Примеры. Построить линии уровня функций, соответствующие значениям

Для характеристики скорости изменения поля в направлении вектора вводят понятие производной поля по направлению.

Рассмотрим функцию в точке и точке .

Проведем через точки и вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками и на векторе обозначим

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

Далее предположим, что функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины e₁, e₂, e₃ – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

Из этого уравнения следует следующее определение:

1°. Пусть задана точка и вектор , выходящий из точки (рис.). Производной функции по направлению вектора называют предел отношения разности к величине направленного отрезка , когда точка стремится к точке , оставаясь на прямой :

.

Производная от функции по направлению обозначается:

или .

Заметим, что

1) величина является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

2) В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет бесконечное множество производных по различным направлениям.