Основания арифметики

В работах и дискуссиях Венского кружка рассматривается множество различных проблем, которые относятся к разным отраслям науки. Здесь стремятся единообразно систематизировать различные проблемные направления и тем самым прояснить проблемную ситуацию.

Проблемы обоснования арифметики потому приобрели особое историческое значение для развития научного миропонимания, что именно они дали импульс для развития новой логики. После необычайно плодотворного развития математики в XVIII и XIX столетиях, в процессе которого больше заботились о богатстве новых результатов, чем о тщательной перепроверке понятийного основания, в конце-концов оказалось, что такая перепроверка является неизбежной, если математика не хочет потерять постоянно превозносимую безопасность своей конструкции. Эта перепроверка стала еще более настоятельной, когда появились определенные противоречия, "парадоксы теории множеств". Вскорости пришло осознание, что речь идет не о трудностях в некоторой отдельной области математики, но об общелогических противоречиях, " антиномиях ", которые указывают на существенные ошибки в основаниях традиционной логики. Задача устранения этих противоречий послужила особенно сильным импульсом для дальнейшего развития логики. Так, усилия по прояснению понятия числа совпали здесь с усилиями по внутренней реформе логики. Со времен Лейбница и Ламберта жива была мысль, освоить действительность через повышенную строгость понятий и умозаключений, а эту строгость достичь посредством символики, построенной по математическому образцу. После Буля, Венна и других, в особенности Фреге (1884), Шрёдер (1890) и Пеано (1895) работали над этой задачей. На основе этих наработок Уайтхед и Рассел (1910) смогли построить связную систему логики в символической форме (" логистику "), которая не только избегала противоречий старой логики, но и далеко превзошла ее по богатству и практической применимости. Они вывели из этой логической системы понятия арифметики и анализа, чтобы тем самым дать математике надежный фундамент в логике.

В этой попытке преодоления кризиса в основаниях арифметики (и теории множеств) остались все же определенные трудности, которые вплоть до сегодняшнего дня не нашли еще окончательно удовлетворительного решения. В настоящее время в этой области противостоят друг другу три различных направления; наряду с " логицизмом " Рассела и Уайтхеда, имеется " формализм " Гильберта, который истолковывает арифметику как игру в формулы по определенным правилам и " интуиционизм " Брауэра, по которому арифметические познания основаны на далее не разложимой интуиции двойки-единицы. В Венском кружке с большим интересом следят за полемикой между этими тремя направлениями. В чью сторону в конце-концов склонится чаша весов, остается пока неясным; в любом случае, здесь будет также дано решение о построении логики; отсюда и важность этой проблемы для научного миропонимания. Кое-кто придерживается мнения, что эти три направления вовсе не так далеко отстоят друг от друга, как это кажется. Можно предположить, что существенные черты этих трех направлений в ходе дальнейшего развития сблизятся и вероятно, используя важные мысли Витгенштейна, объединятся в конечном решении.

Представление о тавтологическом характере математики, которое опирается на исследования Рассела и Уайтхеда, поддерживается также Венским кружком. Важно иметь ввиду, что это представление противоположно не только априоризму и интуиционизму, но также и старому эмпиризму (например, Милля), который определенным образом хотел вывести математику и логику экспериментально-индуктивно.

С проблемами арифметики и логики взаимосвязаны также исследования, которые занимаются сущностью аксиоматических методов вообще (понятия полноты, независимости, мономорфии, неразветвляемости и т.п.), как и формулировкой аксиоматических систем для определенных областей математики.