Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕример решени€ задачи




«адача

—татически неопределима€ балка посто€нного поперечного сечени€ нагружена заданной системой поперечных сил и изгибающих моментов.

ћатериал балки Ц —т.3 с допускаемым напр€жением =160 ћѕа и модулем ёнга ≈= ћѕа.

“ребуетс€:

–аскрыть статическую неопределимость балки, подобрать из услови€ прочности размер двутаврового сечени€ и проверить выполнение услови€ жесткости, прин€в =0,8 мм.

–ешение

1. ќпределим степень статической неопределимости балки s.

ƒл€ этого сначала найдем суммарное количество реактивных усилий в опорах балки. ¬ жесткой заделке их 2 (реактивный момент и вертикальна€ реактивна€ сила), в подвижных шарнирных опорах D и ¬ Ц по одной вертикальной реактивной силе (см. ѕрактикум, часть 1, стр. 55-56). »того Ц 4 реактивных усили€.

«атем определим необходимое и достаточное количество уравнений статического равновеси€. ƒл€ плоской балки с вертикальной нагрузкой количество уравнений равновеси€ равно двум (см. ѕрактикум, часть 1, стр. 57-58).

“аким образом, степень статической неопределимости балки равна:

,

т.е. данна€ балка дважды статически неопределима.

2. ¬ыберем основную систему. ƒл€ этого нужно убрать с балки всю действующую нагрузку и отбросить лишние св€зи, чтобы она стала статически определимой, остава€сь при этом кинематически неизмен€емой (т.е. неподвижной).   статически определимым балкам относ€тс€ балки с жестким защемлением и балки на двух шарнирных опорах, одна из которых шарнирно-неподвижна€, а друга€ Ц шарнирно-подвижна€ (см. ѕрактикум, часть 1, стр. 56).

–ассмотрим возможные варианты основных систем.

Ћюба€ из трех вариантов основных систем может быть использована дл€ раскрыти€ статической неопределимости заданной балки.  отора€ же из трех €вл€етс€ наиболее рациональной? ”читыва€, что в процессе решени€ на основной системе неоднократно придетс€ строить различные эпюры, то можно считать, что основна€ система с жесткой заделкой (вариант 1) €вл€етс€ наиболее рациональной (примен€€ метод сечений в направлении от свободного конца к заделке, нет необходимости определ€ть в ней реактивные усили€). –екомендаци€: если в исходной статически неопределимой системе есть хот€ бы одна жестка€ заделка, то при образовании основной системы эту заделку нужно оставить, а остальные опоры отбросить.

¬нимание! ≈сли в исходной статически неопределимой балке нет ни одной жесткой заделки, а только шарнирные опоры, то в качестве основной системы может служить только балка на двух шарнирных опорах, одна из которых шарнирно-неподвижна€, а друга€ Ц шарнирно-подвижна€.

»так, дл€ дальнейшего решени€ выбираем первый вариант основной системы:

3. ќбразуем эквивалентную систему из выбранной основной. ƒл€ этого на основной системе показываем заданную внешнюю нагрузку и реакции отброшенных шарнирно-подвижных опор, обознача€ их 1 и 2:

Ќаправлени€ дл€ 1 и 2 выбираем произвольно (вверх или вниз), а решение нам покажет, верны они или нет.

4. «апишем условие эквивалентности в виде системы канонических уравнений метода сил (— ”ћ—). ƒл€ дважды статически неопределимой системы оно имеет следующий вид:

5. ќпределим коэффициенты — ”ћ—.

5.1. ѕостроим вспомогательные эпюры изгибающих моментов: грузовую и две единичных.

ѕостроим грузовую эпюру изгибающих моментов ћxF. ќна строитс€ на основной системе только от действи€ заданной внешней нагрузки:

«десь значени€ моментов в граничных сечени€х балки определ€ютс€ методом сечений в направлении от свободного кра€ к заделке. Ёпюра строитс€ на раст€нутых волокнах (см. ѕрактикум, часть 1, стр. 11-19).

”часток ¬— не нагружен, момент во всех сечени€х равен нулю:

.

Ќа участке —D пр€молинейна€ зависимость, т.к. участок без распределенной нагрузки.

.

¬ сечении D приложен сосредоточенный момент, вызывающий на эпюре скачок на величину момента ћ =20 в сторону раст€нутых волокон (вниз).

Ќа участке DE парабола, т.к. участок с распределенной нагрузкой. ¬ыпуклость параболы вниз (в сторону действи€ распределенной нагрузки).

.

Ќа грузовой эпюре также показаны значени€ момента в средних сечени€х каждого ненулевого участка. Ёти значени€ нам потребуютс€ при Ђперемноженииї эпюр по формуле —импсона. ќпредел€ютс€ они аналогично (предлагаетс€ получить эти значени€ самосто€тельно).

ѕостроим единичные эпюры изгибающих моментов и . ≈диничные эпюры стро€тс€ на основной системе от действи€ каждой Ђлишнейї неизвестной, прин€той равной безразмерной единице: и .

«десь значени€ единичных моментов в граничных и средних сечени€х участков равны произведению единичной силы на соответствующее плечо (рассто€ние от точки приложени€ силы до соответствующего сечени€).

5.2. Ќайдем единичные коэффициенты — ”ћ—.

≈диничные коэффициенты определ€ютс€ путем Ђперемножени€ї соответствующих единичных эпюр методом ћора (см. ѕрактикум, часть 1, стр. 41). »нтеграл ћора при этом будем вычисл€ть по формуле —импсона (см. там же, стр. 42, формула (2)).

 оэффициент находим Ђперемножениемї первой единичной эпюры на , т.е. умножаем еЄ саму на себ€ (индексы коэффициента показывают, кака€ эпюра на какую Ђперемножаетс€ї). ”частков перемножени€ три: ¬—, —D и DE.

.

јналогично находим коэффициент Ђперемножениемї первой единичной эпюры на вторую . ”часток перемножени€ один Ц DE, т.к. на участках ¬— и —D эпюра нулева€.

.

ќчевидно, что симметричные коэффициенты равны между собой:

.

 оэффициент находим путем Ђперемножени€ї второй единичной эпюры на саму себ€. ”часток Ђперемножени€ї один: DE.

.

5.3. Ќайдем грузовые коэффициенты — ”ћ—.

√рузовые коэффициенты наход€тс€ путем Ђперемножени€ї соответствующей единичной эпюры на грузовую . Ќайдем их методом ћора, также примен€€ формулу —импсона.

.

.

6. ѕодставим найденные коэффициенты в — ”ћ— и решим полученную систему двух линейных алгебраических уравнений относительно Ђлишнихї неизвестных ’1 и ’2.

ќтметим, что в каждом слагаемом обоих уравнений в знаменателе стоит величина EIx Ц жесткость поперечного сечени€ балки. —ледовательно, на эту величину оба уравнени€ можно сократить, тогда система принимает вид:

¬ результате математического решени€ этой системы находим значени€ Ђлишнихї неизвестных: кЌ, кЌ. ќба значени€ получились положительными, следовательно, мы угадали истинное направление этих усилий. ¬нимание! ≈сли значение Ђлишнейї неизвестной получаетс€ отрицательным, значит нужно изменить еЄ направление на эквивалентной системе на противоположное.

7. ѕостроим суммарную эпюру изгибающих моментов . —уммарна€ эпюра строитс€ на основной системе с учетом действи€ заданной нагрузки и найденных значений Ђлишнихї неизвестных.

ќпределим значени€ моментов в граничных сечени€х суммарной эпюры:

, ,

(до скачка),

(после него),

.

Ќа суммарной эпюре показаны также значени€ моментов в средних сечени€х участков. ќни наход€тс€ аналогично методом сечений (предлагаетс€ получить эти значени€ самосто€тельно).

8. —делаем деформационную проверку. ”бедимс€, что вертикальные перемещени€ раскрепленных точек эквивалентной системы и равны нулю. ƒл€ нахождени€ этих перемещений методом ћора необходимо каждую единичную эпюру и Ђперемножитьї на суммарную . ”читыва€, что значени€ 1 и 2 были найдены неточно (с учетом округлени€), точного нул€ в деформационной проверке мы не получим. ƒопустима€ погрешность решени€ Ц не более 3%.

ƒл€ сечени€ ¬:

.

ƒл€ определени€ точности решени€ необходимо сгруппировать значени€ с разными знаками (что сделано в последней строке) и оценить погрешность вычислений в процентах по отношению к положительной составл€ющей:

% % % =0,9%,

что допустимо.

ƒл€ сечени€ D:

.

% = % = % =1,1%,

что тоже допустимо.

“аким образом, статическа€ неопределимость балки раскрыта верно.

9. ѕодберем из услови€ прочности размер двутаврового сечени€ балки (см. ѕрактикум, часть 1, стр. 37). ќпределим по суммарной эпюре положение опасного сечени€. —ечение D наиболее опасно, т.к. в этом сечении наибольший изгибающий момент:

.

«аданна€ балка изготовлена из пластичного материала, следовательно, условие прочности имеет вид (см. ѕрактикум, часть 1, стр. 35):

.

Ќайдем из услови€ прочности допускаемую величину момента сопротивлени€:

.

“аким образом, двутавровое сечение балки должно иметь величину момента сопротивлени€, не меньшую, чем 71,7 см3. ѕо сортаменту прокатной стали (√ќ—“ 8239-89) подберем подход€щий номер двутавра (см. ѕриложение 4, таблица 4.1, стр. 152). ѕодходит двутавр є14, у которого осевой момент сопротивлени€ Wx =81,7см3, а осевой момент инерции Ix =572 см4.

10. ќпределим перемещени€ (прогибы) некоторых незакрепленных сечений балки, изобразим приближенный вид еЄ изогнутой оси и проверим выполнение услови€ жесткости (см. ѕрактикум, часть 1, стр. 40).

ѕри расчете на жесткость балки используем поперечное сечение, которое подобрали из услови€ прочности Ц двутавр є 14 с осевым моментом инерции .

ѕеремещени€ обычно определ€ют в двух-трех незакрепленных граничных сечени€х балки, однако, в заданной балке такое граничное сечение единственное Ц . “огда в качестве второго сечени€ можно вз€ть середину самого длинного участка. ћы возьмем сечение   Ц середину участка ≈D.

ќпределим методом ћора перемещени€ в сечени€х и  . ƒл€ этого построим две единичных эпюры ћ1— и ћ, приложив поочередно в каждом сечении по единичной силе. ¬нимание! ≈диничные эпюры здесь стро€тс€ на выбранной основной системе.

ѕеремещение найдем путем Ђперемножени€ї единичной эпюры ћ1— на суммарную эпюру :

.

«нак ЂЦї здесь говорит о том, что истинное перемещение сечени€ противоположно выбранному направлению единичной силы на эпюре ћ1—. —ледовательно, сечение балки перемещаетс€ вверх на 0,036 мм.

ѕеремещение найдем путем Ђперемножени€ї единичной эпюры ћ на суммарную эпюру :

.

Ќаправление перемещени€ сечени€   совпадает с выбранным направлением единичной силы на эпюре ћ1—. —ледовательно, сечение   балки смещаетс€ вниз на 0,11 мм.

»зобразим приближенный вид изогнутой оси балки, учитыва€ следующие услови€:

Ј «акрепленные сечени€ ¬, D и балки не смещаютс€ (остаютс€ на месте).

Ј —ечение смещаетс€ вверх на 0,036 мм, а сечение   вниз на 0,11 мм.

Ј »зогнута€ ось балки от жесткой заделки отходит с нулевым углом поворота.

Ј Ќаправление выпуклости изогнутой оси определ€етс€ по суммарной эпюре . ”читыва€, что эпюра моментов строитс€ на раст€нутых волокнах, получаем, что на участках, где суммарна€ эпюра расположена выше оси, выпуклость изогнутой оси балки направлена вверх. —оответственно, там, где расположена ниже оси, балка изгибаетс€ выпуклостью вниз.

”читыва€ все вышеизложенное, изображаем приближенный вид изогнутой оси балки.

 

ќчевидно, что максимальный прогиб балки, если и отличаетс€ от прогиба в сечении  , то весьма несущественно. ѕринимаем .

ѕроверим выполнение услови€ жесткости:

Ц условие жесткости выполн€етс€.

«адача решена.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-29; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 3819 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕольшинство людей упускают по€вившуюс€ возможность, потому что она бывает одета в комбинезон и с виду напоминает работу © “омас Ёдисон
==> читать все изречени€...

764 - | 591 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.041 с.