![]() Поиск: Рекомендуем: ![]() ![]() ![]() ![]() Категории: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пример решения задачиЗадача Статически неопределимая балка постоянного поперечного сечения нагружена заданной системой поперечных сил и изгибающих моментов. Материал балки – Ст.3 с допускаемым напряжением Требуется: Раскрыть статическую неопределимость балки, подобрать из условия прочности размер двутаврового сечения и проверить выполнение условия жесткости, приняв Решение 1. Определим степень статической неопределимости балки s. Для этого сначала найдем суммарное количество реактивных усилий в опорах балки. В жесткой заделке Е их 2 (реактивный момент и вертикальная реактивная сила), в подвижных шарнирных опорах D и В – по одной вертикальной реактивной силе (см. Практикум, часть 1, стр. 55-56). Итого – 4 реактивных усилия. Затем определим необходимое и достаточное количество уравнений статического равновесия. Для плоской балки с вертикальной нагрузкой количество уравнений равновесия равно двум (см. Практикум, часть 1, стр. 57-58). Таким образом, степень статической неопределимости балки равна:
т.е. данная балка дважды статически неопределима. 2. Выберем основную систему. Для этого нужно убрать с балки всю действующую нагрузку и отбросить лишние связи, чтобы она стала статически определимой, оставаясь при этом кинематически неизменяемой (т.е. неподвижной). К статически определимым балкам относятся балки с жестким защемлением и балки на двух шарнирных опорах, одна из которых шарнирно-неподвижная, а другая – шарнирно-подвижная (см. Практикум, часть 1, стр. 56). Рассмотрим возможные варианты основных систем. Любая из трех вариантов основных систем может быть использована для раскрытия статической неопределимости заданной балки. Которая же из трех является наиболее рациональной? Внимание! Итак, для дальнейшего решения выбираем первый вариант основной системы: 3. Образуем эквивалентную систему из выбранной основной. Для этого на основной системе показываем заданную внешнюю нагрузку и реакции отброшенных шарнирно-подвижных опор, обозначая их Х1 и Х2: Направления для Х1 и Х2 выбираем произвольно (вверх или вниз), а решение нам покажет, верны они или нет. 4. Запишем условие эквивалентности в виде системы канонических уравнений метода сил (СКУМС). Для дважды статически неопределимой системы оно имеет следующий вид: 5. Определим коэффициенты СКУМС. 5.1. Построим вспомогательные эпюры изгибающих моментов: грузовую и две единичных. Построим грузовую эпюру изгибающих моментов МxF. Она строится на основной системе только от действия заданной внешней нагрузки: Здесь значения моментов в граничных сечениях балки определяются методом сечений в направлении от свободного края к заделке. Эпюра строится на растянутых волокнах (см. Практикум, часть 1, стр. 11-19). Участок ВС не нагружен, момент во всех сечениях равен нулю:
На участке СD прямолинейная зависимость, т.к. участок без распределенной нагрузки.
В сечении D приложен сосредоточенный момент, вызывающий на эпюре скачок на величину момента М=20 На участке DE парабола, т.к. участок с распределенной нагрузкой. Выпуклость параболы вниз (в сторону действия распределенной нагрузки).
На грузовой эпюре также показаны значения момента в средних сечениях каждого ненулевого участка. Эти значения нам потребуются при «перемножении» эпюр по формуле Симпсона. Определяются они аналогично (предлагается получить эти значения самостоятельно). Построим единичные эпюры изгибающих моментов Здесь значения единичных моментов в граничных и средних сечениях участков равны произведению единичной силы на соответствующее плечо (расстояние от точки приложения силы до соответствующего сечения). 5.2. Найдем единичные коэффициенты СКУМС. Единичные коэффициенты Коэффициент
Аналогично находим коэффициент
Очевидно, что симметричные коэффициенты равны между собой:
Коэффициент
5.3. Найдем грузовые коэффициенты СКУМС. Грузовые коэффициенты
6. Подставим найденные коэффициенты в СКУМС и решим полученную систему двух линейных алгебраических уравнений относительно «лишних» неизвестных Х1 и Х2. Отметим, что в каждом слагаемом обоих уравнений в знаменателе стоит величина EIx – жесткость поперечного сечения балки. Следовательно, на эту величину оба уравнения можно сократить, тогда система принимает вид: В результате математического решения этой системы находим значения «лишних» неизвестных: 7. Построим суммарную эпюру изгибающих моментов Определим значения моментов в граничных сечениях суммарной эпюры:
На суммарной эпюре 8. Сделаем деформационную проверку. Убедимся, что вертикальные перемещения раскрепленных точек эквивалентной системы Для сечения В:
Для определения точности решения необходимо сгруппировать значения с разными знаками (что сделано в последней строке) и оценить погрешность вычислений в процентах по отношению к положительной составляющей:
что допустимо. Для сечения D:
что тоже допустимо. Таким образом, статическая неопределимость балки раскрыта верно. 9. Подберем из условия прочности размер двутаврового сечения балки (см. Практикум, часть 1, стр. 37). Определим по суммарной эпюре
Заданная балка изготовлена из пластичного материала, следовательно, условие прочности имеет вид (см. Практикум, часть 1, стр. 35):
Найдем из условия прочности допускаемую величину момента сопротивления:
Таким образом, двутавровое сечение балки должно иметь величину момента сопротивления, не меньшую, чем 71,7 см3. По сортаменту прокатной стали (ГОСТ 8239-89) подберем подходящий номер двутавра (см. Приложение 4, таблица 4.1, стр. 152). Подходит двутавр №14, у которого осевой момент сопротивления Wx =81,7см3, а осевой момент инерции Ix =572 см4. 10. Определим перемещения (прогибы) некоторых незакрепленных сечений балки, изобразим приближенный вид её изогнутой оси и проверим выполнение условия жесткости (см. Практикум, часть 1, стр. 40). При расчете на жесткость балки используем поперечное сечение, которое подобрали из условия прочности – двутавр № 14 с осевым моментом инерции Перемещения обычно определяют в двух-трех незакрепленных граничных сечениях балки, однако, в заданной балке такое граничное сечение единственное – С. Тогда в качестве второго сечения можно взять середину самого длинного участка. Мы возьмем сечение К – середину участка ЕD. Определим методом Мора перемещения в сечениях С и К. Для этого построим две единичных эпюры М1С и М1К, приложив поочередно в каждом сечении по единичной силе. Внимание! Перемещение
Знак «–» здесь говорит о том, что истинное перемещение сечения С противоположно выбранному направлению единичной силы на эпюре М1С. Следовательно, сечение С балки перемещается вверх на 0,036мм. Перемещение
Направление перемещения сечения К совпадает с выбранным направлением единичной силы на эпюре М1С. Следовательно, сечение К балки смещается вниз на 0,11мм. Изобразим приближенный вид изогнутой оси балки, учитывая следующие условия: · Закрепленные сечения В, D и Е балки не смещаются (остаются на месте). · Сечение С смещается вверх на 0,036мм, а сечение К вниз на 0,11мм. · Изогнутая ось балки от жесткой заделки Е отходит с нулевым углом поворота. · Направление выпуклости изогнутой оси определяется по суммарной эпюре Учитывая все вышеизложенное, изображаем приближенный вид изогнутой оси балки.
Очевидно, что максимальный прогиб балки, если и отличается от прогиба в сечении К, то весьма несущественно. Принимаем Проверим выполнение условия жесткости:
Задача решена. Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 3364 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов Читайте также:
Рекомендуемый контект: Поиск на сайте:
|