и
электрическая железная дорога
конспект лекций по физике
Челябинск.
УДК 532 (07)
ЗЛЕКТРИЧЕСТВО. Учебное пособие по физике для студентов института путей сообщения.
Учебное пособие представляет собой курс лекций по физике. Пособие написано в соответствии с программой для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Однако, в отличие от Общего курса физики в данном учебном пособии дополнительно рассмотрены вопросы применения физических законов к процессам на электрическом железнодорожном транспорте. Такие как, принцип работы тяговых электродвигателей, закон Ома для электрической железной дороги, регулирование скорости поезда, система электромагнитной подвески и работа линейного асинхронного двигателя экипажа ВСНТ.
Все формулы и решения задач приведены в Международной системе единиц СИ..
Автор: А. В. Шушарин, ст. преподаватель кафедры ЕНД,
Рецензенты: В. Л. Федяев, доцент, зам. директора ЧИПС,
канд. техн. наук;
М.А. Круглова, доцент, канд. пед. наук.
Печатается по решению научно-методического Совета
Челябинского института путей сообщения
Филиал Уральского государственного университета путей сообщения
Челябинский институт путей сообщения, 2012.
Жизнь современного человека невозможно представить без применения электричества. Всё, что необходимо для удовлетворения материальных и духовных потребностей осуществляется с помощью электрической энергии. Объясняется это тем, что электрическая энергия сравнительно просто превращается в другие виды используемой человеком энергии: механическую, тепловую, химическую, световую. Кроме того, электроэнергию, в отличие от других видов энергии, можно передавать на огромные расстояния от электростанций до потребителя.
Представление об электрических явлениях должен иметь каждый человек. Знание курса электричества необходимо студенту при изучении технических дисциплин. Знание курса необходимо инженеру–транспортнику для компетентного решения технических проблем.
1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, НАПРЯЖЕННОСТЬ
1. Электростатика изучает взаимодействие неподвижных электрических зарядов.
Экспериментально в 17 веке установлено, что в природе существует два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные заряды. По современным представлениям известно, что тела состоят из атомов, в которых положительный заряд протонов в ядре атома компенсируется отрицательным зарядом такого же числа электронов оболочки атома. Электроны могут сравнительно легко перемещаться, например, при трении тел. Следовательно, отрицательный заряд тела обусловлен избытком электронов, а положительный – недостатком электронов по сравнению с числом протонов. Электрический заряд тел или частиц является дискретным, кратным элементарному заряду электрона –1,6∙10-19 Кл.
2. В электрически изолированной системе тел алгебраическая сумма зарядов тел постоянна. Это закон сохранения электрического заряда. Он обусловлен постоянством числа протонов и электронов в телах.
3. Единственным экспериментальным законом электростатики является закон Кулона для силы взаимодействия точечных зарядов (рис.1.1).
Сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются.
1.1
Здесь ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды, учитывает ослабление взаимодействия электрических зарядов явлением поляризации среды, ε0 = 8,65∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная, коэффициент пропорциональности между механическими и электрическими единицами. Заряженное тело можно считать точечным, если его размеры много меньше расстояний между телами.
4. Взаимодействие между неподвижными заряженными телами осуществляется посредством электростатического поля. Это одна из форм существования материи. Электрические заряды изменяют состояние окружающей среды, создают электростатическое поле, которое обнаруживается по действию на другой заряд, внесенный в поле. Отношение силы к величине внесенного заряда является силовой характеристикой поля, называемой напряженностью
. 1.2
Направление вектора напряженности совпадает с вектором силы, действующей на положительный заряд, внесенный в данную точку поля.
Внесем в поле точечного электрического заряда q=q 1небольшой пробный заряд. Сила, действующая на пробный заряд, определяется законом Кулона. Поделим формулу силы (1.1) на величину пробного заряда q пр =q 2 и после сокращения получим формулу напряженности поля, создаваемого точечным зарядом q
. 1.3
Здесь r – длина радиус-вектора от заряда до точки наблюдения. Пробный заряд должен быть настолько мал, чтобы не искажать распределения зарядов на теле – источнике поля.
5. Если поле создается не одним, а несколькими точечными зарядами, то вектор результирующей напряженности определяется, согласно принципу суперпозиции сил, векторной суммой напряженностей полей отдельных зарядов: 
. Если заряды распределены непрерывным образом по объёму тела, либо по поверхности, либо по длине, то выбирается малый заряд dq, который можно считать точечным и суммарная напряженность определяется векторным интегралом: 
. Здесь вектор напряженностей поля малого зарядов 
направлен по радиус-вектору для поля положительного заряда и в обратном направлении для отрицательного заряда. Для получения скалярных уравнений векторные суммы и интегралы проецируются на оси координат.
6. Для наглядности электростатическое поле изображают с помощью силовых линий. Это линия в пространстве, касательные к которой совпадают с вектором напряженности. Линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах, либо уходят в бесконечность. Густота силовых линий пропорциональна напряженности поля (рис.2).
7. В некоторых задачах с симметричным расположением электрического заряда на телах можно заранее предсказать распределение напряженности в пространстве. В этом случае становится удобным для расчета напряженности применение теоремы Гаусса.
Введем понятие потока вектора напряженности как скалярного произведения вектора напряженности на вектор элементарной площадки, которую пронизывают силовые линии поля, 
. Здесь угол α – уго л между вектором напряженности и вектором площади, который направлен по нормали к площадке. Поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих площадку.
Определим поток вектора напряженности сквозь сферу произвольного радиуса, в центре которой поместим точечный заряд, как интеграл от элементарного потока напряженности 
. Силовые линии направлены радиально от заряда и пронзают элементы сфера по нормали к их поверхности, то есть cos α= 1 (рис.3). Величина вектора напряженности одинакова во всех элементах сферы. Вынесем напряженность за знак интеграла 
. Интеграл, то есть сумма элементарных площадок, будет равна площади сферы 4 πrR 2. Подставим формулу напряженности поля точечного заряда 1.3. В результате поток вектора напряженности будет 
.
Обобщим полученный результат на произвольную замкнутую поверхность (пунктир на рис. 1.4). Число силовых линий, пронзающих её такое же, как и через сферу. Значит, потоки напряженности будут одинаковы. Во-вторых, если внутри имеется не один заряд, а несколько, то потоки напряженностей от зарядов по принципу суперпозиции складываются. В итоге, в общем случае теорема Гаусса имеет вид
. 1.4.
Поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхности равен отношению алгебраической суммы зарядов внутри поверхности к абсолютной диэлектрической проницаемости среды.
Количество задач, решаемых с помощью теоремы Гаусса невелико. Поверхность интегрирования выбирается так, чтобы на одних участках поверхности вектор напряженности был постоянен, на других вектор напряженности скользил бы, не пронизывая поверхность, и поток через неё был бы равен нулю.
8. Например, рассчитаем напряженность бесконечной плоскости, заряженной равномерно с поверхностной плотностью заряда σ (рис. 1.4). Выберем поверхность интегрирования в форме цилиндра, торцы которого расположены по обе стороны плоскости, параллельно ей. Поле бесконечной плоскости однородное. Поток выходит из обоих торцов цилиндра и равен 2 ES. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Электрический заряд внутри цилиндра сосредоточен на диске, вырезанном цилиндром (на рис. 1.4 затенен). Он равен произведению поверхностной плотности заряда на площадь диска σS. По теореме Гаусса 
. Оттуда напряженность поля заряженной равномерно плоскости вблизи её середины равна
. 1.5
Если рядом расположены две пластины, заряженные разноименно с одинаковой плотностью заряда, то напряженности поля между ними складываются: 
, а снаружи вычитаются E= 0.
Контрольные вопросы
1. В пространстве расположен положительный заряд q и отрицательный заряд –4 q. Укажите точку, в которой напряженность равна нулю.
2. В пространстве расположен положительный заряд q и отрицательный заряд –4 q. Укажите направление вектора напряженности в точке, расположенной на одинаковом расстоянии от зарядов.
3. Заряд равномерно распределен по кольцу. Чему равна напряженность в центре кольца? Изобразите график распределения напряженности на оси кольца в зависимости от расстояния от центра.
4. В пространстве расположен заряженный равномерно диск. Изобразите график зависимости напряженности на оси диска от расстояния от центра. По какому закону происходит изменение напряженности на большом расстоянии от диска.
5. В пространстве расположен заряженный равномерно по объёму шар с диэлектрической проницаемостью ε. Изобразите график зависимости напряженности от расстояния.
6. Докажите с помощью теоремы Гаусса, что напряженность электростатического поля равномерно заряженной сферы вне её определяется такой же формулой, что и для поля точечного заряда. Изобразите график зависимости напряженности от расстояния от центра сферы.
7. Четыре положительных заряда расположены в углах квадрата, а в центре расположен отрицательный заряд, удерживающий заряды. Будет ли система зарядов устойчивой?
8. Когда больше сила взаимодействия металлических шариков, заряженных разноименно или одноименно?
9. Можно ли создать электростатическое поле, силовые линии которого радиально сходятся к центру, но в центре заряда нет?
10. В пространстве расположены две параллельные большие плоскости с поверхностной плотностью заряда σ и –4 σ. Изобразите график зависимости напряженности на перпендикуляре к плоскостям от расстояния.
11. Снаружи точечного заряда q находится сфера. Найдите отношение числа силовых ли ний входящих в сферу и выходящих из неё.
12. Будет ли выполняться теорема Гаусса, если в законе Кулона сила взаимодействия будет обратно пропорциональна кубу расстояния между зарядами?
13. В пространстве расположены два равных по величине, разных по знаку точечных заряда. Как распределена и как направлена напряженность на плоскости, расположенной на середине между зарядами, перпендикулярно линии между зарядами?
14. В поле тяжести в центре вертикального кольца расположен точечный заряд. По кольцу может скользить бусинка некоторой массы с таким же зарядом. Будет ли устойчивым равновесие бусинки в верхней или в нижней точке кольца?
15. Почему волосы на голове встают дыбом после расчесывания пластмассовой щеткой? Какой вид имеют силовые лини электростатического поля головы?
16. Два шарика заряженных разноименно с зарядами q и –4 q, притягиваются с силой F, а коснувшись – отталкиваются с силой f. Определите отношение сил.
17. Почему электрон в атоме притягивается к ядру, но не падает на него? Выведите формулу скорости электрона на некотором расстоянии от ядра.
18. Внутри металлической сферы находится заряженный шарик. Изобразите силовые линии электростатического поля. Шарик замкнули проволочкой со сферой. Как изменится вид электростатического поля?
19. Электрон влетел в однородное электростатическое поле перпендикулярно силовым линиям. Изобразите траекторию электрона. Сравните с движением камня, брошенного горизонтально в поле тяжести.
20. При каких условиях при касании человеком предметов проскакивают искры?
2. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Из курса Механики известно, что поле консервативных сил является потенциальным, то есть работа силы при перемещении тел не зависит от формы траектории и равна изменению потенциальной энергии, 
, а работа по замкнутой траектории равна нулю.
1. Исследуем электростатическое поле. Определим работу по перемещению некоторого пробного заряда q 2 в электростатическом поле, создаваемого точечным зарядом q 1 (рис. 2.1). На элементарном участке траектории работа равна 
. Из рисунка видно, что 
равна изменению расстояния между зарядами. Полная работа кулоновских сил на пути 1 – 2 определится интегралом:
. 2.1
Как видно, работа не зависит от формы траектории, а только от положения движущегося заряда в начале и в конце движения, На замкнутой траектории (r 2 =r 1) работа будет равна нулю. То есть, электростатическое поле является потенциальным полем, а кулоновские силы – консервативными силами.
2. Обобщая для поля произвольного числа зарядов, работу сил электростатического поля 
по замкнутой траектории следует также приравнять к нулю: 
. Интеграл по замкнутой траектории от скалярного произведения вектора на элемент длины 
называется циркуляцией вектора. Итак, для электростатического поля циркуляция напряженности электростатического поля равна нулю. И наоборот, если циркуляция напряженности равна нулю, то такое поле является электростатическим. Это связано с тем, что силовые линии электростатического поля начинаются и кончаются на зарядах и не замкнуты. Иначе циркуляция, определенная по контуру, совпадающим с замкнутой силовой линии, будет отлична от нуля.
3. По формуле связи работы и потенциальной энергии, 
, из уравнения 2.1 следует, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется формулой:
. 2.2
Отношение потенциальной энергии 2.2 пробного заряда q 2 к величине его заряда не зависит от заряда и является энергетической характеристикой источника поля, называемой потенциал:
. 2.3
Соответственно потенциальная энергия заряда равна произведению заряда на потенциал: 
. Если поле создано точечным зарядом q, то потенциал некоторой точки поля на расстоянии r, определяется формулой
. 2.4
Если поле создается системой зарядов, то по принципу суперпозициипотенциал поля равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов:
, или 
. 2.5
Работу по перемещению заряда в электростатическом поле можно определить как произведение величины заряда на разность потенциалов конечной и исходной точек траектории или на напряжение U:
. 2.6
При движении заряженной частицы в электростатическом поле сохраняется энергия: сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна: 
. Единицей измерения потенциала и напряжения является вольт, 
.
5. Между двумя характеристиками поля, напряженностью и потенциалом существует связь, которую можно установить, определив элементарную работу при перемещении заряда вдоль силовой линии (рис. 2.2). Работа силы F = q E на пути dl вдоль силовой линии совершается полем за счёт убыли потенциальной энергии взаимодействия: q E dl = – q dj. Отсюда
. (2.7)
Напряженность электростатического поля равна быстроте изменения потенциала вдоль силовой линии и как вектор направлена в сторону уменьшения потенциала. Производная от потенциала по координате, направленной по силовой линии в сторону повышения потенциала, 
называется градиентом потенциала. То есть 
.
6. Для наглядности электростатическое поле изображают с помощью эквипотенциальных поверхностей. Это поверхности равного потенциала. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности электростатического поля ортогональны, то есть их касательные взаимно перпендикулярны. Доказать это можно, определив работу поля по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности 
(рис. 2.2). Так как при перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности dj = 0, то левая часть уравнения тоже равна нулю, значит cos a = 0, то есть угол между вектором напряженности и касательной к эквипотенциальной поверхности равен 90 0.
7. Потенциальная энергия двух точечных электрических зарядов может быть определена как произведение одного из зарядов, на потенциал поля второго заряда в точке, где находится первый заряд 
. Или наоборот: 
. Возьмем, для симметрии итоговой формулы, по половинке каждого выражения и сложив, получим энергию взаимодействия двух точечных зарядов:
. 2.8
Полученная формула удобна тем, что её можно обобщить на произвольное число электрических зарядов
. 2.8
Потенциальная энергия системы электрических зарядов равна половине суммы произведений заряда на потенциал, созданный всеми остальными зарядами системы в точке, где находится заряд.
Контрольные вопросы
1. Внутри проводящей сферы помещен заряженный шарик. Как изменится потенциал шарика, если проволочкой замкнуть шарик со сферой?
2. Внутри проводящей сферы помещен заряженный шарик. Как изменится потенциал шарика, если проволочкой заземлить сферу.
3.. Внутри заряженной сферы помещен незаряженный шарик. Как изменится потенциал шарика, если проволочкой соединить шарик со сферой.
4. Электростатическое поле создано двумя одинаковыми разноименными зарядами. Из точки, находящейся посередине между ними, начинает движение третий заряд. Как изменится его скорость на бесконечно далеком расстоянии.
5. Два протона летят из бесконечности навстречу друг другу с одинаковой скоростью. При каком условии расстояние между ними станет наименьшим?
6. Два протона летят из бесконечности навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Скорости смещены на некоторое расстояние. Изобразите траектории протонов. Как меняется положение центра масс протонов.
7. Силовые линии электрического поля являются концентрическими окружностями.
Определите циркуляцию напряженности. Является ли это поле электростатическим?
8. В электростатическом поле потенциал вдоль силовой линии растет по линейному закону. Определите закон изменения напряженности. Какое это поле?
9. Электрический заряд равномерно распределен по поверхности сферы. Изобразите график зависимости потенциала от расстояния от центра. Равен ли нулю потенциал внутри сферы, есть ли там электростатическое поле?
10. Можно ли создать электростатическое поле, силовые линии которого параллельны, а густота силовых линий возрастает в перпендикулярном направлении. Определите, равна ли нулю циркуляция напряженности?
11. В однородном электростатическом поле между двумя плоскостями напряженность постоянна. По какому закону изменяется потенциал между пластинами?
12. Электрон влетает в электрическое поле между двумя заряженными разноименно плоскими сетками под углом. Изобразите траекторию электрона. Может ли электрон вылететь из поля?
13. Птица садится на провод высоковольтной линии электропередачи. Может ли её убить высокое напряжение?
14. Сравните поле заряда около поверхности заземленной пластины с полем двух одинаковых разноименных зарядов, находящихся на вдвое большем расстоянии. Найдите для поля двух зарядов поверхность нулевого потенциала.
15. Потенциал внутри шара, заряженного по объёму, зависит от расстояния от центра по закону 
. Найти распределение напряженности электрического поля в шаре. Как распределена плотность электрического заряда?
16. Потенциал электрического поля внутри заряженной пластины зависит от координаты от средней плоскости 
. Найти распределение напряженности в пластине.
17. Почему около столба высоковольтной линией электропередачи между ногами возникает разность потенциалов?
18. Легкий заряженный шарик висит в поле двух горизонтальных пластин. Изобразите силовые линии результирующего поля и представьте их натянутыми резиновыми нитями. Как нити действуют на шарик?
19. Электрическое поле Земли направлено вниз с напряженностью 130 в/м. Почему напряжение между ногами и головой в 200 В не убивает человека? Как измерили это напряжение? Если Земля это одно заряженное тело, то где другое, положительно заряженное тело?
20. Почему возникают молнии?
3. ВЕЩЕСТВО В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Вещество это форма материи, состоящая из атомов и молекул. По отношению к электростатическому полю вещество можно разделить на два вида: проводники, в которых есть свободные электрические заряды, и диэлектрики, в которых нет свободных зарядов.
