешнего магнитного поля?
13. Проводник с током поместили внутрь железной трубы. Как изменится магнитное поле внутри и снаружи? Как изменится ответ, если трубка из сверхпроводящего материала?
14. По широкой плоской ленте течет равномерно распределенный по сечению электрический ток. Определите направление вектора индукции магнитного поля вблизи ленты не её середине. Можно ли магнитное поле считать однородным?
15. Определите циркуляцию вектора индукции однородного магнитного поля по контуру в форме прямоугольника, длинные стороны которого параллельны силовым линиям. Определите интеграл 
на каждой стороне прямоугольника.
16. Запишите закон Ома для магнитной цепи трансформатора с двумя катушками, если направления токов совпадают.
17. Имеются три катушки с одинаковыми сердечниками, с одинаковыми направлениями токов. Сердечники с обеих сторон замкнуты массивными железными плитами. Изобразите эквивалентную электрическую цепь
18. В круглом стержне, по которому течет постоянный ток, на оси имеется сферическая полость. Докажите с помощью закона полного тока, что в полости магнитного поля нет.
19. Контур интегрирования представляет собой два витка, охватывающие проводник с током. Циркуляция вектора магнитной индукции будет в два раза больше, чем при одном обхвате. Будет ли индукция в два раза больше?
20. Изобразите магнитное поле витка с током. Почему магнитное поле является вихревым?
21. В коаксиальном кабеле ток течет в одном направлении по центральной жиле, а возвращается по проводящей оболочке. Изобразите график зависимости индукции магнитного поля в зависимости от расстояния от оси кабеля.
8. СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
1. Если в опыте Эрстеда проводник с током действует на магнитную стрелку, то и наоборот магнитное поле стрелки должно действовать на проводник с током, согласно третьему закону Ньютона. Но магнитное поле могут создавать другие проводники. Значит, проводники с током должны взаимодействовать между собой. Эксперименты по взаимодействию проводников с током провел Ампер. В результате установлен закон Ампера: сила, действующая на элемент проводника с током, равна произведению силы тока на векторное произведение длины элемента на индукцию магнитного поля: 
.
В скалярномвиде закон Ампера имеет вид
. 8.1
Здесь α – угол между вектором элемента длины проводника, направленного по току, и силовыми линиями магнитного поля.
Направление вектора силы определяется правилом левой руки: если четыре пальца расположить вдоль проводника в направлении тока, силовые линии входили в ладонь, то отогнутый большой палец укажет направление силы Ампера (рис. 8.1). Вектор силы Ампера перпендикулярен силовым линиям магнитного поля и проводнику. Если поле однородное, проводник прямой, то сила Ампера равна
. 8.2
2. Определим силу взаимодействия двух параллельных проводников с токами J 1 и J 2, находящихся на расстоянии a, которое много меньше длины проводников (рис. 8.2). Пусть первый проводник является источником магнитного поля с индукцией 
, которая в месте расположения второго проводника направлена за чертеж (sin α=1). На отрезок второго проводника длиной l действует сила Ампера 
. Подставив формулу индукции, получим
. 8.3
Согласно правилу буравчика и правила левой руки параллельные проводники с током одного направления притягиваются, противоположного направления – отталкиваются.
Формула служит для установления пятой единицы системы СИ – силы тока – ампера. Один ампер это такая сила тока, при которой два параллельных проводника на расстоянии 1 метр, взаимодействуют на один метр длины с силой 2∙10-7 ньютона.
3. При перемещении проводника с током в магнитном поле силами Ампера совершается механическая работа.
Пусть элемент проводника длиной dl перемещается на малое расстояние dr в магнитном поле с индукцией B. Элементарная работа определяется скалярным произведением силы на перемещение 
, а сила векторным произведением – 
. Тогда работа определится смешанным произведением векторов 
. В смешанном произведении можно циклически менять положение векторов 
. Векторы длины проводника и перемещения образуют параллелограмм, площадь которого равна их векторному произведению 
. Вектор площади перпендикулярен поверхности параллелограмма.
Cкалярное произведение вектора индукции на вектор площади это магнитный поток: 
, где угол α – угол между вектором индукции и вектором площади. Единица магнитного потока вебер, Вб = Тл∙м2.
Полная работа равна интегралу от элементарной работы:
. 8.4
Механическая работа при движении проводника в магнитном поле равна произведению силы тока в проводнике на поток сквозь поверхность, заметенную проводником при перемещении.
Так как магнитное поле, например, постоянного магнита, неизменно, то работа совершается не за счет энергии магнитного поля, а за счет работы источника тока. Источник тока поддерживает силу тока в проводнике, противодействуя ЭДС электромагнитной индукции в проводнике.
4. Рамка с током в магнитномполе. Пусть в однородном магнитном поле находится прямоугольная рамка с током силой J, как показано на рис. 8.4. На горизонтальные стороны рамки действуют силы, которые пытаются деформировать рамку в вертикальном направлении. На боковые вертикальные стороны рамки действуют силы, создающие момент сил 
. Подставив формулу силы Ампера, получим 
. Произведение длины рамки на ширину является площадью рамки. Произведение силы тока на площадь рамки назовем магнитным моментом рамки 
. Направление вектора магнитного момента определяется правилом буравчика: если ручки буравчика вращать по току в рамке, то магнитный момент направлен по перемещению буравчика.
Момент сил, вращающий рамку в магнитном поле, равен произведению магнитного момента на вектор индукции поля:
8.5
или в векторном виде: 
Момент сил поворачивает рамку так, чтобы плоскость рамки стала перпендикулярно силовым линиям, а вектор магнитного момента повернулся к силовым линиям поля. Это положение устойчивого равновесия рамки, при котором силы Ампера растягивают рамку. Сумма сил равна нулю.
Если в магнитном поле находится плоская катушка из N витков площадью S, то её магнитный момент равен
. 8.6
Рамка в магнитном поле обладает потенциальной энергией. Её можно определить через работу момента сил Ампера по повороту рамки: 
. Полагая постоянную интегрирования равной нулю, получим
или 
. 8.7
Минимум потенциальной энергии рамки будет в положении равновесия, α= 0.
Если магнитное поля является неоднородным, то силы Ампера, действующие на рамку, кроме вращающего момента создают результирующую силу. По формуле связи силы и потенциальной энергии проекция силы равна первой производной от энергии по координате с обратным знаком:
. 8.8
В магнитном поле рамка с током поворачивается так, чтобы вектор магнитного момента был направлен вдоль силовых линий и затем притягивается к области усиления поля.
5. Сила Лоренца. По гипотезе Лоренца сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, есть результирующая сил, действующих на электрические заряды, создающие ток. Поделим силу Ампера на число зарядов в отрезке проводнике длиной l: 
. Определим силу тока как отношение суммарного заряда 
ко времени 
дрейфа заряда от начала до конца проводника 
. Подставим силу тока и получим формулу
, или в векторном виде 
. 8.9
Сила Лоренца направлена всегда перпендикулярно вектору скорости частицы и силовым линиям магнитного поля. Для положительно заряженной частицы направление силы определяется правилом левой руки: силовые линии входят в ладонь, четыре пальца по скорости, отогнутый большой палец укажет направление силы. Для отрицательной частицы – наоборот. Сила Лоренца работы над частицей не совершает, следовательно, кинетическую энергию и скорость частицы не изменяет.
6. Движение частиц в однородном магнитном поле. Пусть частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям (рис. 8.8). Сила Лоренца является центростремительной силой. Частица будет двигаться по дуге окружности. Второй закон Ньютона в проекции на нормаль имеет вид 
. Откуда радиус кривизны траектории равен
. 8.10
Период обращения по окружности 
. Подставив формулу радиуса орбиты, получим
. 8.11
Период обращения не зависит от скорости движения частицы.
Если частица влетает под углом α к силовым линиям однородного поля, то движение можно представить в виде двух движений: движение с перпендикулярной компонентой скорости 
по окружности и поступательное движение вдоль силовых линий со скоростью 
. Траектория будет винтовой линией (рис. 8.9) с радиусом и шагом
и 
. 8.12
Магнитное поле Земли отклоняет потоки заряженных космических частиц. Навиваясь на силовые линии поля, они отклоняются к полюсам, вызывая там при входе в атмосферу полярные сияния.
7. Независимость периода обращения заряженных частиц от скорости была использована при создании первого циклического ускорителя заряженных частиц – циклотроне (1931). Он представляет собой два полых полуцилиндра, между которыми приложено переменное напряжение с периодом, равным периоду обращения частицы (рис. 8.10). Магнитное поле перпендикулярно полуцилиндрам.
Пролетев зазор между полуцилиндрами, частица получает порцию энергии 
, и попадает в полое пространство полуцилиндра. Там нет электрического поля, а магнитное поле по дуге окружности возвращает частицу обратно к зазору. За полупериод обращения в магнитном поле меняется знак напряжения электрического поля, частица опять получает порцию энергии в зазоре. Полная кинетическая энергия к концу разгона за N оборотов равна 
. Скорость нерелятивистских частиц ограничена радиусом орбиты по формуле (8.10): 
. Для дальнейшего увеличения скорости релятивистских частиц следует учитывать возрастание массы частиц либо усиливая синхронно магнитное поле (синхротрон), либо частоту ускоряющего напряжения (фазотрон).
Контрольные вопросы
1. Мягкая медная проволока, по которой течет ток, лежит на столе, закрепленная за концы. Включено магнитное поле перпендикулярно столу. Какую форму приобретет проволока?
2. Молния ударила в медную трубку и та сплющилась. Почему это произошло?
3. Для получения сверхсильных магнитных полей по катушкам, собранных из витков большой толщины, пропускали токи огромной силы. Почему иногда такие катушки взрывались?
4. Каков принцип действия двигателя постоянного тока?
5. Как взаимодействуют два параллельных пучка электронов? В чем состоит различие во взаимодействии между двумя параллельными проводниками с током?
6. Рамка с током находится во вращающемся магнитном поле. При каких условиях будет вращаться рамка?
7. Катушка с током висит на нити перед полюсом постоянного магнита. Как будет вести себя катушка при переключении направления тока в катушке?
8. Магнитоэлектрический гальванометр представляет собой рамку с током, помещенную между полюсами постоянного магнита. Почему поворот рамки пропорционален силе измеряемого тока?
9. Заряженный диэлектрический диск вращается относительно оси. Диск помещен в постоянное магнитное поле, перпендикулярное плоскости диска. Действует ли магнитное поле на диск?
10. Кольцо с током находится в постоянном магнитном поле, перпендикулярном плоскости кольца. Укажите силы, действующие на элементы кольца.
11. Объясните происхождение полярных сияний в атмосфере Земли.
12. Два электронных пучка движутся параллельно друг другу. При какой скорости сила магнитного притяжения уравновесит силу электростатического отталкивания. Напишите формулы для сил.
13. В круглой ванночке с электролитом ток течет от центра к электроду на краю ванночки. Магнитное поле направлено вертикально. Укажите направления сил Лоренца, действующих на ионы. Как будет вести себя электролит?
14. К экрану осциллографа сверху поднесли северным полюсом магнит. Как сместится светящаяся точка электронного луча на экране?
15. Электрон, двигаясь горизонтально, влетает в однородные магнитное и электрическое поля, направленные вертикально. Изобразите траекторию электрона.
16. Будет ли действовать магнитное поле на проводник с током, который перемещается со скоростью движения электронов в противоположном направлении?
17. Частица, двигаясь по винтовой траектории в магнитном поле, приближается к «пробке магнитной бутылки», где магнитное поле усиливается. Оттолкнется ли частица от «пробки»? Можно ли удержать плазму в «магнитной бутылке»?
18. При определении удельного заряда электрона методом Буша слегка расходящийся пучок электронов в осциллографической трубке движется в продольном магнитном поле. При каком условии пучок соберется в точку на экране?
19. Придумайте расположение электрического и магнитного полей, чтобы частица в этих полях двигалась прямолинейно с постоянной скоростью (селектор скоростей).
20. Космическая частица, пролетев через свинцовую пластинку, стала двигаться по дуге в два раза меньшего радиуса. Как изменилась скорость частицы? Следует ли учитывать релятивистское изменение массы?
21. В эффекте Холла в пластинке, по которой течет ток, в поперечном магнитном поле появляется разность потенциалов между боковыми сторонами пластинки. Объясните это явление.
9. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
1. Явление электромагнитной индукции открыл М. Фарадей. В опытах М. Фарадея катушка подсоединялась к гальванометру. Всякий раз при быстром приближении или удалении от катушки постоянного магнита стрелка гальванометра отклонялась. Ток возникал также при изменении магнитного поля, создаваемого другой катушкой. Таким образом, электромагнитная индукция это явление возбуждения тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, пронизывающем контур.
Открытие явления электромагнитной индукцией стало основой создания генераторов электрической энергии, электродвигателей, трансформаторов, то есть всей современной электротехники.
Опыты Фарадея повторил Э. Х. Ленц и установил правило для направления индукционного тока: ток имеет такое направление, чтобы противодействовать причине, вызывающей ток. Или: индукционный ток имеет такое направление, чтобы своим магнитным полем скомпенсировать то изменение магнитного потока, которое вызвало данный ток.
2. Выведем формулу для ЭДС электромагнитной индукции на частном примере. Пусть по параллельным проводам, замкнутым на одном конце, плоскость которых перпендикулярна силовым линиям однородного магнитного поля, перемещается стержень (рис. 9.1). Для стержня, как источника тока, сила Лоренца, действующая на заряды стержня, является сторонней силой. Результирующая сил Лоренца является силой Ампера. Сила Ампера по правилу Ленца противодействует перемещению. Работа силы Ампера равна произведению силы на перемещение 
Согласно определению ЭДС источников тока, ЭДС стержня равна отношению работы сторонних сил к перенесенному заряду 
. Поделив формулу работы, получим формулу ЭДС стержня, движущегося перпендикулярно силовым линиям магнитного поля,
, 9.1
Для общего случая заменим 
как изменение потока сквозь контур стержень – проводники:
. 9.2
ЭДС электромагнитной индукции равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур, с обратным знаком. Знак «минус» обусловлен правилом Ленца, так как сила Ампера противодействует перемещению проводника, и работа силы отрицательна.
Формула закона Фарадея, согласно опытам Фарадея, справедлива и в том случае, когда проводники контура неподвижны, а изменяется магнитное поле. В этом случае силы Лоренца как сторонние силы отсутствуют. Какая сила движет заряды в контуре – источнике тока? По гипотезе Максвелла изменяющееся магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле, силы которого перемещают заряды.
Если в магнитном поле находится катушка из N витков, то ЭДС индукции катушки равна сумме ЭДС последовательно соединенных витков как контуров. Сумму магнитных потоков через все витки называют потокосцеплением катушки: 
. Если потоки через витки одинаковы, то потокосцепление можно определить произведением потока через один виток на число витков 
. Тогда закон Фарадея для ЭДС индукции в катушке примет вид
. 9.3
3. Пусть в магнитном поле вращается рамка из N витков с угловой скоростью ω, ось вращения которой перпендикулярна силовым линиям (рис.9.2). Магнитный поток, пронизывающий поверхность рамки 
. Потокосцепление 
. По закону Фарадея в рамке возникает ЭДС индукции
. 9.4
Рамка является прообразом промышленных генераторов переменного тока. Ток снимается с помощью контактных колец, частота тока равна частоте вращения.
4. Определим количество электричества 
, которое переносится по контуру индукционным током. Сила тока, по закону Ома 
. Поставив под знак интеграла 
, получим, что индукционный заряд равен отношению разности начального и конечного значений магнитных потоков к сопротивлению контура:
, 9.5
или для катушки
. 9.6
Формула используется для экспериментального измерения индукции магнитного поля. Пусть катушка площадью S с числом витков N помещается в исследуемую точку магнитного поля перпендикулярно силовым линиям. Катушка подсоединяется к прибору (веберметр), измеряющего количество электричества. Потокосцепление катушки равно 
. Катушку выдергивают из магнитного поля, 
. Индукцию рассчитывают по формуле 
.
5. Самоиндукция.
Если по контуру протекает электрический ток, то он создает магнитное поле, пронизывающее поверхность контура. При изменении силы тока происходит изменение магнитного потока сквозь поверхность контура. По закону Фарадея возникает ЭДС электромагнитной индукции. Явление называется самоиндукцией.
Для проводников разной формы с током индукция создаваемого магнитного поля, а значит и поток, пропорциональны силе тока: 
. Для катушки потокосцепление пропорционально силе тока: 
. Коэффициент пропорциональности называется индуктивностью. Он характеризует способность проводников создавать магнитное поле.
По закону Фарадея ЭДС самоиндукции при постоянной индуктивности (когда отсутствуют ферромагнитные сердечники) определяется по формуле
. 9.7
6. Выведем формулу индуктивности соленоида – катушки, длина которой много больше диаметра. Индукция магнитного поле в середине соленоида 
, где n – концентрация витков, то есть число витков на единицу длины, равное отношению числа витков к длине сердечника 
. При площади поперечного сечения сердечника S потокосцепление соленоида равно 
. Поделив на силу тока, введя объём сердечника 
, получим формулу индуктивности соленоида
. 9.8
7. Индуктивностью обладает любой элемент электрической цепи в зависимости от формы, размеров и магнитных свойств среды. Влияние явления самоиндукции следует учитывать для цепей с катушками трансформаторов, электрических двигателей. Можно пренебречь индуктивностью спиралей ламп накаливания, нагревателей, реостатов.
Явление самоиндукции в электрических цепях препятствует мгновенному как возрастанию тока при включении, так и спаду тока при отключении источника тока (рис.9.3).
Например, в цепи из катушки индуктивностью L и резистором сопротивлением R от источника тока с ЭДС E течет установившийся ток силой 
. С помощью ключа катушка отключается от источника тока и замыкается на резистор. Ток постепенно спадает. В любой произвольный момент времени напряжения на резисторе равно ЭДС самоиндукции 
. Это дифференциальное уравнение первого порядка. Оно решается методом разделения переменных 
. Интегрируя с переменным верхним пределом 
и потенцируя 
, получим зависимость силы тока от времени при отключении источника
. 9.9
Сила тока спадает по экспоненциальному закону. За время, называемое временем релаксации 
, сила тока уменьшается в е= 2,72 раза. Чем больше индуктивность цепи, тем медленнее происходит спад тока.
