Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕример решени€ задачи.  онсольна€ рама из двух элементов одинаковой длины (l = 2 м) нагружена пространственной системой сил




 онсольна€ рама из двух элементов одинаковой длины (l = 2 м) нагружена пространственной системой сил. ћатериал рамы Ц сталь марки —т3 с допускаемым напр€жением [s] = 160 ћѕа.

“ребуетс€ подобрать дл€ рамы из услови€ прочности размеры двух видов поперечного сечени€: круглого с диаметром d и пр€моугольного с соотношением длин сторон h / b = 2. ќпределить, какое сечение €вл€етс€ более эффективным с точки зрени€ расхода материала.

–ешение

1. ѕостроим эпюры продольной силы N, изгибающих Mx, My и крут€щих моментов Mz.

¬ведем дл€ каждого стержн€ систему координат. ѕри этом ось z всегда направл€етс€ вдоль оси стержн€, а оси x и y €вл€ютс€ главными центральными ос€ми поперечного сечени€.

¬ качестве базы дл€ построени€ эпюр используем конфигурацию рамы, которую вычерчиваем в любом удобном месте.

Ёлемент I (AB)

ѕродольна€ сила.

¬ начале элемента (сечение A) нет силы, действующей вдоль оси z, поэтому N = 0.

»згибающий момент в плоскости yz.

¬ этой плоскости на элемент I действуют сосредоточенна€ сила F 1 и равномерно распределенна€ нагрузка q. Ќаличие распределенной нагрузки говорит о том, что эпюра изгибающих моментов Mx должна иметь вид параболы с выпуклостью, направленной вниз (в сторону действи€ нагрузки q). —троим эту параболу по двум точкам.

¬ начале элемента отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому .

¬ычисл€ем величину изгибающего момента в конце элемента:

(раст€нуты нижние волокна).

»згибающий момент в плоскости xz.

¬ этой плоскости на элемент I действует сосредоточенна€ сила F 2. “ак как распределенной нагрузки нет, эпюра изгибающих моментов My должна быть пр€молинейной. —троим эту пр€мую по двум точкам.

¬ начале элемента отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому .

¬ычисл€ем величину изгибающего момента в конце элемента:

(раст€нуты задние волокна).

 рут€щий момент.

Ќа элемент I не действуют моменты относительно оси z, поэтому Mz = 0.

Ёлемент II (BC)

ќтсечем и отбросим элемент I рамы.   оставшемус€ элементу II в сечении B прикладываем силы, перенос€ их с элемента I (при этом распределенна€ нагрузка замен€етс€ равнодействующей силой ).  роме того, в сечении B прикладываем моменты, полученные в конце элемента I. »х величину и направление устанавливаем по эпюрам Mx и My. ћоменты действуют в той же плоскости, в которой находитс€ соответствующа€ эпюра, а их направление будет навстречу движению вдоль линии эпюры:

ѕолучаем следующую расчетную схему дл€ элемента II:

ѕродольна€ сила.

ƒействующа€ вдоль оси z сила F 2 раст€гивает элемент II, поэтому возникающа€ продольна€ сила положительна и равна по величине N = F 2 = 1 кЌ. Ќа эпюре изображаем пр€моугольник с ординатой 1 кЌ, откладыва€ ее от базы в любом направлении. ¬ поле эпюры указываем знак Ђ+ї.

»згибающий момент в плоскости yz.

¬ данной плоскости на элемент II действуют сосредоточенные силы F 1 и Q. ѕо отсутствию распределенной нагрузки определ€ем, что эпюра M x должна быть пр€молинейной.

¬ начале элемента в данной плоскости нет сосредоточенного момента, поэтому .

¬ конце элемента:

(раст€нуты нижние волокна).

»згибающий момент в плоскости xz.

¬ этой плоскости на элемент II действует сосредоточенный момент 2 кЌ Ј м и сила F 3. –аспределенна€ нагрузка отсутствует, поэтому эпюра M y имеет вид пр€мой линии.

¬ начале элемента действует момент 2 кЌ Ј м, раст€гивающий левые волокна, то есть .

¬ конце элемента:

(раст€нуты левые волокна).

 рут€щий момент.

ƒействующий по часовой стрелке относительно оси z момент 4 кЌ Ј м приводит к возникновению в поперечных сечени€х элемента II крут€щего момента Mz = 4 кЌ Ј м.

¬ окончательном виде эпюры внутренних силовых факторов выгл€д€т следующим образом:

2. ќпределение размеров круглого сечени€.

ѕо эпюрам внутренних силовых факторов видно, что элемент II €вл€етс€ более нагруженным по сравнению с элементом I: здесь больше величины изгибающих моментов M x и M y и, кроме того, имеютс€ крут€щий момент M z и продольна€ сила N. ѕоэтому дл€ выполнени€ проектного расчета выбираем элемент II.

2.1. –асчет на прочность дл€ элемента II (BC)

2.1.1. ќпредел€ем положение опасного сечени€.

»з эпюр изгибающих моментов видно, что дл€ элемента II наибольшие значени€ моментов Mx (2 кЌЈм) и My (6 кЌЈм) возникают в одном и том же сечении Ц сечении C. ќно и €вл€етс€ опасным.

2.1.2. ќпредел€ем положение опасной точки в опасном сечении.

—начала найдем положение силовой линии в опасном сечении. ƒл€ этого изобразим сечение и от его центра отложим ординаты изгибающих моментов Mx и My с соблюдением масштаба и в ту же сторону, что и на эпюрах. √еометрическа€ сумма ординат Mx и My дает ординату суммарного изгибающего момента M Σ, котора€ и определ€ет положение силовой линии.

ќпасными от действи€ изгиба будут точки пересечени€ силовой линии с контуром круга a и c. “о, что ордината M Σ отложена в сторону точки а, означает, что эта точка испытывает напр€жение раст€жени€. —тавим р€дом с ней знак Ђ+ї. ѕротивоположна€ ей точка с испытывает напр€жение сжати€, и р€дом с ней ставим знак ЂЦї.

ƒобавим около каждой точки по знаку Ђ+ї от действи€ раст€гивающей продольной силы N. ¬ точке a получаем два знака Ђ+ї, исход€ из чего делаем вывод, что эта точка опаснее, чем точка c.

ѕоскольку возникающие от крут€щего момента Mz касательные напр€жени€ τ в точках a и c одинаковы, именно точка a и €вл€етс€ опасной при совместном действии изгиба с раст€жением и кручением.

2.1.3. —оставл€ем и решаем условие прочности дл€ опасной точки.

ѕо теореме ѕифагора вычисл€ем величину суммарного изгибающего момента:

.

ќпредел€ем напр€жени€ в опасной точке, пренебрега€ вли€нием продольной силы N:

;

.

„тобы оценить степень опасности состо€ни€ материала в точке a, вычисл€ем эквивалентное напр€жение. “ак как сталь —т3 €вл€етс€ пластичным материалом, то следует выбрать III или IV теорию предельного состо€ни€. ¬оспользуемс€ более точной IV теорией:

.

»з услови€ прочности: Ц выражаем и вычисл€ем минимально необходимое значение диаметра сечени€:

.

¬ыполним проверку на прочность дл€ опасной точки с учетом продольной силы N:

,

,

.

Ёто больше, чем допускаемое напр€жение [ s ] = 160 ћѕа. ѕерегруз составл€ет , что не превышает 5%. “акой перегруз считаетс€ допустимым, и увеличивать диаметр сечени€ нет необходимости.

2.2. ѕроверка на прочность дл€ элемента I (AB)

ѕроверим, можно ли использовать дл€ элемента I сечение, подобранное дл€ элемента II.

2.2.1. »з эпюр внутренних силовых факторов видно, что опасным дл€ элемента I €вл€етс€ сечение B, испытывающее пр€мой пространственный изгиб.

2.2.2. ¬ плоскости круглого сечени€ откладываем ординаты изгибающих моментов M x и M y дл€ сечени€ B по тем же направлени€м, что и на эпюре. ¬доль ординаты суммарного момента проводим силовую линию. “ак как дл€ элемента I продольна€ сила N отсутствует, опасными €вл€ютс€ точки пересечени€ силовой линии с контуром сечени€ j и k.

2.2.3. ¬ычисл€ем величину напр€жени€ в опасных точках:

.

Ёто меньше, чем допускаемое напр€жение, так что увеличивать размеры сечени€ не нужно.

3. ќпределение размеров пр€моугольного сечени€.

ќпределим предварительно рациональное расположение сечени€ и его геометрические характеристики.

Ќаибольший изгибающий момент дл€ рамы в целом возникает на элементе II (6 кЌЈм). ќрдината этого момента отложена на эпюре вдоль оси x элемента II, поэтому выгодно расположить пр€моугольное сечение таким образом, чтобы его длинные стороны были параллельны этой оси (большей стороной вдоль большего изгибающего момента).

¬ыразим геометрические характеристики сечени€ через его характерный размер b. “ак как , то площадь сечени€ , а осевые моменты сопротивлени€ дл€ выбранного расположени€ сечени€:

;

.

ѕо таблице 4.5 ѕриложени€ 4 (стр. 157) определ€ем значени€ коэффициентов b и g дл€ отношени€ h / b = 2:

b = 0,493, g = 0,795.

ћомент сопротивлени€ сечени€ при кручении .

“ак же, как и в случае круглого сечени€, сначала подбираем размеры сечени€ дл€ элемента II, а затем провер€ем, подходит ли это сечение дл€ элемента I.

3.1. –асчет на прочность дл€ элемента II (BC)

3.1.1. ќпредел€ем положение опасного сечени€.

“ак же, как и в случае стержн€ круглого сечени€, опасным €вл€етс€ сечение C, поскольку здесь максимальны значени€ изгибающих моментов Mx и My.

3.1.2. ќпредел€ем положение опасных точек в опасном сечении.

Ќайдем опасные точки от действи€ изгиба. ƒл€ этого в плоскости сечени€ отложим ординаты внутренних изгибающих моментов Mx и My и установим положение силовой линии. —илова€ лини€ совпадает с ординатой суммарного момента M Σ. ќпасными от изгиба будут вершины пр€моугольника e и f, наход€щиес€ в тех четверт€х, через которые проходит силова€ лини€.

ѕо положению ординаты суммарного изгибающего момента определ€ем, что в точке f возникает напр€жение раст€жени€, ставим р€дом с ней два знака Ђ+ї. “очка e испытывает напр€жение сжати€, и около неЄ ставим два знака ЂЦї. ƒобавив к каждой группе знаков знак Ђ+ї от действи€ раст€гивающей продольной силы N, видим, что более опасной €вл€етс€ точка f.

ѕроставим также векторы касательных напр€жений в точках по серединам сторон пр€моугольника. ќни направлены вдоль контура сечени€ по часовой стрелке относительно его центра (так же, как и крут€щий момент Mz). »з этих четырех точек выберем дл€ расчета две, наход€щиес€ в той же четверти, что и точка f (точки m и n).

ќпасной €вл€етс€ одна из трех точек: f, m или n.

3.1.3. —оставл€ем и решаем условие прочности.

Ќайдем расчетные напр€жени€ в опасных точках, пренебрега€ вли€нием продольной силы N.

¬ угловой точке f:

, .

“очка n лежит на оси y, поэтому нормальное напр€жение в ней возникает только от действи€ момента Mx:

.

 асательное напр€жение в точке n €вл€етс€ максимальным, так как она находитс€ посередине длинной стороны сечени€:

.

Ёквивалентное напр€жение дл€ точки n (по IV теории предельного состо€ни€):

.

¬ точке m нормальное напр€жение определ€етс€ только моментом My (поскольку она лежит на оси x), а касательное напр€жение равно произведению τ max на коэффициент g (в силу того, что эта точка находитс€ посередине короткой стороны сечени€):

, .

Ёквивалентное напр€жение дл€ точки m:

.

¬ условие прочности подставл€ем большее из рассчитанных напр€жений:

,

откуда находим минимально необходимые размеры сечени€:

,

.

ќпасной €вл€етс€ точка с максимальным расчетным напр€жением Ц точка n. ¬ыполн€ем дл€ нее проверку на прочность с учетом продольной силы N.

,

,

.

ѕолученное значение меньше допускаемого напр€жени€ [ s ] = 160 ћѕа, так что условие прочности выполн€етс€.

3.2. ѕроверка на прочность дл€ элемента I (AB)

3.2.1. ƒл€ данного элемента опасным €вл€етс€ сечение B. ¬ид деформации Ц косой изгиб.

3.2.2. »зображаем схему сечени€. ќт его центра т€жести откладываем в масштабе ординаты изгибающих моментов M x и M y в тех же направлени€х, что и на эпюре дл€ сечени€ B. √еометрическа€ сумма этих ординат дает ординату суммарного изгибающего момента, продлева€ которую получим силовую линию. “ак как продольна€ сила N дл€ элемента I отсутствует, опасными €вл€ютс€ угловые точки в четверт€х, через которые проходит силова€ лини€. Ёто точки u и v.

3.2.3. ¬ычисл€ем величину напр€жени€ в опасных точках:

.

Ёто меньше, чем допускаемое напр€жение [ s ] = 160 ћѕа, то есть условие прочности выполн€етс€.

4. —равним стержни круглого и пр€моугольного сечени€ по металлозатратам. ƒл€ этого определим площади сечений:

,

,

то есть в данном случае пр€моугольное сечение, облада€ меньшей площадью, €вл€етс€ более эффективным с точки зрени€ расхода материала.

«адача решена.

 

„то делать, если условие прочности в пункте
2.2.3 или 3.2.3 не выполн€етс€?

¬ этом случае размеры сечени€ (d или b и h) нужно увеличить в раз и повторить проверку.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-29; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1755 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

80% успеха - это по€витьс€ в нужном месте в нужное врем€. © ¬уди јллен
==> читать все изречени€...

491 - | 489 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.033 с.