Элементов системы

При использовании уже существующих элементов, задача обеспечения заданных уровней надежности системы может быть решена использованием структурного резервирования.

При решении поставленной задачи примем, что вероятность безотказной работы нерезервированного i -ого элемента за период T_r оценивается по произвольному закону распределения F (x) h _{0 i} = 1 – F (T_r)

Соответственно вероятность отказа i -ого нерезервированного элемента будет равна

q _{0 i} = 1 – h _{0 i}.

При структурном резервировании вероятность отказа i-го элемента , может быть оценена по приблизительному соотношению, соответствующего резервированию с замещением отказавшего элемента («холодный» резерв) [5] , где общее число элементов в резервной группе (кратность резерва).

Производя логарифмирование, получим .

В дальнейшем соотношение представим в виде

Затраты на производство и эксплуатацию i -ого элемента системы будут равны

С_Эi = C _{0 i}m_i, где С_Эi – стоимость i -ой системы.

Полученные результаты позволяют перейти к решению задачи нормирования надежности элементов, то-есть оптимального распределения уровней надежности между отдельными элементами системы, обеспечивающих удовлетворение заданных требований к надежности системы в целом при минимальном расходе средств на реализацию целевой программы. Очевидно, затраты на производство и эксплуатацию системы, состоящей из n элементов, будут равны . Соответственно надежность системы, состоящей из n

последовательно соединенных элементов, будет равна . Для высоконадежных систем вероятность отказа можно оценить по приближенному соотношению , где q_i = 1 – h_i.

Очевидно заданные требования к надежности системы могут быть обеспечены при различных комбинациях значений слагаемых q_i. Среди множества значений q_i целесообразно выбрать такие, которые обеспечивают минимум затрат на реализацию целевой программы. Поставленную задачу будем решать методом Лагранжа.

В рассматриваемом случае функция Лагранжа примет вид

, где l – множитель Лагранжа.

При этом оптимальные уровни q_i, должны удовлетворять условию .

Раскрывая выражение производной, получим ,

Производная от затрат по q_i оценивается по соотношению

, где .

Для нахождения производной воспользуемся приближенной оценкой функционала m!.

Предполагая, что дискретная функция может быть аппроксимирована непрерывной зависимостью, проведем формальное дифференцирование

 

.

Таким образом, окончательно получим

, где .

После подстановки в условие оптимальности найдем .

С учетом выражения для дисциплинирующее условие примет вид

..

Разрешая это соотношение относительно неопределенного множителя Лагранжа, найдем

.

Окончательный результат можно получить методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения можно принять равномерное распределение надежности

.

Знание позволяет найти оценку из соотношения .

Итерационный процесс заканчивается по достижении требуемой точности вычислений.

В случае «горячего» резерва, при проведении расчетов, следует принять.

Отсюда .

При этом кратность резерва рассчитывается по соотношению

, где