Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕримеры расчета пластинок методом конечных разностей




 

ƒл€ расчета ћ – конкретной пластинки необходимо задать:

1) схему закреплени€ пластинки на контуре;

2) схему нагружени€ пластинки;

3) соотношение сторон пластинки а / b;

4) величину коэффициента ѕуассона материала пластинки v;

5) число N равномерного делени€ стороны контура пр€моугольной пла≠стинки конечно-разностной сеткой.

≈сли расчет пластинки производитс€ в размерном виде, то дополни≠тельно необходимо указать:

6) величину габарита пластинки по оси ќ’ Ђаї (м);

7) величину модул€ упругости материала пластинки ≈ (ѕа);

8) толщину пластинки h (м).

¬ дальнейшем будем указывать размер дл€ сетки линий в области S, занимаемой пластинкой, в виде N × N, име€ в виду весь план объекта. ѕри этом шаг сетки будет равен а / N по оси х и b /N по оси у, где ах Џ Ч раз≠меры пластинки в плане (рис. 8).

рис.2

–ассмотрим пластинку, изображенную на рис. 8 а, имеющую квадрат≠ный план 2×2 (м), шарнирно-опертую по контуру, наход€щуюс€ под дей≠ствием равномерно распределенной нагрузки q= const при значении коэф≠фициента ѕуассона материала v=0,3.

 онечно-разностный аналог дифференциального уравнени€ равнове≠си€ элемента пластинки —офи ∆ермен имеет вид:

(34)

 онечно-разностные аналоги граничных условий на сторонах пла≠стинки будут:

(35)

 онечно-разностные аналоги условий в углах пластинки будут:

(36)

ѕри составлении приведенной в приложении к указани€м программы расчета пластинки ћ – нумераци€ конечно-элементных узлов была сле≠дующей. ѕервым узлом €вл€лс€ левый верхний узел сетки во вторых за≠контурных р€дах по x и по y с координатами x=-2*h1, y=-2*h2. “ак как значение прогиба ЂХ, в данном узле не входит в формулы, то записываем:

.

ƒл€ второго законтурного узла с координатами x=-2*h1, y=-h2 зна≠чение прогиба , также не входит в формулы, поэтому записываем:

.

”злы с номерами i= 3,4,...,(im-2) расположены во втором законтурном р€ду напротив узлов на стороне пластинки х = 0 и по правилу обратной симметрии дл€ шарнирно-опертого кра€ уравнени€ дл€ них будут:

, , ,

где ћј’=8, 16, 32, 64 - указатель числа N равномерного делени€ стороны контура пр€моугольной пластинки конечно-разностной сеткой.

ƒалее записываем дл€ узлов i= iт-1, iт уравнени€ после че≠го записаны все уравнени€ дл€ второго левого законтурного р€да узлов.

ƒл€ узлов первого законтурного р€да с номерами i= im + 1,..., 2*im с учетом шарнирного опирани€ сторон пластинки записываютс€ уравнени€:

ƒл€ узлов р€да х = 0 с номерами i= 2iт +1,..., 3iт записываем урав≠нени€:

- прогибы на шарнирно-опертой стороне

Ќаконец, дл€ узлов четвертого слева вертикального р€да х = h, с но≠мерами i= «im +1,..., 4im записываем уравнени€:

“акие же уравнени€ составл€ютс€ дл€ вертикальных р€дов х = 2h1, 3h1,...,а Ц h1, например, при значении ћј’=8 вертикальных р€дов с записью в центральных узлах уравнени€ (34) будет всего семь.

ƒалее в пор€дке, обратном пор€дку дл€ вертикальных р€дов слева, за≠писываютс€ уравнени€ дл€ р€дов с номерами iт - 2,iт - 1, iт, что в итоге дает систему IM *IM разрешающих конечно-разностных уравнений.

ќтметим, что при изменении пор€дка следовани€ конечно-разностных уравнений на главной диагонали матрицы ј системы линейных алгебраических уравнений ћ – может по€витьс€ коэффициент, равный нулю, что автоматически сделает систему неразрешимой.

ќтметим также, что подготовка исходных данных дл€ приведенной в приложении к указани€м универсальной программы расчета пластинки ћ – состоит в задании следующих входных параметров:

1) NXNј - указатель опирани€ пластинки по стороне х = 0: NXNј = 1 (шарнирное опирание в рассматриваемом примере с рис. 8 а);

2) NX ќ - указатель опирани€ пластинки по стороне х = а: NX ќ = 1 (шарнирное опирание в рассматриваемом примере с рис. 8 а);

3) NYNј - указатель опирани€ пластинки по стороне у = 0: NYNј=1 (шарнирное опирание в рассматриваемом примере с рис. 8 а);

4) ЌY ќ - указатель опирани€ пластинки по стороне у = b: ЌY ќ=1 (шарнирное опирание в рассматриваемом примере с рис. 8 а);

5) RAZMER - габарит пластинки по оси x (м) (RAZMER = 2);

6) ј¬ = а/b - отношение сторон пластинки в плане (ј¬ = 1);

7) qYKA - указатель типа распределени€ поперечной нагрузки (дл€ рас≠сматриваемой равномерно распределенной нагрузки qY ј = 1);

8) –YјS - величину коэффициента ѕуассона материала пластинки -вводим –YјS = 0,3;

9) ћј’- указатель числа “” дл€ равномерного делени€ стороны конту≠ра пр€моугольной пластинки конечно-разностной сеткой: последовательно вводим ћј’ = 8, 16, 32, 64.

ѕри решении задачи в безразмерном виде программа задает величину интенсивности поперечной нагрузки Q = 1.

¬ табл. 1 приведены результаты расчета ћ – пластинки (рис. 8 а). ѕрогибы iv (табл.1 и в дальнейшем) привод€тс€ с точностью до множите≠л€ qa4/D, моменты - с точностью до множител€ qa2, где q - величина поперечной нагрузки. ¬еличина соответствует решению обратной задачи о нахождении величины интенсивности нагрузки q i,j, исход€ из полученных значений прогибов в узлах сетки , которые дл€ этого подставл€≠ютс€ в левую часть уравнени€ (34). «а точное в табл. 1 прин€то решение в двойных тригонометрических р€дах:

(37)

в приближении N = 111, которое не уточн€етс€ приближени€ми с N > 111 по всем значащим цифрам.

”становлено, что нев€зки по нагрузке в узлах сетки в ћ – отсутст≠вуют, и уже на сетке 8×8 отличие от точного решени€ по наибольшим про≠гибам составл€ет менее 0,2%, а по наибольшим изгибающим моментам 1,2%, что соответствует высокой точности решени€.

–ешение же на сетке 32×32, когда в нї получаетс€ четыре, а в ћh три верные цифры, что соответствует весьма высокой точности решени€ зада≠чи, занимает весьма незначительное врем€ ѕЁ¬ћ, что свидетельствует о высокой экономичности ћ –.

“аблица 1

 

¬ табл. 2 приведены результаты дл€ аналогичной пластинки, защем≠ленной на контуре (рис. 8 б). ¬ качестве эталонного вз€то решение по ме≠тоду Ѕубнова-√алеркина в приближении с 64 членами р€да разложени€ функции прогиба в виде ортонормированных полиномов, методика по≠строени€ которых изложена в [5].

“аблица 2

 

¬виду того, что при защемлении краев пластинки кривизны ее изо≠гнутой срединной поверхности двузначны, сходимость решени€ по ћ – замедл€етс€ по сравнению со случаем шарнирного закреплени€ сторон. ќднако уже при сетке 16×16 прогиб в центре отличаетс€ от Ђэталонногої решени€ лишь на 3,3%, изгибающий момент в центре - на 0,6% и на кон≠туре - на 2,0%, что соответствует хорошей точности решени€ задачи. “оч≠ность решени€ задачи ћ – на сетке 32×32 существенно выше, а затраты времени ѕЁ¬ћ весьма малы.

«аметим, что в обоих примерах шаг сетки каждый раз уменьшалс€ в 2 раза, что определ€етс€ известным принципом –унге исследовани€ сходи≠мости приближенных решений [7].

Ётот же принцип положен в основу исследовани€ сходимости реше≠ни€ ћ – дл€ равномерно нагруженной пластинки с размерами 1×1 (м) со свободной стороной при у = 0, защемленной стороной при у = №, шарнирно-опертыми сторонами при х = 0 и при х = а, приведенной на рис.8 в.

¬ табл. 3 даны результаты расчетов по ћ –, сопоставл€емые с из≠вестным решением [4].

 

“аблица 3

 

–езультаты табл. 3 свидетельствуют об устойчивой и достаточно бы≠строй сходимости решени€ по ћ –, причем дл€ сетки 32×32 отличие ре≠зультатов от данных [4] составл€ет: по наибольшему прогибу 2,9%, по ве≠личине Mx(a/2,b) 2,3% и по наибольшему изгибающему моменту My(a/2,0) 1,6%, что свидетельствует о высокой точности решени€ ћ – при использовании сетки 32×32.

«аметим, что решение на сетке 8×8 (табл. 3) имеет посредственную точность. Ќапример, по величине W(а/2,b) имеем погрешность в 9,54%, по ћх(а/2,b) 9,85%, по My(a/2,0) 10,33%. ќднако уже данное при≠ближение ћ – качественно верно описывает изменение всех параметров напр€женно-деформированного состо€ни€ пластинки по всему ее полю.

–ис.9

ќтметим также, что решение ћ – на сетке 64×64 несущественно уточн€ет результаты при сетке ћ – 32×32, но требует дл€ своей реализа≠ции неизмеримо больше времени счета ѕЁ¬ћ.

Ќа рис. 9 приведены эпюры прогиба w изгибающих моментов ћxу и поперечных сил Qx, Qy в сечени€х х = а/2, у = b/2 данной пла≠стинки, полученные ћ – на сетке 32×32.

≈сли рассматривать пример локального нагружени€ пластинки, то следует ожидать уменьшени€ скорости сходимости ћ –, так как это при≠суще всем без исключени€ методам расчета. ¬ табл. 4 приведены резуль≠таты дл€ защемленной на контуре пластинки, нагруженной по 25% ее пло≠щади в центральной части, причем а = b = 2(м), v = 0,3 (рис. 8 г). –езуль≠таты по ћ – сравниваютс€ с решением по методу Ѕубнова-√алеркина в приближении с 64 варьируемыми параметрами в р€де разложени€ функции прогиба по ортонормированным полиномам [5].

“аблица 4

ќтметим, что и дл€ данного случа€ решение по ћ – на сетке 32×32 дает значени€ параметров напр€женно-деформированного состо€ни€ пла≠стинки, весьма близкие к решению по методу Ѕубнова-√алеркина - расхо≠ждение по величине ћу(а/2,0) составл€ет лишь 0,48%.

ѕри использовании вариационных методов расчета затруднени€ воз≠никают при наличии у пластинки смежных свободных от закреплений сто≠рон. ѕроводим с использованием ћ – расчет пластинки, приведенной на рис. 8 д, имеющей свободные стороны при х = а и у = №.

¬ табл. 5 приведены результаты расчета ћ – пластинки с размерами 1×1 (м), наход€щейс€ под действием равномерно распределенной нагруз≠ки q=const=1, коэффициент ѕуассона материала пластинки v = 0,3.

¬ табл. б приведены данные дл€ аналогичной пластинки при наличии в ее правом нижнем углу точечной шарнирной опоры (рис. 8 д). «аметим, что при этом конечно-разностный аналог (34) уравнени€ равновеси€ дл€ узла х =а, у =b:i= iпрае, j = jнижн замен€лс€ уравнением wiправ.,jнижн.=0.

 

“аблица 5

 

ѕримечание. —вободный угол пластинки х = а, у = b.

“аблица 6

ѕримечание. “очечна€ шарнирна€ опора в углу пластинки х = а, у = b.

 

–езультаты табл. 5, 6 свидетельствуют об устойчивой и достаточно быстрой сходимости решени€ по ћ –, причем результаты дл€ сетки 32×32 весьма близки к данным на сетке 64×64.

ќтметим по результатам табл. 5, что величина изгибающего момента My(a/2,b/2) дл€ данной задачи €вл€етс€ малой по сравнению с величи≠ной Mx(a/2,b/2), поэтому можно удовлетворитьс€ констатацией факта мо≠нотонности изменени€ ћу(а/2,b/2) с уменьшением шага сетки.

 стати, из данных табл. 6 следует, что при введении точечной шар≠нирной опоры в угол пластинки х = а, у = b распределение параметров напр€женно-деформированного состо€ни€ (Ќƒ—) пластинки по ее полю претерпевает качественное изменение. Ќапример, ћу (а /2, b/2) перестает быть малой величиной по сравнению с ћx(а/2,b/2).  роме того, сходи≠мость ћ – по величине ћу(а/2,b/2) €вл€етс€ очень быстрой Ц данные приближени€ с сеткой 8×8 отличаютс€ от данных при сетке 32×32 всего лишь на 1,1%.

—опоставление данных табл. 5 и 6 свидетельствует, что при введении упом€нутой опоры прогибы в характерных точках пластины резко умень≠шаютс€: величина W(а/2,b) убывает в 3,92 раза, величина W(а,b/2) - в 4,32 раза, величина W (а / 2,b / 2) - в 2,61 раза.

“акже убывает в 1,82 раза величина My(a/2,0), а вот значени€ изги≠бающих моментов в центре пластинки возрастают за счет увеличени€ кри≠визны изогнутой срединной поверхности, например, величина Mx(a/2,b/2) становитс€ больше в 1,91 раза. ќднако наибольший по абсолютной вели≠чине момент 'ћ^ уменьшаетс€ в 2,77 раза, то есть введение точечной шарнирной опоры в угол пластинки х = а, у = b существенно уменьшает как прогибы, так и наибольший изгибающий момент в пластинке.

«аметим, что введение точечных шарнирных опор возможно в любых узлах конечно-разностной сетки ћ –, что дает возможность вариантного проектировани€ пластинок. ¬ табл. 7 приведены данные расчетов дл€ пла≠стинки с размерами а = b= 21 (м) дл€ случа€ наличи€ точечных шарнир≠ных опор в углах пластинки и свободных от закреплений сторон контура.

“аблица 7

–езультаты табл. 7 свидетельствуют об устойчивой и достаточно бы≠строй сходимости решени€ по ћ –, причем результаты дл€ сетки 32×32 весьма близки к данным на сетке 64×64. ќтметим, что по результатам вы≠числений ћ – на ѕЁ¬ћ на дисплей дл€ заданных сечений пластинки вы≠вод€тс€ величины параметров Ќƒ— пластинок, а именно W, Mx, My, H, Qx, Qy, что дает возможность построить эпюры данных функций.

–ассмотрим в заключение расчет ћ – в размерном виде пр€моуголь≠ной в плане пластинки, защемленной на стороне контура х = 0 и имеющей три свободные стороны контура соответственно при х = а, у = 0, у = b (рис. 8 е).

ѕоперечна€ нагрузка q состоит суммы посто€нной по поверхности на≠грузки q1=0.4*104 (ѕа) и нагрузки q2 =0.8*104 (ѕа), действующей на верхнюю правую четверть пластинки (рис. 8 е). «адаем величины входных параметров задачи: а = 3(м), а/b = 0,75, v= 0,15, ≈ = 2,1*1010 (ѕа), h=0,2 (м).

¬ табл. 8 приведены данные исследовани€ сходимости решений ћ – дл€ обсуждаемой пластинки.

“аблица 8

јнализ данных табл. 8 свидетельствуют об устойчивой и достаточно быстрой сходимости решени€ по ћ –.  роме того, установлено, что вели≠чина момента Mx(0,b) при сгущении сетки прогрессивно убывает, величи≠на Mx(0,b/2) = Mmax возрастает, а отношение Mmax/ Mx(0,b) составл€ет 2,91. ќтношение моментов ћх(0,0)/ћx(0,b)=25,032/10,875=2,30, а соотноше≠ние прогибов пластинки в крайних верхней и нижней точке при значении х = 3(м) составл€ет 1,306.

≈сли же провести расчет балок с габаритами h = b= 0,2 (м), выре≠занных из данной пластинки соответственно при у = 0,1 (м) и у = 3,9 (м), то величины характерных изгибающих моментов будут: ћх(0,0) =-45 (кнм/м), Mx(0,b) =-18 (кнм/м), то есть увеличение по сравнению с моментами в пластинке происходит соответственно в 1,8 и 1,66 раза.

 роме того, прогибы в данных балках соответственно в 39,18/5,811=6,74 и 14,47/4,4497=3,25 раза превышают прогибы в пластин≠ке, а соотношение прогибов на концах балок равно 0,03918/0,01447=2,708, что в 2,07 раза превышает данное соотношение дл€ пластинки.

¬се отмеченные выше факты подтверждают насто€тельную необхо≠димость расчета пластинок, а не вырезанных из них балок - лишь данный подход позвол€ет учесть особенности работы пластинок при сопоставимых габаритах а и b и добитьс€ существенной экономии материала.

ѕодчеркнем в заключение, что рассмотрение всех приведенных при≠меров расчета пластинок приводит к однозначному выводу о хорошей схо≠димости ћ – дл€ пластинок на пр€моугольном плане при любых услови€х закреплени€ и нагружени€.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-29; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1704 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—воим успехом € об€зана тому, что никогда не оправдывалась и не принимала оправданий от других. © ‘лоренс Ќайтингейл
==> читать все изречени€...

459 - | 427 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.036 с.