Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


 олебани€. Ќа первый взгл€д незаметно, чтобы вокруг нас ежесекундно совершаютс€ колебательные движени€




Ќа первый взгл€д незаметно, чтобы вокруг нас ежесекундно совершаютс€ колебательные движени€. ќднако колебательное движение совершают атомы и €дра, планеты и звезды, они происход€т в ткан€х живых и растительных организмов, в электромагнитном и звуковом излучении. ѕричиной проведени€ волн возбуждени€ по нервным волокнам €вл€етс€ колебани€ значений трансмембранного потенциала в нервных клетках. ќказываетс€, весь окружающий нас мир находитс€ в посто€нном колебательном движении. «вук в радио, изображение в телевизоре, передача сигналов на рассто€нии Ц это сумма большого количества колебательных движений.  олебани€ бывают, например, механические, электрические, электромагнитные, акустические. ћеханические колебани€ в среде привод€т к возникновению механических волн, электромагнитные колебани€ вызывают по€вление электромагнитных волн.

–ис. 1.14. ¬иды механических колебаний

ƒвижение, при котором состо€ни€ движущегос€ тела с течением времени повтор€ютс€, причем тело проходит через положение своего устойчивого равновеси€ поочередно в противоположных направлени€х, называют механическим колебанием. ћеханические колебани€, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными, а также существуют автоколебани€ (рис.1.14). —вободные колебани€ совершаютс€ под действием внутренних сил системы, после того как система была выведена из состо€ни€ равновеси€, если при этом нет воздействи€ извне.  олебани€ груза на пружине или колебани€ ма€тника €вл€ютс€ свободными колебани€ми.  оле-

 

бани€, происход€щие под действием внешних периодически измен€ющихс€ сил, называютс€ вынужденными. ѕростейшим видом колебательного процесса €вл€ютс€ простые гармонические колебани€.

’арактеристиками колебательного движени€ €вл€ютс€ период T, частота f, смещение x, амплитуда A (рис.1.15).

ѕериодом T называют врем€ совершени€ одного полногоколебани€ тела. „астотой колебаний f называютчисло

полных колебаний в одну секунду. ≈е измер€ют в герцах (1 √ц = 1/с), 1 герц равен одному полному колебанию в секунду.

„астота обратно пропорциональна периоду колебаний:

f = 1. (1.5.1)

T

÷иклической частотой колебаний (измер€етс€ в единицах рад/c)называют величину

w = 2 p f

= 2 p. (1.5.2)

T

—мещением (x = x (t)) называетс€ рассто€ние от положени€ тела в данный момент времени до положени€ равновеси€. јмплитудой A называют максимальное смещение или наибольшее отклонение тела от положени€ равновеси€. –ис. 1.15. ’арактеристики колебательного движени€

√армонические колебани€. ѕериодическое колебание тела, при котором его смещение относительно положени€ равновеси€ со временем описываетс€ по закону синуса или косинуса, называют гармоническим.  олебательный процесс может происходить под действием как внешних, так и внутренних сил.  олебани€ под действием внутренних сил коле-

бательной системы называют свободными. ¬ этом случае исходна€ потенциальна€ энерги€ колебательного движени€ превращаетс€ в кинетическую энергию и обратно. „астота ω0, с которой совершаютс€ такие колебани€, называют собственной.

 олебани€ груза на пружине. ”равнение гармонического колебани€ удобно рассмотреть на примере колебани€ груза на пружине (рис.1.16), поскольку эта простейша€ модель может быть использовани€ и дл€ описани€ колебаний дипол€, гармонического осцилл€тора и в других случа€х. ”скорение тела в дифференциальной форме согласно (1.1.4) равно

d 2 x

a =

dt 2

= ˙ x ˙. ќтсюда второй закон Ќьютона можно записать

в виде

m ˙ x ˙ = - kx, (1.5.3)

где m Ц масса колеблющегос€ тела,

Fx = - kx

Ц сила упруго-

сти пружины, описываема€ законом √ука.

»з формулы (1.5.3) получаем уравнение гармонических колебаний груза на пружине:

˙ x ˙ +

kx = 0. (1.5.4)

m

 

–ис. 1.16.  олебани€ груза на пружине

¬ теории дифференциальных уравнений решение уравнени€ (1.5.4) ищетс€ в виде

x = A cos(w 0 t + f), (1.5.5)

где величина A представл€ет собой амплитуду колебаний, величина f называетс€ начальной фазой. Ќачальна€ фаза

показывает, в какой точке относительно начала координат находилс€ груз в начальный момент времени.

— учетом того, что втора€ производна€ по времени от гармонической функции (1.5.5) имеет вид

..

 
x = - w 2 x, (1.5.6)

уравнение (1.5.4) можно записать в виде

 
- w 2 х + k

m

х = 0.

ќтсюда собственна€ частота колебаний груза на пружине

k

w 0=

. (1.5.7)

m

0
ќна обратно пропорциональна корню массы колеблющегос€ тела m ~ 1 и пр€мо пропорциональна корню квадратному

√m

изкоэффициентаупругостипружиныm0 ~ √k.„ем т€желее тело и жестче пружина, тем меньше частота колеблющегос€ тела.

ѕолна€ механическа€ энерги€ груза на пружине равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

mv 2

kx 2

kA 2

E = ≈х

+ u (x)= + =, (1.5.8)

2 2 2

где v Ц скорость, которую имеет груз массой m на рассто€нии x от положени€ равновеси€ (максимальное отклонение груза от положени€ равновеси€ ј).

«атухающие гармонические колебани€. ¬ реальных услови€х на колеблющеес€ тело действует сила трени€. Ќапример, на качели действует сила сопротивлени€ воздуха и трение в точках прикреплени€ качелей к оси. ≈сли качели отвести высоко вверх, отпустить и в дальнейшем не подталкивать, то со временем частота и амплитуда качаний уменьшатс€, и качели останов€тс€. ¬о всех живых организмах, начина€ с клетки, происход€т колебани€. ѕоддержание амплитуды этих колебаний происходит за счет поступлени€ энергии из внешних источников, например, в результате переработки пищи.

ѕолностью избежать трени€ невозможно. ѕоэтому амплитуда колебаний любого качающегос€ тела постепенно уменьшаетс€ до тех пор, пока они вовсе не прекрат€тс€.

«атухающие гармонические колебани€ Ц это гармонические колебани€ с уменьшающейс€ амплитудой и постепенно увеличивающимс€ периодом (рис.1.17).

—ила в€зкого трени€ о воздух, вызывающа€ затухание, как отмечалось ранее, пропорциональна скорости (при малых скорост€х):

F зат= Ц k вт v, (1.5.9)

где k вт Ц посто€нна€, имеюща€ размерность [ k вт] = Ќ Ј с/м.

¬ случае, когда брусок испытывает трение о воздух, а трением скольжени€ можно пренебречь, уравнение колебани€ груза на пружине (1.5.3) имеет вид

ma = Цkx Ц k вт v (1.5.10)

или в форме дифференциального уравнени€

m ˙ x ˙ + k вт x ˙ + kx = 0. (1.5.11) –ешение этого уравнени€, как показано в теории дифференциальных уравнений, следует искать в следующем виде:

- a t

x = Ae

cos w 0 t, (1.5.12)

где α Ц множитель, имеющий размерность сЦ1, описывает скорость уменьшени€ амплитуды.

–ис.1.17. ѕример затухающего гармонического колебани€

»з формулы (1.5.12) видно: чем сильнее трение, тем быстрее спадает амплитуда колебаний. ѕараметр скорости уменьшени€ амплитуды колебаний составл€ет

a = k вт

2 m

. (1.5.13)

„астота затухающих колебаний по сравнению с частотой собственных колебаний грузика на пружине с ростом силы в€зкого трени€ уменьшаетс€

 

k k 2

w 0=

- вт. (1.5.14)

m 4 m 2

¬ынужденные колебани€. ¬о многих случа€х система не просто колеблетс€ сама по себе, а испытывает еще и действие внешней силы, котора€ также мен€етс€ с определенной частотой. Ќа примере качелей, хорошо видно, что если их подталкивать в такт, то амплитуда колебаний будет расти. ћожно качели заставить колебатьс€ с необходимой нам частотой, если их двигать рукой, не отпуска€. ¬ этом случае качели будут колебатьс€ с частотой вынуждающей силы. ≈сли частота колебаний будет расти по сравнению с собственной частотой колебани€ качелей, то амплитуда и частота будут стремитьс€ к нулю. Ќапример, если стучать по качел€м с большой частотой молотком, пыта€сь их раскачать, то интуитивно €сно, что они просто останов€тс€. —тановитс€ пон€тно, что частота и амплитуда колебаний существенно зависит от частоты внешнего воздействи€.

ѕредполага€, что внешн€€ сила измен€етс€ по гармоническому закону и может быть представлена в виде

F вын= F 0cos ωt, (1.5.15)

учтем ее в уравнении (1.5.10) одновременно с учетом силы трени€. “огда оно приобретает вид

m ˙ x ˙ + k вт x ˙ + kx = F 0 cos wt. (1.5.16)

–ешение уравнени€ (1.5.16) записываетс€ в общем виде:

x = A 0sin(wt + j 0), (1.5.17)

где амплитуда вынужденных колебаний приобретает вид

A 0=

m

F 0.

w
2

0 вт
(w 2 - w 2)2+ k 2

m 2

(1.5.18)

–езонанс. ’орошо известен пример, когда частота вынуждающей силы (строй солдат, идущих в ногу по мосту) и собственных колебаний моста совпали, Ц и это привело к его разрушению. ≈сли частота порывов ветра совпадает с частотой собственных колебаний мачты, башни или крыши строени€, то это может привести к их разрушени€м. “ак, напри-

мер, под действием силы ветра колеблютс€ вершины ќстанкинской телебашни и главного здани€ ћ√”. ѕолностью от этих колебаний избавитьс€ невозможно. ѕри строительстве и подборе материалов можно уменьшить их амплитуду.

¬ современной технике эти факторы тщательно учитываютс€. “олчки автомобил€ о неровности дороги могут совпасть с частотой собственных колебаний какого-либо его узла, привести к поломке. ≈ще пример: пение может заставить дребезжать фужеры и оконные стекла, раскачиватьс€ балкон. »з выражени€ амплитуды (1.5.18) видно: когда частота вынуждающей силы приближаетс€ к собственной частоте колебаний системы, амплитуда резко возрастает. ≈е величина определ€етс€ коэффициентом затухани€ колебаний или величиной коэффициента трени€. Ёто €вление называетс€ резонансом. —обственна€ частота колебаний системы ω 0называетс€ резонансной частотой. Ќа рис.1.18 представлена зависимость амплитуды колебаний от частоты внешней си-

лы, хорошо виден пик при равенстве частот ω 0= ω.

ќсобую роль играет резонанс в радиотехнике. Ќастройка приемника означает приближение его собственной частоты к частоте передающей радиостанции.  огда мы настраиваем приемник на нужную радиостанцию, то замечаем, что при повороте ручки настройки слышимость сначала возрастает, а затем снова уменьшаетс€.

 

–ис. 1.18. –езонанс

 

 

 

ѕри вынужденных незатухающих колебани€х

 

потери

энергии на трение компенсируютс€ за счет внешнего источника. —уществуют системы, которые могут сами регулировать поступление энергии от посто€нного источника, они на-

зываютс€

автоколебательными, а процесс незатухающих

колебаний в таких системах Ц автоколебани€ми.   ним относ€тс€, например, живые организмы и растени€. ¬ них поступление энергии извне регулируетс€ на уровне клеток

—ложные колебани€. Ѕольшинство реальных колебаний

в окружающем нас

мире не

€вл€ютс€

гармоническими.

—ложные

колебани€

Ц колебани€, в состав которых вход€т

два или более неравных по частоте гармонических

колеба-

ни€. “акое сложное колебание раскладывают на р€д простых

гармонических колебаний с частотами,

кратными

частоте

сложного колебани€, притом дл€ каждого конкретного вида колебани€ разложение единственно.

«аконы

разложени€ формулируютс€

теоремой

‘урье:

любое сложное колебание может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний, частоты которых кратны частоте этого колебани€ ω = 2 π/T.

“еорема ‘урье позвол€ет разложить любую функцию с

периодом

, заданную в промежутке от

до в р€д гар-

монических функций с определенными амплитудами и фаза-

ми, частоты которых сумма дает функцию

кратны частоте этого колебани€, а их

:

 

где

,,Е,

, Ц целое число.

 

–ис.1.19. ѕредставление сложного колебани€ в виде спектра

 

 

 

–азложение произвольной

 

периодической функции на

сумму гармонических колебаний называетс€ гармоническим анализом. –езультат гармонического анализа часто представл€ют в виде так называемого спектра сложного колебани€.

ƒл€ этого

на горизонтальной оси откладывают частоты со-

ставл€ющих гармонических колебаний,

а вертикальными

черточками обозначают соответствующие им амплитуды

(рис.1.20).

¬олны

¬иды волн.  амень, брошенный в воду, создает вокруг себ€ концентрические круги, состо€щие из гребней и впадин, которые распростран€ютс€ с некоторой скоростью от точки падени€ камн€ в воду. ¬олновым образом распростран€етс€

свет, звук,

радиоволны. ¬олной считаетс€ и частица6. Ќа-

пример, пучок электронов, проход€ через щель, создает интерференционную или дифракционную картину.

¬олной называют процесс распространени€ колебаний в пространстве с течением времени. »сточником любой волны €вл€етс€ колебание, которое распростран€етс€ от источника

в виде волны. ≈сли

источник

движетс€

синусоидально, со-

верша€ гармонические колебани€ в упругой среде, то волна будет иметь форму синусоиды.

’арактеристики волн: период , частота f, амплитуда а и смещение х определены в начале раздела 1.5. ƒлина и скорость волны определ€ютс€ соответственно соотношени€ми

l = vT,

v = l f.

(1.6.1)

(1.6.2)

≈сли частицы колеблютс€ в том же направлении, в котором распростран€етс€ сама волна, волна называетс€ продоль-

ной. ѕродольна€ волна состоит из чередующихс€

деформа-

ций раст€жени€ и сжати€ среды (рис.1.20, а). ѕродольные волны могут распростран€тьс€ в твердых телах, жидкост€х и газах: во всех этих средах возникает упруга€ реакци€ на сжатие, в результате которой по€в€тс€ бегущие друг за другом

лно
ой дуализм
будет опи
ан позже.
6 ѕодробно корпускул€рно-во в с

сжати€ и разрежени€ среды. ѕримером продольной волны €вл€етс€ звукова€ волна.

–ис.1.20. ѕродольные и поперечные механические волны

¬олны могут распростран€тьс€ на большие рассто€ни€, но частицы среды совершают колебани€ лишь в ограниченной области пространства. ¬ случае, когда эти частицы колеблютс€ вверх и вниз, т.е. в направлении, перпендикул€рном (или поперечном) движению самой волны, волна называетс€ поперечной (рис.1.20, б). ѕоперечными €вл€ютс€ электромагнитные волны.

¬ продольной волне длина волны равна рассто€нию между соседними сжати€ми или разрежени€ми (рис.1.20, а). ¬ поперечной волне Ц рассто€нию между соседними горбами или впадинами (рис.1.20, б).

”равнение волны. Ћюба€ волна, движуща€с€ вдоль оси x в открытом пространстве (такие волны называют бегущими), будет описыватьс€ в простейшем случае гармонической функцией. ≈сли волна движетс€ от начала вдоль положительного направлени€ оси координат, то дл€ ее описани€ справедливо, например, выражение

a = A sin 2 p (x - vt). (1.6.3)

0 l

≈сли волна движетс€ к началу координат, Ц

a = A sin 2 p (x + vt), (1.6.4)

0 l

где a Ц смещение волны в точке x, v Ц скорость волны.

Ёнергетические характеристики волны. ¬олновое движение сопровождаетс€ переносом энергии от источника колебаний в различные точки среды. Ёта энерги€ складываетс€ из кинетической энергии колеблющихс€ частиц и потенциальной энергии деформированных участков среды.

ћгновенное значение полной энергии дл€ разных частиц:

x

E = Eкин+ Eпот= mm2a2= mm2A2sin2 m (t Ч).

r

—реднее значение энергии за период:

 

Eср=

mm2A2

=

q∆Vm2A2

=

qm2A2

∆V = s∆V,

где

≈ rw 2 A 2

e = ср = Ц количество энергии, заключенной

V 2

в единице объема среды, или объемна€ плотность энергии.

Ёнерги€, переносима€ волной через некоторую поверхность в единицу времени, называетс€ потоком энергии через эту поверхность. ѕоток энергии ‘ (1 ¬т = 1 ƒж/с) Ц количество энергии, переносимой волной за единицу времени через некоторую произвольную поверхность, перпендикул€рную направлению распространени€ волны

dE

‘ =. (1.6.5)

dt

ѕлотностью потока энергии, или интенсивностью называетс€ количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикул€рную направлению распространени€ волны. ѕлотность потока энергии или интенсивность I (1 ¬т/м2= 1 ƒж/с Ј м2) Ц средн€€

энерги€, переносима€ волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикул€рную направлению распространени€ волны

I= dEср

. (1.6.6)

dtdS

Ёто выражение можно переписать в виде

I = Ä E ср = Ä t Ä S

Ä E ср v

 

Ä t Ä Sv

= e ср

v. (1.6.7)

¬ случае гармонических колебаний волны справедливо выражение

sср=

qm2Æ2

2, (1.6.8)

где q Ц плотность среды, A Ц амплитуда волны, m Ц циклическа€ частота колебаний частиц среды.

 

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2112 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—амообман может довести до саморазрушени€. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

698 - | 560 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.084 с.