Гамма-распределение

Гамма-распределение является двух параметрическим распределением, и зависит от – параметра масштаба закона распределения и – параметра формы закона распределения. Плотность вероятности отказа системы и определяются по формуле:

, (1.19)

где – гамма-функция;

Гамма-функция обладает следующими свойствами:

- интеграл имеет конечную величину при ;

- ;

- , при ;

- , ; ; .

Значения гамма-функции табулированы, а основные ее свойства изложены в [4].

При интенсивность отказов монотонно убывает (что соответствует периоду приработки системы и ее элементов), при – возрастает (что характерно для периода изнашивания и старения элементов). При
-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, а при
-распределение приближается к нормальному закону. Если принимает значения произвольных целых положительных чисел, то такое -распределение называют распределением Эрланга. Если , а значение кратно , то
-распределение совпадает с распределением хи-квадрат. При увеличении
-распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени (рис. 1.12).

а)

б)

в)

Рисунок 1.12 – Типичные зависимости характеристик надежности

для -распределения

Гамма-распределение занимает важное место в теории надежности при описании систем с ненагруженным резервированием, состоящих из одинаковых элементов с экспоненциальными законами распределения. Если отказ системы возникает тогда, когда произойдет не менее отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметрами , плотность вероятности отказа системы и определяются по формуле:

Гамма-распределение широко применяется при описании появления отказов стареющих элементов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем.

Вероятность и более отказов, т.е. вероятность отказа данной системы

.

Среднее время наработки до отказа

. (1.20)

Интенсивность отказов системы

. (1.21)

Вероятность безотказной работы системы

. (1.22)