Это уравнения закона Джоуля–Ленца. Поделив на время, получим три формулы для тепловой мощности
. 5.10
Из анализа формул видно, что про последовательном соединении проводников (J=const), больше теплоты выделяется на проводнике с большим сопротивлением, а при параллельном соединении (U=const) – на проводнике с малым сопротивлением.
7. Измерение сопротивлений. Измерение можно произвести с помощью амперметра и вольтметра, включенных в цепь по двум схемам (рис. 5.2 и 5.3).
В первом случае по закону Ома напряжение, измеряемое вольтметром равно сумме падений напряжения на проводнике и амперметре: 
. Откуда измеренное сопротивление 
. Относительная погрешность измерения равна 
. Во втором случае измеренная амперметром сила тока равна сумме токов через проводник и вольтметр: 
. Откуда измеренное сопротивление 
. Относительная погрешность измерения равна 
. Первая схема дает меньшую погрешность при измерении больших со 
противлений, вторая – для малых сопротивлений.
Для точных измерений сопротивлений применяют мост Уитстона (рис.5.4). В одно из плеч моста включается исследуемый проводник с измеряемым сопротивлением R. При равновесии моста, когда ток через гальванометр отсутствует, падения напряжения в соседних плечах равны: J 1 R 1 = J 2 R 2и аналогично, J 1 R = J 2 R3. Поделив уравнения почленно, получим формулу для расчета сопротивления проводника: 
. .
На передней панели прибора, называемого мост Уитстона, установлены переключатели отношения сопротивлений плеч моста 
с соотношением 10n, и реохорда с плавным изменением сопротивления R 1. Подбирая отношение плеч и сопротивление реохорда, устанавливают равновесия моста по гальванометру и по шкале реохорда определяют сопротивление R 1. Умножив на отношение плеч моста, определяют измеряемое сопротивление.
Контрольные вопросы
1. По проводнику переменной площади сечения протекает постоянный ток. В каком сечении проводника больше напряженность электрического поля, больше скорость направленного движения электронов?
2. Почему лампочка загорается одновременно с включением выключателя, хотя скорость направленного движения электронов в проводах составляет доли миллиметра в секунду?
3. Сравните сопротивления двух квадратных пластинок жести, размеры которых отличаются в десять раз.
4. Половину спирали электроплитки остудили. Как изменится накал второй половины спирали?
5. Железные и медные проволочки одинакового размера соединяются либо последовательно, либо параллельно (гирлянда Джоуля). В каких проволочках выделится больше теплоты?
6. Как с помощью двух одинаковых спиралей получить три степени нагрева электроплитки? Определите соотношение мощностей ступеней нагрева.
7. Почему передача энергии от электростанций производится под высоким напряжением – сотни киловольт, а напряжение у потребителя 220 В?
8. Как изменяется сила тока, потребляемая лампочкой, со временем после включения?
9. Почему при включении мощной электроплиты в квартире лампочки сначала чуть гаснут, а потом накал почти восстанавливается?
10. В елочной гирлянде 22 лампочки включены в сеть 220 В. Какое напряжение на каждой лампочке? Одну из лампочек вывернули. Какое напряжение на патроне лампочки?
11. Какой чайник большой или маленький, полностью заполненные, потратит больше энергии на литр нагреваемой воды?
12. Почему при контактной сварке железных листов медные электроды не плавятся, а плавится железо в зоне контакта листов?
13. Какими свойствами должен обладать материал плавкого предохранителя?
14. На какой из двух электролитических ванн больше количество вещества, выделенного при электролизе, при одинаковой силе тока, если размеры одной ванна больше другой?
15. Придумайте схему теплового гальванометра.
16. Сила тока через проводник возрастает прямо пропорционально времени от момента включения со скоростью 1A/c Определите заряд, прошедший за одну секунду или за пятую секунду.
17.Разность потенциалов между концами проводника длиной 1 м равна 1000 В. В каком проводнике толстом или тонком больше сила, действующая на электрон?
18. Как направлен вектор напряженности электрического поля около поверхности проводника, по которому течет постоянный ток?
19. Разность потенциалов между концами проводника длиной 1 м равна 1000 В. Какая сила действует на электрон в проводнике, с каким ускорением движется электрон?
20. Почему сопротивление вольтметра должно быть большим, а сопротивление амперметра малым?
21. Почему нить накаливания электрической лампочки свернута в спираль? Зачем воздух в лампочке заменяют инертным газом?
22. Придумайте схему смешанного соединения резисторов и рассчитайте сопротивление цепи.
6. ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
1. Чтобы поддерживать направленное движение электрических зарядов в проводнике, необходимо поддерживать электрическое поле внутри проводника, создавать разность потенциалов между концами проводника. Эту роль выполняет источник тока. Источник тока это устройство, в котором происходит разделение по знаку электрических зарядов. На одном полюсе источника в процессе работы появляется положительный потенциал, на другом – отрицательный. При присоединении проводника к полюсам внутри проводника возникнет электрическое поле, в электрической цепи проводник–источник потечет электрический ток
Внутри источника тока электрические заряды движутся, как видно на рис.1, против сил электростатического поля полюсов. Следовательно, силы, перемещающие заряды внутри источника должны быть направлены против электростатических сил, и иметь не электростатическую природу. Их называют сторонними силами. Природа сторонних сил разнообразна. Например, в генераторах электростанций электроны в проводниках якоря перемещаются под действием магнитной силы Лоренца, в атомных источниках тока положительные альфа частицы вылетают из радиоактивного вещества на положительно заряженную оболочку под действием ядерных сил. в химических источниках движение электронов происходит из-за сил давления вследствие разной концентрации электронов в электродах.
2. Источники тока характеризуются величиной электродвижущей силы, ЭДС. По определению, ЭДС равна отношению работы сторонних сил к величине перенесенного заряда
ε 
. 6.1
Единица измерения ЭДС вольт. ЭДС численно равна разности потенциалов между полюсами источника при отключенной внешней цепи.
3. Получим уравнение закона Ома для силы тока в замкнутой цепи. Пусть источник тока с ЭДС ε замкнут на проводник (нагрузка) с сопротивлением R. Работа источника 
при неподвижном проводнике, согласно закону сохранения энергии, превращается в теплоту, выделяемую на проводнике, а также на самом источнике с внутренним сопротивлением r. Согласно закону Джоуля – Ленца теплота, выделяемая в проводнике, равна произведению квадрата силы тока на сопротивление и время протекания тока. Тогда 
. После сокращения на Jt получим, что сила тока в цепи равна отношению ЭДС к полному сопротивлению электрической цепи:
. 6.2
4. ЭДС можно измерить различными методами. Если, в простейшем случае, вольтметр c сопротивлением RV подсоединить к полюсам источника с внутренним сопротивлением r, то, по закону Ома, показания вольтметра будут 
. Это меньше, чем ЭДС, на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении. Погрешность измерения 
тем меньше, чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с внутренним сопротивлением источника.
В компенсационном методе измерения ЭДС ток через источник не течет (рис. 6.2). Если подобрать напряжения на магазине сопротивлений R точно равным ЭДС источника, то ток через источник и через нуль-гальванометр не потечет. Тогда ЭДС источника будет равна падению напряжения на магазине сопротивлений
J R. 6.3.
Приборы для измерения ЭДС компенсационным методом называются потенциометрами. В потенциометрах ток определенной силы от внешнего источника протекает по реохорду. Перемещая ползунок реохорда, подбирают такое сопротивление, чтобы ток через гальванометр отсутствовал. Положение ползунка проградуировано в единицах ЭДС.
5. Полезная мощность источника тока при неподвижных проводниках – это тепловая мощность, выделяемая на нагрузке. По закону Джоуля – Ленца Р = J 2R. Подставив силу тока, согласно закону Ома (6.2), получим формулу зависимости полезной мощности от сопротивления нагрузки:
. 6.4
 |
В режиме короткого замыкания при отсутствии нагрузки, когда R = 0, вся теплота выделяется на внутреннем сопротивлении и полезная мощность равна нулю (рис. 6.3). С увеличением сопротивления нагрузки, пока R << r, полезная мощность возрастает почти прямо пропорционально сопротивлению R. С дальнейшим возрастанием сопротивления нагрузки наступает ограничение силы тока, и мощность, достигнув максимума, начинает спадать. При больших значениях сопротивления нагрузки (R>>r), мощность уменьшается обратно пропорционально сопротивлению, стремясь к нулю при разрыве цепи.
Максимум мощности соответствует условию равенства нулю первой производной от тепловой мощности по сопротивлению. Продифференцировав (4), получим 
. Отсюда следует, что полезная мощность максимальна, если R = r. Подставив в (6.4), получим 
.
Работа источника тока характеризуется коэффициентом полезного действия. Это, по определению, отношение полезной работы к полной работе источника тока: 
. После сокращения формула КПД примет вид
.(6.5)
В режиме короткого замыкания при R = 0, КПД равен нулю, так как нет нагрузки (рис. 6.3). С ростом сопротивления нагрузки КПД растет и стремится к 100% при больших значениях сопротивлениях(R>>r).
6. Расчет сил токов и напряжений в сложных разветвленных цепях с помощью закона Ома может оказаться достаточно сложным. Правила Кирхгофа позволяют упростить решение задачи.
Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле равна нулю:
. 6.6
Узлом называется точка электрической цепи, в которой сходится не менее трех проводников. Первое правило является следствием закона сохранения электрического заряда. Стоит нарушиться балансу входящих и выходящих из узла зарядов, как потенциал узла изменится, что приведет к изменению сил токов и выполнению первого правила Кирхгофа. Число узлов в электрической цепи, для которых составляются уравнения по первому правилу, должно быть на единицу меньше общего числа узлов.
Для вывода второго правила Кирхгофа применим уравнение закона Ома для участка цепи, содержащего источник тока (рис. 6.4). Разность потенциалов между концами участка равна разности ЭДС и падения напряжения на резисторе и на внутреннем сопротивлении источника тока: 
. Откуда
. 6.7
Запишем для контура на рис. 6.5, выделенного из какой-то разветвленной цепи, уравнения закона Ома для всех ветвей. Обход против часовой стрелки.
; 
; 
. Сложим уравнения, при этом потенциалы узлов попарно сократятся. Получим уравнение второго правила Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:
. 6.8
Порядок расчета следующий: выбрать произвольно направления токов в ветвях, выбрать направление обхода. Если направление обхода участка совпадает с направлением тока, считать ток положительным, и наоборот. ЭДС считать положительной, если при обходе потенциал повышается. При составлении уравнений для каждого следующего контура должен входить ток, не записанный в предыдущих уравнениях, то есть новая ветвь. Вместе с уравнениями по первому правилу Кирхгофа общее число уравнений должно совпадать с числом токов, с числом ветвей.
Контрольные вопросы
1. Если аккумулятор замкнуть накоротко, то чему будет равна разность потенциалов между полюсами аккумулятора? Как определить силу тока и теплоту в этом случае?
2. Когда больше разность потенциалов между полюсами источника при разряде или при зарядке током одинаковой силы?
3. Три одинаковых источника соединяются либо последовательно, либо параллельно. Определить ЭДС батарей и внутреннее сопротивление в каждом случае.
4. Металлический диск вращается с большой скоростью. Магнитное поле отсутствует. Определить направление тока в проводнике, который замыкает центр диска с периферией.
5. Лампочку, на которой написано 99 Вт, 3.6 В, подсоединяют к батарейке карманного фонарика с ЭДС з,6 В. Будет ли светиться лампа?
6. В атомном источнике тока положительно заряженные альфа-частицы летят из центра на металлическую сферу. В каком направлении течет электрический ток через нагрузку, замкнутую между центром и сферой. Что является сторонней силой в атомном источнике тока?
7. Металлическая стрела летит и ударяется о препятствие. Течет ли электрический ток в стреле? Магнитного поля нет.
8. Два одинаковых источника тока соединены разноименными полюсами. Чему равна разность потенциалов между клеммами источников?
9. Сто, а может быть больше одинаковых источников тока соединены последовательно друг с другом в кольцо. Определите разность потенциалов между диаметрально противоположными точками кольца.
10. Источник тока с ЭДС замкнут на нагрузку. Чему равна циркуляция напряженности поля сторонних сил по контуру, совпадающим с проводниками цепи? На каком участке контура циркуляция равна нулю?
11. Источник тока с ЭДС замкнут на нагрузку. Чему равна циркуляция напряженности поля электростатических сил по контуру, совпадающим с проводниками цепи? На каком участке контура циркуляция равна нулю?
12. Медная и цинковая проволоки соединены на одном конце. Есть ли разность потенциалов между проволоками? Если замкнуть другие концы на какой-нибудь проводник, то потечет ли электрический ток?
13. Медная и цинковая проволоки опущены концами в электролит. Есть ли разность потенциалов между проволоками? Если замкнуть другие концы на какой-нибудь проводник, то потечет ли электрический ток?
14. Каким образом можно гальванометр превратить в амперметр или в вольтметр. Как изменится цена деления прибора?
15. Железная дорога поделена на электрически изолированные участки. Между рельсами через электромагнитное реле включен трансформатор. Когда колесная пара поезда заезжает на участок, загорается красный сигнал светофора. Придумайте схему включения и выключения светофора.
16. Как можно определить мощность, развиваемую тяговой подстанцией, с известным напряжением и силой тока? Во сколько раз следует повысить напряжение, чтобы тепловые потери в контактной сети уменьшить в сто раз?
17. Почему со временем разряжается аккумулятор, собранный из нескольких элементов, соединенных параллельно? Почему со временем разряжается «пальчиковая» батарейка, являющаяся одним химическим источником тока?
18. Почему закон Ома выполняется только при неподвижных проводниках?
19. Правда ли что мощность в замкнутой электрической цепи максимальна при максимальной силе тока?
20. Источник тока замыкается на нагрузку, состоящую из параллельно соединенных резистора и конденсатора. Как со временем изменяется сила тока?
7. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
С древности известно притяжение железных предметов к магнитным рудам, ориентация магнитной стрелки в магнитном поле Земли. Возникновение магнитного поля около проводников с электрическим током обнаружил Эрстед в 1819 г по повороту магнитной стрелки при включении тока в проводнике. Началось экспериментальное и теоретическое исследование магнитного поля.
1. Магнитное поле это форма материи, которая проявляет себя действием на постоянные магниты, на проводники с током, на движущиеся электрические заряды.
По аналогии с электростатическим полем вводится силовая характеристика магнитного поля, названная индукцией 
. Однако, в отличие от электростатического поля, свободных магнитных зарядов в природе не обнаружено. Зато магнитное поле действует на магнитную стрелку, которую можно рассматривать как магнитный диполь, состоящий из северного и южного магнитных зарядов. В магнитном поле на северный заряд стрелки действует сила, направленная вдоль силовых линий, на южный заряд – наоборот. Они создают вращающий момент сил 
, где B – индукция магнитного поля, pm – магнитный момент стрелки. Отсюда индукцию магнитного поля можно определить как отношению максимального момента силы к магнитному моменту:
. 7.1
Магнитную стрелку можно заменить небольшой рамкой площадью S из N витков с током, магнитный момент которой равен 
.
2. Закон Био-Савара-Лапласа. Экспериментальные исследования магнитных полей проводников с током разных по форме привели к неоднозначным результатам. Например, для прямого длинного проводника индукция убывала обратно пропорционально расстоянию от проводника. Лаплас теоретически установил закон для индукции магнитного поля, создаваемого малым элементом проводника dl с силой тока J. В скалярном виде в системе СИ он имеет вид
. 7.2
Здесь μ 0 = 4 π ∙ 10-7 Гн/м – магнитная постоянная, которая служит для установления соотношения между электрическими и механическими единицами в формуле, μ – относительная магнитная проницаемость, которая учитывает вклад в магнитное поле молекул среды. Для всех материалов кроме ферромагнетиков она незначительно отличается от единицы. Угол α между радиус-вектором r,проведенным из элемента проводника в точку наблюдения и вектором длины элемента.
Направление вектора индукции определяется правилом буравчика: если вворачивать буравчик в направлении тока, то вектор индукции направлен по вектору скорости конца ручки буравчика в точке наблюдения.
3. Применение закона Био-Савара- Лапласа и принципа суперпозиции для расчета магнитных полей проводников подтвердило результаты экспериментов. Например, выведем формулу индукции магнитного поля отрезка прямого проводника с током в точке на расстоянии а. от проводника (рис. 7.2). Выделим элемент длиной dl на проводнике. Вектор индукции магнитного поля элемента, а также всех других элементов, согласно правилу буравчика, направлен за чертеж. По принципу суперпозиции 
. Подставим под знак интеграла формулу закона Био-Савара-Лапласа 
. Под знаком интеграла три переменных. Перейдем к одной переменной – углу α по соотношениям для сторон треугольника: 
, 
, откудапосле дифференцирования 
. Подставим полученные соотношения между переменными 
и после сокращения проинтегрируем. Получим формулу индукции магнитного поля отрезка прямого проводника
7.3
Если проводник бесконечно длинный (a << l, α 1 → 0, α → π), то формула для индукции принимает вид
. 7.4
Как и в опытах Био и Савара индукция магнитного поля убывает обратно пропорционально расстоянию от проводника, а силовые линии поля являются концентрическими окружностями.
4. Силовые векторные поля характеризуют циркуляцией вектора по некоторому контуру и потоком вектора через поверхность контура. Поток по определению равен интегралу от скалярного произведения вектора индукции по площади контура: 
. Поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих контур.
Определим циркуляцию вектора индукции 
для уже известного магнитного поля длинного проводника с током по некоторому контуру, охватывающем проводник. (рис.7.3). Произведение 
– это проекция вектора элемента длины на вектор индукции, которая равна длине дуги 
. Подставив формулу индукции поля длинного проводника с током, получим 
. Циркуляция вектора индукции не зависит от формы контура интегрирования, ни от его размеров, ни от положения проводника внутри контура. Обобщим на произвольное число проводников с током:
. 7.5
Это закон полного тока: циркуляция вектора индукции магнитного поля по произвольному контуру равна произведению абсолютной магнитной проницаемости среды на алгебраическую сумму токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром интегрирования.
5. Закон полного тока позволяет в задачах с известным распределением магнитного поля сравнительно легко определить индукцию. Рассмотрим пример, поле тороида – катушки, намотанной равномерно на тор. Пусть тор имеет разрез, воздушный зазор (рис. 7.4). Силовые линии магнитного поля это окружности. Индукция магнитного поля вдоль окружности одинакова как в сердечнике, так и в воздушном зазоре. Это связано с тем, что силовые магнитного поля замкнуты, а при малой длине зазора их густота и индукция почти неизменна. Если длины сердечника и зазора равны l и l 0, магнитные проницаемости μμ 0 и μ 0 то сумма токов, пронизывающих поверхность внутри окружности равна произведению числа витков на силу тока. Интеграл по замкнутому контуру представим суммой двух интегралов по контуру в сердечнике и зазоре. Таким образом, по закону полного тока 
. Индукция магнитного поля в сердечнике тороида одинакова по силовой линии и равна
. 7.6
Магнитное поле неоднородное, сильнее около внутренней поверхности сердечника тороида и ослабевает по мере удаления от оси тора.
Умножим среднее значение индукции в формуле 7.6 на площадь поперечного сечения тора. В результате получим формулу для расчета потока вектора магнитной индукции
. 7.7
Обобщим полученный результат на любую магнитную цепь. Введем обозначение 
, которое назовем магнитным сопротивлением участка магнитной цепи. Произведение силы тока на число витков катушки назовем магнитодвижущей силой. В результате получим уравнение, являющееся законом Ома для магнитной цепи: магнитный поток равен отношению магнитодвижущей силы к магнитному сопротивлению магнитопровода: 
. Для расчета разветвленных магнитных цепей справедливы законы Кирхгофа.
Если тороид замкнут, то, приняв l 1=0 в формуле 7.6, получим для индукции формулу
. 7.8
Здесь 
– концентрация витков катушки.
Контрольные вопросы
1. По трубке течет электрический ток. Примените закон полного тока к контурам в форме концентрических окружностей внутри и снаружи трубки. Изобразите график зависимости индукции магнитного поля от расстояния от оси трубки.
2. Две плоские катушки расположены параллельно друг другу на расстоянии, равном диаметру, и в них текут одинаково направленные токи (катушки Гельмгольца). Правда ли, что магнитное поле между ними почти однородное?
