Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Примеры расчета пластинок методом конечных разностей




 

Для расчета МКР конкретной пластинки необходимо задать:

1) схему закрепления пластинки на контуре;

2) схему нагружения пластинки;

3) соотношение сторон пластинки а / b;

4) величину коэффициента Пуассона материала пластинки v;

5) число N равномерного деления стороны контура прямоугольной пла­стинки конечно-разностной сеткой.

Если расчет пластинки производится в размерном виде, то дополни­тельно необходимо указать:

6) величину габарита пластинки по оси ОХ «а» (м);

7) величину модуля упругости материала пластинки Е (Па);

8) толщину пластинки h (м).

В дальнейшем будем указывать размер для сетки линий в области S, занимаемой пластинкой, в виде N × N, имея в виду весь план объекта. При этом шаг сетки будет равен а / N по оси х и b /N по оси у, где ах Ъ — раз­меры пластинки в плане (рис. 8).

рис.2

Рассмотрим пластинку, изображенную на рис. 8 а, имеющую квадрат­ный план 2×2 (м), шарнирно-опертую по контуру, находящуюся под дей­ствием равномерно распределенной нагрузки q= const при значении коэф­фициента Пуассона материала v=0,3.

Конечно-разностный аналог дифференциального уравнения равнове­сия элемента пластинки Софи Жермен имеет вид:

(34)

Конечно-разностные аналоги граничных условий на сторонах пла­стинки будут:

(35)

Конечно-разностные аналоги условий в углах пластинки будут:

(36)

При составлении приведенной в приложении к указаниям программы расчета пластинки МКР нумерация конечно-элементных узлов была сле­дующей. Первым узлом являлся левый верхний узел сетки во вторых за­контурных рядах по x и по y с координатами x=-2*h1, y=-2*h2. Так как значение прогиба «•, в данном узле не входит в формулы, то записываем:

.

Для второго законтурного узла с координатами x=-2*h1, y=-h2 зна­чение прогиба , также не входит в формулы, поэтому записываем:

.

Узлы с номерами i= 3,4,...,(im-2) расположены во втором законтурном ряду напротив узлов на стороне пластинки х = 0 и по правилу обратной симметрии для шарнирно-опертого края уравнения для них будут:

, , ,

где МАХ=8, 16, 32, 64 - указатель числа N равномерного деления стороны контура прямоугольной пластинки конечно-разностной сеткой.

Далее записываем для узлов i= iт-1, iт уравнения после че­го записаны все уравнения для второго левого законтурного ряда узлов.

Для узлов первого законтурного ряда с номерами i= im + 1,..., 2*im с учетом шарнирного опирания сторон пластинки записываются уравнения:

Для узлов ряда х = 0 с номерами i= 2iт +1,..., 3iт записываем урав­нения:

- прогибы на шарнирно-опертой стороне

Наконец, для узлов четвертого слева вертикального ряда х = h, с но­мерами i= Зim +1,..., 4im записываем уравнения:

Такие же уравнения составляются для вертикальных рядов х = 2h1, 3h1,...,а – h1, например, при значении МАХ=8 вертикальных рядов с записью в центральных узлах уравнения (34) будет всего семь.

Далее в порядке, обратном порядку для вертикальных рядов слева, за­писываются уравнения для рядов с номерами iт - 2,iт - 1, iт, что в итоге дает систему IM *IM разрешающих конечно-разностных уравнений.

Отметим, что при изменении порядка следования конечно-разностных уравнений на главной диагонали матрицы А системы линейных алгебраических уравнений МКР может появиться коэффициент, равный нулю, что автоматически сделает систему неразрешимой.

Отметим также, что подготовка исходных данных для приведенной в приложении к указаниям универсальной программы расчета пластинки МКР состоит в задании следующих входных параметров:

1) NXNА - указатель опирания пластинки по стороне х = 0: NXNА = 1 (шарнирное опирание в рассматриваемом примере с рис. 8 а);

2) NXКО - указатель опирания пластинки по стороне х = а: NXКО = 1 (шарнирное опирание в рассматриваемом примере с рис. 8 а);

3) NYNА - указатель опирания пластинки по стороне у = 0: NYNА=1 (шарнирное опирание в рассматриваемом примере с рис. 8 а);

4) НYКО - указатель опирания пластинки по стороне у = b: НYКО=1 (шарнирное опирание в рассматриваемом примере с рис. 8 а);

5) RAZMER - габарит пластинки по оси x (м) (RAZMER = 2);

6) АВ = а/b - отношение сторон пластинки в плане (АВ = 1);

7) qYKA - указатель типа распределения поперечной нагрузки (для рас­сматриваемой равномерно распределенной нагрузки qYКА = 1);

8) РYАS - величину коэффициента Пуассона материала пластинки -вводим РYАS = 0,3;

9) МАХ- указатель числа ТУ для равномерного деления стороны конту­ра прямоугольной пластинки конечно-разностной сеткой: последовательно вводим МАХ = 8, 16, 32, 64.

При решении задачи в безразмерном виде программа задает величину интенсивности поперечной нагрузки Q = 1.

В табл. 1 приведены результаты расчета МКР пластинки (рис. 8 а). Прогибы iv (табл.1 и в дальнейшем) приводятся с точностью до множите­ля qa4/D, моменты - с точностью до множителя qa2, где q - величина поперечной нагрузки. Величина Р соответствует решению обратной задачи о нахождении величины интенсивности нагрузки q i,j, исходя из полученных значений прогибов в узлах сетки , которые для этого подставля­ются в левую часть уравнения (34). За точное в табл. 1 принято решение в двойных тригонометрических рядах:

(37)

в приближении N = 111, которое не уточняется приближениями с N > 111 по всем значащим цифрам.

Установлено, что невязки по нагрузке в узлах сетки в МКР отсутст­вуют, и уже на сетке 8×8 отличие от точного решения по наибольшим про­гибам составляет менее 0,2%, а по наибольшим изгибающим моментам 1,2%, что соответствует высокой точности решения.

Решение же на сетке 32×32, когда в н» получается четыре, а в Мh три верные цифры, что соответствует весьма высокой точности решения зада­чи, занимает весьма незначительное время ПЭВМ, что свидетельствует о высокой экономичности МКР.

Таблица 1

 

В табл. 2 приведены результаты для аналогичной пластинки, защем­ленной на контуре (рис. 8 б). В качестве эталонного взято решение по ме­тоду Бубнова-Галеркина в приближении с 64 членами ряда разложения функции прогиба в виде ортонормированных полиномов, методика по­строения которых изложена в [5].

Таблица 2

 

Ввиду того, что при защемлении краев пластинки кривизны ее изо­гнутой срединной поверхности двузначны, сходимость решения по МКР замедляется по сравнению со случаем шарнирного закрепления сторон. Однако уже при сетке 16×16 прогиб в центре отличается от «эталонного» решения лишь на 3,3%, изгибающий момент в центре - на 0,6% и на кон­туре - на 2,0%, что соответствует хорошей точности решения задачи. Точ­ность решения задачи МКР на сетке 32×32 существенно выше, а затраты времени ПЭВМ весьма малы.

Заметим, что в обоих примерах шаг сетки каждый раз уменьшался в 2 раза, что определяется известным принципом Рунге исследования сходи­мости приближенных решений [7].

Этот же принцип положен в основу исследования сходимости реше­ния МКР для равномерно нагруженной пластинки с размерами 1×1 (м) со свободной стороной при у = 0, защемленной стороной при у = Ь, шарнирно-опертыми сторонами при х = 0 и при х = а, приведенной на рис.8 в.

В табл. 3 даны результаты расчетов по МКР, сопоставляемые с из­вестным решением [4].

 

Таблица 3

 

Результаты табл. 3 свидетельствуют об устойчивой и достаточно бы­строй сходимости решения по МКР, причем для сетки 32×32 отличие ре­зультатов от данных [4] составляет: по наибольшему прогибу 2,9%, по ве­личине Mx(a/2,b) 2,3% и по наибольшему изгибающему моменту My(a/2,0) 1,6%, что свидетельствует о высокой точности решения МКР при использовании сетки 32×32.

Заметим, что решение на сетке 8×8 (табл. 3) имеет посредственную точность. Например, по величине W(а/2,b) имеем погрешность в 9,54%, по Мх(а/2,b) 9,85%, по My(a/2,0) 10,33%. Однако уже данное при­ближение МКР качественно верно описывает изменение всех параметров напряженно-деформированного состояния пластинки по всему ее полю.

Рис.9

Отметим также, что решение МКР на сетке 64×64 несущественно уточняет результаты при сетке МКР 32×32, но требует для своей реализа­ции неизмеримо больше времени счета ПЭВМ.

На рис. 9 приведены эпюры прогиба w изгибающих моментов Мxу и поперечных сил Qx, Qy в сечениях х = а/2, у = b/2 данной пла­стинки, полученные МКР на сетке 32×32.

Если рассматривать пример локального нагружения пластинки, то следует ожидать уменьшения скорости сходимости МКР, так как это при­суще всем без исключения методам расчета. В табл. 4 приведены резуль­таты для защемленной на контуре пластинки, нагруженной по 25% ее пло­щади в центральной части, причем а = b = 2(м), v = 0,3 (рис. 8 г). Резуль­таты по МКР сравниваются с решением по методу Бубнова-Галеркина в приближении с 64 варьируемыми параметрами в ряде разложения функции прогиба по ортонормированным полиномам [5].

Таблица 4

Отметим, что и для данного случая решение по МКР на сетке 32×32 дает значения параметров напряженно-деформированного состояния пла­стинки, весьма близкие к решению по методу Бубнова-Галеркина - расхо­ждение по величине Му(а/2,0) составляет лишь 0,48%.

При использовании вариационных методов расчета затруднения воз­никают при наличии у пластинки смежных свободных от закреплений сто­рон. Проводим с использованием МКР расчет пластинки, приведенной на рис. 8 д, имеющей свободные стороны при х = а и у = Ь.

В табл. 5 приведены результаты расчета МКР пластинки с размерами 1×1 (м), находящейся под действием равномерно распределенной нагруз­ки q=const=1, коэффициент Пуассона материала пластинки v = 0,3.

В табл. б приведены данные для аналогичной пластинки при наличии в ее правом нижнем углу точечной шарнирной опоры (рис. 8 д). Заметим, что при этом конечно-разностный аналог (34) уравнения равновесия для узла х =а, у =b:i= iпрае, j = jнижн заменялся уравнением wiправ.,jнижн.=0.

 

Таблица 5

 

Примечание. Свободный угол пластинки х = а, у = b.

Таблица 6

Примечание. Точечная шарнирная опора в углу пластинки х = а, у = b.

 

Результаты табл. 5, 6 свидетельствуют об устойчивой и достаточно быстрой сходимости решения по МКР, причем результаты для сетки 32×32 весьма близки к данным на сетке 64×64.

Отметим по результатам табл. 5, что величина изгибающего момента My(a/2,b/2) для данной задачи является малой по сравнению с величи­ной Mx(a/2,b/2), поэтому можно удовлетвориться констатацией факта мо­нотонности изменения Му(а/2,b/2) с уменьшением шага сетки.

Кстати, из данных табл. 6 следует, что при введении точечной шар­нирной опоры в угол пластинки х = а, у = b распределение параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) пластинки по ее полю претерпевает качественное изменение. Например, Му (а /2, b/2) перестает быть малой величиной по сравнению с Мx(а/2,b/2). Кроме того, сходи­мость МКР по величине Му(а/2,b/2) является очень быстрой – данные приближения с сеткой 8×8 отличаются от данных при сетке 32×32 всего лишь на 1,1%.

Сопоставление данных табл. 5 и 6 свидетельствует, что при введении упомянутой опоры прогибы в характерных точках пластины резко умень­шаются: величина W(а/2,b) убывает в 3,92 раза, величина W(а,b/2) - в 4,32 раза, величина W (а / 2,b / 2) - в 2,61 раза.

Также убывает в 1,82 раза величина My(a/2,0), а вот значения изги­бающих моментов в центре пластинки возрастают за счет увеличения кри­визны изогнутой срединной поверхности, например, величина Mx(a/2,b/2) становится больше в 1,91 раза. Однако наибольший по абсолютной вели­чине момент 'М^ уменьшается в 2,77 раза, то есть введение точечной шарнирной опоры в угол пластинки х = а, у = b существенно уменьшает как прогибы, так и наибольший изгибающий момент в пластинке.

Заметим, что введение точечных шарнирных опор возможно в любых узлах конечно-разностной сетки МКР, что дает возможность вариантного проектирования пластинок. В табл. 7 приведены данные расчетов для пла­стинки с размерами а = b= 21 (м) для случая наличия точечных шарнир­ных опор в углах пластинки и свободных от закреплений сторон контура.

Таблица 7

Результаты табл. 7 свидетельствуют об устойчивой и достаточно бы­строй сходимости решения по МКР, причем результаты для сетки 32×32 весьма близки к данным на сетке 64×64. Отметим, что по результатам вы­числений МКР на ПЭВМ на дисплей для заданных сечений пластинки вы­водятся величины параметров НДС пластинок, а именно W, Mx, My, H, Qx, Qy, что дает возможность построить эпюры данных функций.

Рассмотрим в заключение расчет МКР в размерном виде прямоуголь­ной в плане пластинки, защемленной на стороне контура х = 0 и имеющей три свободные стороны контура соответственно при х = а, у = 0, у = b (рис. 8 е).

Поперечная нагрузка q состоит суммы постоянной по поверхности на­грузки q1=0.4*104 (Па) и нагрузки q2 =0.8*104 (Па), действующей на верхнюю правую четверть пластинки (рис. 8 е). Задаем величины входных параметров задачи: а = 3(м), а/b = 0,75, v= 0,15, Е = 2,1*1010 (Па), h=0,2 (м).

В табл. 8 приведены данные исследования сходимости решений МКР для обсуждаемой пластинки.

Таблица 8

Анализ данных табл. 8 свидетельствуют об устойчивой и достаточно быстрой сходимости решения по МКР. Кроме того, установлено, что вели­чина момента Mx(0,b) при сгущении сетки прогрессивно убывает, величи­на Mx(0,b/2) = Mmax возрастает, а отношение Mmax/ Mx(0,b) составляет 2,91. Отношение моментов Мх(0,0)/Мx(0,b)=25,032/10,875=2,30, а соотноше­ние прогибов пластинки в крайних верхней и нижней точке при значении х = 3(м) составляет 1,306.

Если же провести расчет балок с габаритами h = b= 0,2 (м), выре­занных из данной пластинки соответственно при у = 0,1 (м) и у = 3,9 (м), то величины характерных изгибающих моментов будут: Мх(0,0) =-45 (кнм/м), Mx(0,b) =-18 (кнм/м), то есть увеличение по сравнению с моментами в пластинке происходит соответственно в 1,8 и 1,66 раза.

Кроме того, прогибы в данных балках соответственно в 39,18/5,811=6,74 и 14,47/4,4497=3,25 раза превышают прогибы в пластин­ке, а соотношение прогибов на концах балок равно 0,03918/0,01447=2,708, что в 2,07 раза превышает данное соотношение для пластинки.

Все отмеченные выше факты подтверждают настоятельную необхо­димость расчета пластинок, а не вырезанных из них балок - лишь данный подход позволяет учесть особенности работы пластинок при сопоставимых габаритах а и b и добиться существенной экономии материала.

Подчеркнем в заключение, что рассмотрение всех приведенных при­меров расчета пластинок приводит к однозначному выводу о хорошей схо­димости МКР для пластинок на прямоугольном плане при любых условиях закрепления и нагружения.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-01-29; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1785 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Ваше время ограничено, не тратьте его, живя чужой жизнью © Стив Джобс
==> читать все изречения...

2212 - | 2158 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.