Марковские процессы. При решении задач анализа надежности сложных систем, имеющих множество состояний работоспособности, удобно использовать модель случайного процесса

При решении задач анализа надежности сложных систем, имеющих множество состояний работоспособности, удобно использовать модель случайного процесса, дискретного по состояниям и непрерывного во времени, и определять вероятности нахождения системы в том или ином состоянии [3.4]. В общем случае число таких состояний больше или равно двум (для простой системы).

Обозначим:

S (t) = i – состояние системы в момент времени t равно i (0 ,

n – общее количество возможных состояний системы,

Δ t ,

P_ij (t +Δ t) – условная вероятность перехода системы из состояния S (t) = i в момент времени t в состояние S (t +Δ t) = j (0 в момент времени t +Δ t,

λ _ij – интенсивности перехода системы из состояния S (t) = i в момент времени t в состояние S (t +Δ t) = j (0 в момент времени t +Δ t.

Если вероятности перехода P_ij (t +Δ t) (0 не зависят от поведения системы до момента времени t, то такой процесс называется марковским.

Если вероятности перехода P_ij (t +Δ t) = P_ij (Δ t) = λ _ij Δ t не зависят от t, то такой процесс называется марковским однородным процессом.

Для такого процесса время пребывания системы в состоянии S (t) = i (0 подчиняется экспоненциальному распределению (см. п. 3.3.1).

Предполагается, что интенсивности переходов удовлетворяют условиям:

,

= , (3.24)

где - интенсивность сохранения состояния i (0 .

Вероятности (0 - пребывания системы в i состоянии определяются системой дифференциальных уравнений следующего вида:

- начальные условия, (3.25)

.

Система дифференциальных уравнений (3.25) называется уравнениями Колмагорова [3.4].

Будем использовать модель марковских однородных процессов для определения показателей надежности восстанавливаемых и резервированных систем.