Задача определения закона распределения случайной погрешности решается в два этапа:
1) построение гистограммы или кумулятивной кривой распределения случайной погрешности и высказывание гипотезы о виде распределения;
2) Проверка гипотезы о виде распределения с помощью критерия согласия.
Гистограмма и кумулятивная кривая являются дискретными аналогами дифференциальной и интегральной функций распределения, построенными по статистической совокупности из п результатов наблюдений. Результаты наблюдений можно представить на числовой оси в виде точек 
. Разность между наибольшим и наименьшим наблюденным значением отсчетов равна диапазону результатов наблюдения
Этот диапазон можно разбить на L интервалов, длительностью
.
Через границы этих интервалов можно записать формулу для интегральной функции распределения в следующем виде
где 
Если 
- количество наблюденных значений, попавших в k -й интервал, то
.
Эту зависимость можно представить в виде точек на графике 
(рис.2.7). Ломаная линия, соединяющая эти точки, называется кумулятивной кривой.
В пределе, при 
и 
кумулятивная кривая стремится к интегральной функции распределения, сохраняя все ее свойства:
1) 
;
2) 
;
3) 
- возрастающая функция.
Также, как интегральная функция распределения связана с дифференциальной кумулятивная кривая связана с гистограммой:
.
 | |||
|
Эта зависимость представлена на рис. 2.8 и представляет собой совокупность прямоугольников высотой
. Гистограмма сохраняет все свойства дифференциального распределения, к которому стремится при и :
1) 
;
2) площадь под кривой гистограммы равна 1 (условие нормировки)
.
При построении кумулятивных кривых и гистограмм для большей наглядности следует придерживаться следующих правил:
1) интервалы, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать одинаковыми;
2) число интервалов L устанавливается в соответствии с рекомендациями, приведенными в табл.2.3;
Таблица 2.3 - К выбору числа интервалов гистограммы (кумулятивной кривой)
| N | 40-100 | 100-500 | 500-1000 | 1000-10000 |
| L | 7-9 | 8-12 | 10-16 | 12-22 |
3) масштаб гистограммы выбирается таким, чтобы высота гистограммы к ее основанию относились как 5:8.
После построения кумулятивной кривой и гистограммы можно высказать гипотезу о виде распределения.
Правдоподобие гипотез о соответствии распределения результатов наблюдения выбранному закону проверяют с помощью так называемых критериев согласия. Таких критериев существует множество. Рассмотрим некоторые из них, нашедшие наибольшее применение на практике.
Критерий Колмогорова.
В этом критерии в качестве меры расхождения теоретического и экспериментального распределения взято максимальное значение модуля разности D между экспериментальной F*(X) и теоретической F(X) интегральными функциями распределения
.
Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины x, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n, вероятность неравенства
стремится к пределу
.
Зависимость 
изображена на рис.2.9 и в таблице А2.
Схема применения критерия Колмогорова заключается в следующем:
1) строится экспериментальная функция распределения F*(X) и предполагаемая F(X) теоретическая и определяется максимум D модуля разности между ними;
2) определяется величина 
;
3) по таблице А2 находится вероятность 
того, что максимальное отклонение между F*(X) и F(X) не будет превышать D. Если 
мала, гипотезу отвергают.
Критерий Колмогорова очень прост и поэтому его охотно применяют на практике. Следует, однако, оговорить, что этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение F(X) полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известен не только вид функции F(X), но и входящие в нее параметры. Обычно на практике известен только общий вид функции F(X), а входящие в нее параметры определяются по данному статистическому материалу. В этом случае (при малом n) критерий Колмогорова дает завышенные значения вероятности , поэтому в иногда можно принять как правдоподобную гипотезу, в действительности плохо согласующуюся с опытными данными.
Критерий Пирсона (c2).
В качестве меры расхождения экспериментальных данных с теоретическим дифференциальным законом распределения вероятностей в критерии Пирсона принимается величина
,
где 
- число результатов наблюдений, попавщих на j- й интервал гистограммы;
- действительное число результатов наблюдений, которые попали бы на j -й интервал, при полном соответствии эмпирического закона распределения гипотетическому.
Значение 
рассчитывается по формуле
,
где 
- значение гипотетической функции распределения в точке, соответствующей средине j -го интервала гистограммы;
n – общее число наблюдений;
- ширина интервала гистограммы.
Величина 
распределена по закону Пирсона (рис.2.10). Распределение зависит от параметра k, называемого числом “степеней свободы”.
Число степеней свободы равно числу интервалов гистограммы L минус число независимых условий, наложенных на эмпирическое распределение. Для симметричных законов распределения такими условиями являются:
1) условие нормировки 
;
2) требование равенства математического ожидания гипотетического распределения среднему арифметическому экспериментального распределения 
;
3) требование равенства дисперсии гипотетического распределения оценке дисперсии экспериментального распределения
.
Поэтому k=L-3. Для распределения Пирсона составлены соответствующие таблицы (см. таблицу А3). Пользуясь этими таблицами можно найти для каждого c 2 и числа степеней свободы вероятность P0 того, что величина, распределенная по закону c 2 превзойдет это значение.
На практике вероятностью Р0 задаются и по таблицам определяют величину 
. Если 
, то гипотеза о виде закона распределения подтверждается, если 
, то отклоняется.
При проверке закона распределения по критерию Пирсона хорошие результаты получаются только если п > 40…50. Для n лежащем в диапазоне от 10…15 до 40...50 применяется так называемый составной критерий.
