Теоретическая часть. Пластинкой называют тело, имеющее форму прямой призмы, высота которого /г значительно меньше размеров основания а и ь

 

Пластинкой называют тело, имеющее форму прямой призмы, высота которого /г значительно меньше размеров основания а и Ь, рис. 1, 2, 3.

 

рис.2 рис.3

Плоскость, которая делит высоту пластинки пополам, называется сре­динной плоскостью. Теория изгиба пластин начинает свое развитие с работ Софи Жермен и Лагранжа.

Техническая теория тонких пластинок построена с использованием следующих гипотез [1,2]:

1. Гипотеза прямых, нормалей: любой прямолинейный элемент, нор­мальный к срединной плоскости, остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформирования пластинки, и длина его не изменяется, то есть γ_xz = 0, γ_yz = 0, ε_z= 0.

2. Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: в срединной плоскости отсутствуют деформации растяжения, сжатия и сдвига, то есть она является нейтральной и ее перемещения U₀= О, V₀= 0 при z = 0.

3. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, па­раллельными срединной плоскости: слои волокон, параллельные средин­ной плоскости, не давят друг на друга, то есть σ_z= 0.

Пластинки различают жесткие (сравнительно толстые), тонкие и мем­браны (очень тонкие). Рассмотрим теорию расчета тонких упругих пласти­нок, для которых справедливы следующие соотношения: 1. Уравнение равновесия [1,2]:

(1)

где М_x(х,у), М_у(х,у), Н(х,у)- изгибающие и крутящий моменты.

2. Геометрические соотношения (соотношения Коши) [1,2]:

(2)

где z - координата по толщине пластинки; w -прогиб пластинки, постоян­ный по ее толщине; ε_х, ε_у, γ_xy- деформации в произвольной точке пла­стинки; χ_x, χ_y -деформации в срединной плоскости пластинки; χ- дефор­мация кручения срединной плоскости пластинки.

3. Физические соотношения (закон Гука) [1,2]:

(3)

Интенсивности внутренних силовых факторов (изгибающих и крутя­щего моментов М_x (х,у), М_y(х,у), Н(х,у)) являются погонными величи­нами, отнесенными к единице длины сечения пластинки, измеряются в (НМ/М) и подсчитываются по формулам [1,2]:

(4)

При подстановке в (4) выражений (3) формулы для погонных момен­тов М_х (x, у), M_y(х,у), Н(х,у) принимают вид [1, 2]:

(5)

где D = Еh³ /[12(1-v²)] -цилиндрическая жесткость изгиба пластинки.

Подстановкой выражений (5) в (1) получаем уравнение равновесия элемента пластинки (уравнение Софи Жермен) [1, 2]:

(6)

Уравнение (6) является неоднородным дифференциальным уравнени­ем четвертого порядка в частных производных. В связи с этим для реше­ния конкретной задачи по каждому направлению в пластинке необходимо задать четыре граничных условия: два на одном и два на другом крае. Рас­смотрим варианты задания граничных условий.

Защемленный край. Если край пластины x= 0 защемлен, то прогиб в точках этого края равен нулю, и заделанное сечение пластины не повора­чивается (плоскость, касательная к изогнутой срединной поверхности, совпадает со срединной плоскостью пластинки до изгиба) [1,2]:

(7)

Условия типа (7) называются геометрическими.

Шарнирно-опертый край. Если край пластины х = 0 шарнирно оперт и может свободно поворачиваться, то прогиб и изгибающий момент на этом крае должны быть равны нулю [1,2]:

(8)

В данном случае шарнирные опоры предполагаются жесткими (w= 0) и линия x= 0 остается неизогнутой. Поэтому обращаются в ноль производные:

Тогда граничные условия для шарнирно опертого края будут:

(9)

Условия типа (8) называются смешанными (статически геометрическими).

Свободный край. Если край x= 0 свободен от опорных закреплений, то для него обращаются в ноль изгибающие моменты М_х и приведенные поперечные силы Q^*_x (статические граничные условия) [1,2]:

(10)

Переходим к изложению методики решения задач изгиба пластинок, основанной на использовании метода конечных разностей (МКР).

Суть метода конечных разностей состоит в замене разрешающего дифференциального уравнения для пластинок (6) и граничных условий, выраженных через функцию прогиба w и ее производные, конечно-разностными алгебраическими уравнениями. В результате задача сразу сводится к решению систем алгебраических уравнений с неизвестными значениями функции прогиба w в отдельных точках пластинки. Для дву­мерной области при использовании метода конечных разностей (МКР) вводится ортогональная сетка линий с шагами h₁ по x и h₂ по у (рис. 4).

Именно поэтому МКР называют иногда методом сеток. Очевидно, что при уменьшении величин шагов h₁ и h₂ возрастает число искомых величин функции прогиба в узлах сетки i_k, j_k (рис. 4) и, соответственно, точность получаемого по МКР решения. При этом, однако, повышается порядок решаемой системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), поэтому необходим рациональный выбор шага сетки.

Рис.4

Главным в МКР является представление производных функции w(х,у) конечно-разностными соотношениями (аналогами). Для рассмотрения это­го вопроса рассечем плоскость ХОУ (рис. 4) вертикальной плоскостью, па­раллельной плоскости ХОZ. и проходящей через центральную точку I, j сетки (рис. 4). Если теперь записать конечно-разностное соотношение для производной простейшим образом, то получим формулы:

(11)

Первая из формул (11) является разностью «вперед», вторая - разно­стью «назад», а величина О(h₁) указывает, что при использовании, например, формулы допускается существенная погрешность порядка величины шага сетки h₁.

Очевидно, что для получения удовлетворительного по точности ре­шения придется использовать весьма мелкую сетку, что неизбежно пове­дет к значительным трудностям при реализации алгоритма на ПЭВМ.

Именно поэтому более предпочтительна аппроксимация производной в виде «центральной» разности, когда [7]:

(12)

Величина погрешности аппроксимации составляет теперь уже О(h₁²) - величину порядка квадрата шага сетки. Это позволяет решать задачи расчета пластинок на тех сетках, когда время счета на ПЭВМ является приемлемым, а точность решения - достаточно высокой, что и продемонстрировано далее.

Используем в дальнейшем лишь «центральные» разности и приводим сводку формул для конечно-разностных аналогов производных от функции w(x,y) с погрешностью О(h₁²), О(h₂²), О(h₁h₂) [3, 7]:

(11)

Графическое изображение первых четырех производных от w(x,y) по x приведено в первой строке (13).

С использованием формул (13) дифференциальный оператор уравне­ния Софи Жермен заменяется конечно-разностными соотношениями в уз­лах сетки x_k, y_i. Таким же образом заменяются и дифференциальные опе­раторы, входящие в граничные условия для пластинок.

Заметим, что вид граничных условий определяет вид системы уравне­ний МКР, поэтому данный вопрос необходимо рассмотреть весьма под­робно. На рис. 5 приведены известные варианты граничных условий для кромки x= а пластинки: шарнирное опирание (рис. 5 а), защемление, (рис. 5 б), свободный край (рис. 5 в).

 

а) б) в)

Рис. 5.

Точки на линии x=а относятся к контуру пластинки (контурные точ­ки), точки на линии x=a+h₁ - первый ряд (предконтурный) внутриконтурных точек. Точки на линии x=a+h₁ - первый законтурный ряд точек. На рис. 5 показаны также вторые (внутриконтурный и законтурный) ряды точек.

Необходимость рассмотрения законтурных точек определяется непо­средственно дифференциальным уравнением (6), записанным в централь­ных разностях (13). Действительно, если, например, записать дифференци­альный оператор по (13) в точках с x=a-h₁, рис. 5 а - шарнирныйкрай, рис. 5 б - заделанный край, то в формулу войдут значения прогиба в узлах x=a+h₁ (законтурный узел), x= а (узел контура) и т.д. При записи данного оператора для точки с х = а (контур) (рис. 5 в), в формулу войдут уже значения прогиба в узлах x=a+2h_1, x=a+h₁ (законтурные узлы).

Заметим, что при шарнирном закреплении или жестком защемлении контура для точек на нем w_i,j=0, поэтому конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения (6) записываются лишь для точек внутри контура. Если же сторона контура свободна от закреплений, то на нем w_i,j ≠0 и необходима запись конечно-разностного аналога уравнения Софии Жермен для точек данной стороны контура.

Рассмотрим также вопрос о законтурных значениях функций для всех условий на контуре.

Шарнирно-опертый край

Для точек на контуре имеем:

(14)

(рис. 5 а), также в ноль на контуре обращаются изгибающие моменты:

(15)

Конечно-разностный аналог (15) имеет вид:

(16)

Так как точки (i; j); (i; j+1); (i; j-1) принадлежат контуру, то для них w=0, тогда получаем из (16) равенство:

(17)

Окончательно имеем для шарнирно-опертого края равенство нулю прогибов на контуре и обратную симметрию (17) для прогибов точек за контуром и внутри него. Для вычисления поперечных сил в точках контура нужны величины прогибов в точках второго законтурного ряда - для шарнирно-опертого края будем иметь формулу

Защемленный край

Для точек на контуре в этом случае также имеем равенство (рис. 5 б). Равняются нулю и углы наклона касательной к поверхности пла­стинки по линии, перпендикулярной заделанному краю: И формул (13) при этом непосредственно получаем:

(18)

Таким образом, при защемлении края пластинки прогибы всех кон­турных точек равны нулю, а для прогибов точек за контуром и внутри него реализуется прямая симметрия. В частности, имеем равенство для точек второго законтурного ряда.

Важно, что при этом использование формулы:

автоматически дает в контурном узле нулевое значение для поперечной силы в балке, вырезанной из пластинки.

Для устранения данного явного несоответствия с физическим смыс­лом задачи (на самом деле поперечная сила равна по модулю величине опорной реакции) рекомендуется использование формулы:

(19)

Заметим, что данное представление производной устраняет все несоответствия, практически не снижая точности вычислений.

Свободный край

При данных граничных условиях (рис. 5 в) на контуре обращаются в ноль: 1) изгибающий момент в плоскости, перпендикулярной краю пла­стинки; 2) приведенная поперечная сила. Записываем конечно-разностные аналоги данных условий для края х = а (рис. 5 в):

(20)

После элементарных преобразований из (20) получаются формулы для законтурных значений w:

(21)

Таким образом, и при свободном крае законтурные значения функций выражаются через внутриконтурные значения (и значения на контуре).

Однако для расчета пластинок МКР необходим учет не только закон­турных значений функции прогиба, но и ее значений за углами пластинки, о которых пока ничего не сказано. Рассмотрим все возможные варианты закрепления углов пластинки.

Угол без свободных от закреплений сторон

Возможны три варианта таких углов, а именно комбинации с шарнир­ным опиранием двух сторон, их защемлением и, наконец, комбинация «шарнирно-опертая сторона» - «защемленная сторона».

рис.6

 

Все три возможные комбинации изображены на рис. 6 а, б, в.

Во всех случаях конечно-разностные аналоги уравнения (6) записы­ваются для узлов, помеченных на рис. 6 темными кружочками. При этом в уравнения входят как помеченные светлыми кружочками контурные зна­чения функций (w = 0 в заделке или на шарнирно-опертом крае), так и за­контурные величины, помеченные звездочками. Все они определяются по методике, изложенной выше.

Однако при решении задачи необходимы и величины в узлах, поме­ченных на рис. 6 квадратиками - они входят в формулы для изгибающих М_х, М_у и крутящего Н моментов для угловых точек.

Считаем, что опоры как бы продолжаются до точек «в» и «г» (рис. 6) и получаем w_В =0, w_Г=0.

С учетом свойств шарнирных опор для случая (рис. 6 а) имеем:

w_Б=-w₂=w₁=-w₃. (22)

С учетом свойств заделанных кромок для случая (рис. 6 6) имеем:

w_Б=w₂=w₁=w₃. (23)

С учетом свойств закрепленных сторон для случая (рис. 6 в) имеем:

w_Б=-w₂=-w₁=-w₃. (24)

Данные формулы позволяют вычислить изгибающие и крутящий мо­менты во всех узлах пластинки.

Угол с присутствием свободных от закреплений сторон

Возможны три варианта таких углов, приведенные на рис. 7.

Конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения равнове­сия элемента пластинки (6) записываются для узлов, помеченных на рис. 7 темными кружочками. Законтурные значения, помеченные на рис. 7 звездочками, входят в данные уравнения и могут быть найдены из гранич­ных условий на сторонах контура. Решаем вопрос о значениях функций в узлах, помеченных квадратиками (число данных узлов равно пяти).

рис.7

Для случая с двумя свободными сторонами (рис. 7 а) можно записать пять граничных условий:

1)М_xD=0; 2) М_уD=0; 3) H_D=0; 4) Q^*_xD=0; 5) Q^*_yD=0. При совместном рассмотрении условий 1 и 2 получаем следую­щие уравнения:

w_Г-2w_Д+w_Е=0, w_F-2w_Д+w_B=0. (25)

Условие 3 соответствует отсутствию сосредоточенной реакции в уг­ловой точке и дает уравнение

w₁-w₂+w_Б-w₃=0. (26)

Условия 4 и 5 нужны для вычисления значений w₄ и w₅, входящих в конечно-разностный аналог уравнения (6) для точки «Д» и в формулы для Q_xD, Q_yD, Q^*_xD, Q^*_yD. Использование данных условий дает уравнения:

(27)

позволяющие выразить w₄ и w₅ через значения прогиба в других точках.

Для случая, показанного на рис.7 б (свободная сторона — защемленная сторона), можно записать пять граничных условий: 1) 2) 3) 4) 5)

На основании свойств прямой симметрии для защемленной стороны;ластинки (18) можно записать равенства:

w_Г=w_E, w₄=w_K, w_Б=w₂. (28)

Условие 3 дает равенство:

w_В=w_F=0 (29)

Условие 5 дает уравнение:

(30)

позволяющее выразить w₅ через значения прогиба в других точках.

Отметим, что при такой записи условий в узле подсчитываются величины w_Г=w_E≠0, что приводит к нарушению условия 4 при записи его в центральных конечных разностях. Однако при этом результаты расчетов МКР согласуются с данными по другим методам расчета пластинок и полностью соответствуют физическому смыслу задачи.

Если же принять [3] w_Г=w_E=0 для удовлетворения условия 4 (при записи его в центральных конечных разностях), то прогиб в узле на свободной от закреплений стороне контура w_E=0, что явно противоречит фи­зическому смыслу решаемой задачи, и результаты расчетов МКР качественно отличаются от известных данных других авторов [4].

Для случая, показанного на рис. 7 в (угол, образованный шарнирно-опертой стороной и свободной стороной) можно записать пять граничных условий:

1) 2) 3) 4) 5)

На основании свойств обратной симметрии при шарнирном опирании 1 7) можно записать равенства:

w_Г=-w_E, w₄=-w_K, w_Б=-w₂. (31)

Условие 2 дает равенство:

w_В=w_F=0 (29)

Условие 5 дает уравнение, совпадающее с уравнением (30), из которого с учетом (31) и (32) следует:

w₅=0. (33)

Таким образом, все возможные варианты закрепления сторон и углов пластин рассмотрены, что позволяет рассмотреть примеры расчетов МКР.