Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќсновные математические модели, наиболее часто используемые в расчетах надежности




 

—обыти€ и величины, используемые в теории надежности, нос€т случайный характер. ќтказы объектов вызываютс€ большим числом причин, св€зь между которыми установить невозможно, поэтому отказы изделий принадлежат к категории случайных событий. ¬рем€ до возникновени€ отказа может принимать различные значени€ в пределах некоторой области возможных значений и принадлежит к категории случайных величин.

 аждый тип отказов описываетс€ собственной математической моделью, где в качестве основных характеристик €вл€етс€ функци€ распределени€ времени безотказной работы объекта. ¬се остальные показатели надежности можно определить по функци€м распределени€.

»счерпывающее представление о случайной величине дает закон распределени€ случайной величины Ц соотношение между значени€ми случайной величины и их веро€тност€ми.

ƒл€ электротехнических изделий, наход€щихс€ в эксплуатации, наиболее часто примен€ютс€ следующие законы:

- дл€ дискретных случайных величин Ц биноминальный закон; закон ѕуассона;

- дл€ непрерывных случайных величин Ц экспоненциальный закон; закон нормального распределени€ (√аусса); закон ¬ейбулла; χ2-распределение.

Ѕиноминальный закон. ¬ системах электроснабжени€ дл€ нормальной эксплуатации используетс€ однотипное оборудование(выключатели, трансформаторы, разъединители и т. п.). Ёто оборудование может находитьс€ в двух состо€ни€х: работоспособном и неработоспособном.

≈сли производитс€ n независимых опытов, в каждом из которых событие ј по€витс€ с веро€тностью р, то веро€тность того, что событие ј по€витьс€ ровно m раз, может быть выражено формулой:

 

, (3.5)

где Ц число слагаемых вида , которое равно числу сочетаний.

¬еро€тность каждой такой комбинации, по теореме умножени€ дл€ независимых событий, будет равна .

≈сли производитс€ n независимых опытов, в каждом из которых событие ј по€витс€ с веро€тностью p, то веро€тность того, что событие ј по€витс€ ровно m раз, выражаетс€ формулой

 

(3.6)

где .

‘ормула (3.6) €вл€етс€ аналитическим выражением искомого закона распределени€ и носит название формулы Ѕернулли. ¬ этом выражении коэффициент есть коэффициент разложени€ бинома ,который по форме представл€ет собой веро€тность . ѕоэтому такое распределение веро€тностей называетс€ биноминальным распределением [16].

—войства данного распределени€ следующие:

1) число независимых опытов n − целое положительное число;

2) математическое ожидание биноминального распределени€ ;

3) центральный момент второго пор€дка, т.е. дисперси€ , где .

«акон ѕуассона. ≈сли случайна€величина ’, котора€ может принимать только целые, неотрицательные значени€ 0, 1, 2, Е и распределена по закону ѕуассона, то веро€тность того, что на интервале времени t произойдет n случайных событий (отказов) определ€етс€ формулой:

 

, (3.7)

 

где − некотора€ положительна€ величина, называема€ параметром закона ѕуассона, т.е. среднее число отказов на интервале времени t; е Ц основание натурального логарифма (е = 2,718...).

ќсновные числовые характеристики случайной величины , наиболее часто используемые и распределенные по закону ѕуассона:

Цматематическое ожидание

 

, (3.8)

 

 

где mх = а, параметр, которыйпредставл€ет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины ;

Ц дисперси€, друга€ числова€ характеристика тоже равна параметру а, т. е. .

“аким образом, дисперси€ случайной величины, распределенной по закону ѕуассона, будет равна ее математическому ожиданию а.

. (3.9)

 

«акон ѕуассона используетс€ тогда, когда необходимо определить веро€тность того, что в системе за данное врем€ произойдет один, два, три и т.д. отказов.

Ёкспоненциальный закон. ‘ункци€ распределени€ случайной величины:

, (3.10)

 

где λ − интенсивность отказа; t − врем€ возникновени€ отказа.

≈сли непрерывна€ случайна€ величина распределена по показательному закону, то

f(t) = (3.11)

 

а математическое ожидание будет

“аким образом, математическое ожидание показательного распределени€ равно обратной величине параметраλ, а дисперси€ Ц

–аспределение веро€тностей непрерывной случайной величины , которое описываетс€ плотностью:

; ,

 

это веро€тность того, что за врем€ t отказ не возникнет.

»нтенсивность отказов λ(t) измен€етс€ во времени следующим образом:

.

—реднее врем€ безотказной работы при экспоненциальном законе распределени€ интервала безотказной работы выражаетс€ формулой:

.

“аким образом, признаком экспоненциального закона распределени€ времени до отказа служит посто€нство интенсивности отказов, что характерно дл€ внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки объекта закончилс€, а период износа и старени€ еще не наступил. “акже посто€нной становитс€ λ(t) системы, если отказы вызываютс€ отказами большого числа комплектующих элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу объекта. Ётими факторами, а также тем, что экспоненциальное распределение случайной величины существенно упрощает расчеты надежности, не вызыва€ значительных погрешностей, обусловлено широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.

“ипична€ функци€ интенсивности отказов во времени (в течение срока службы объекта) имеет U -образный характер (см. рис.3.4).

¬ начальный период I преобладают приработочные отказы. ѕосле него наступает наиболее продолжительный период нормальной эксплуатации II, в котором на объект воздействуют случайные факторы. ѕоследние вызывают внезапные отказы, интенсивность которых в период нормальной эксплуатации практически не зависит от времени.

 

 

–ис. 3.4. √рафик функции интенсивности отказов во времени

 

III Ц период аварийного износа, здесь преобладают постепенные отказы.

”читыва€, что дл€ объектов —Ё— интенсивность отказов в период нормальной эксплуатации практически неизменна, т. е. , соотношени€ между основными показател€ми надежности можно представить с учетом этого услови€ в более простой форме:

 

; (3.12)

 

; (3.13)

 

. (3.14)

 

Ќа рисунке 3.5. представлены графики изменени€ P(t) и Q(T) дл€ экспоненциального закона.

ѕлощадь заштрихованной области между P(t) и ос€ми координат численно характеризует среднюю наработку до отказа .

 

 

P,Q Q
Q
P
t
T
 

–ис. 3.5. √рафики веро€тности безотказной работы (t)и веро€тности отказа Q (t) при экспоненциальном законе

 

«акон нормального распределени€ (√аусса) получил наибольшее распространение при оценке надежности —Ё—, т.к. он достаточно полно описывает случайные величины массовых €влений.

«начени€ этих величин завис€т от большого числа равно вли€ющих факторов и обычно равномерно распредел€ютс€ вокруг среднего значени€.

Ќормальный закон распределени€ характеризуетс€ плотностью веро€тности вида:

 

f(t) = , (3.15)

 

√де s и Ц параметры закона распределени€ (s−среднеквадратическое отклонение t относительно , Ц среднее значение t).

 

–ис.3.6. ѕлотность распределени€ нормального закона

 

ѕри анализе надежности электроустановок в виде случайной вели≠чины, кроме времени, часто выступают значени€ тока, электрического напр€жени€ и других аргументов.

¬еро€тность безотказной работы дл€ нормального закона распреде≠лени€ будет определ€тьс€ по формуле:

 

P(t) = 1 ‑ , (3.16)

 

а интенсивность отказов − по формуле:

 

. (3.17)

»сследовани€ показали что нормальное распределение €вл€етс€ наиболее приемлемой математической моделью дл€ постепенных отказов при оценке надежности объектов, подверженных действию старени€ и из≠носа.[23,24]. ќн широко используетс€ при анализе безотказности сложных систем на последнем периоде эксплуатации ‑ III (см. рис.3.4.).

 

Mt
σ t
σ t
t
P (t)
λ(t)
f (t)

  –ис. 3.7.  ривые нормального закона распределени€

–аспределение ¬ейбулла. ћодель распределени€ случайной вели≠чины, предложенна€ шведским ученым ¬ейбуллом, находит широкое при≠менение ввиду своей простоты и гибкости, так как в зависимости от значе≠ний параметров, характер модели видоизмен€етс€. Ёто распределение чаще всего используетс€ при исследовании интенсивности отказов дл€ пе≠риодов приработки и старени€, а также при отказах системы, состо€щей из последовательно соединенных дублированных элементов.

ќна удобна дл€ выбора наиболее подход€щего аналитического выражени€ при определении показателей надежности объекта на основе опытных данных.

¬еро€тность безотказной работы за врем€ t:

,

где − параметры закона распределени€.

‘ункци€ плотности распределени€ времени до отказа:

.

 

»нтенсивность отказов:

.

≈сли , то распределение ¬ейбулла совпадает с экспоненциальным у которого λ=const. ≈сли , интенсивность отказов Ц монотонно убывающа€ функци€; при интенсивность отказов − монотонно возрастающа€ функци€ (рис. 3.8.).

 

λ(t)
t
α > 1
α = 1
α < 1

–ис. 3.8. «ависимость λ = f (t) в модели надежности ¬ейбулла  

ћатематическое ожидание или среднее врем€ безотказной работы при распределении по закону ¬ейбулла:

M = T = √ ;

 

 

где √(х) Ц гамма-функци€.

 

χ2-распределение. ¬озникает при некоторых услови€х формировани€ случайной величины. ≈сли случайна€ величина t распределена по нормальному закону с параметрами T = 0, s = 1, то будет случайной величиной распределенной по закону c2 Ц распределение, с параметром распределени€ . ѕараметр k в данном случае равен числу слагаемых.

ќтношение удвоенного значени€ наработки на отказ к средней наработке, т. е. удвоенное число отказов также подчин€етс€ закону c2 Цраспределени€.

ƒл€ практического использовани€ c2 Ц распределени€ даны в приложении 2.

»з рисунка 3.9. видно, что форма кривых зависит от значени€ параметра k − числа свободы. „ем меньше k, тем больше c2 Ц распределение становитс€ несимметричным; чем больше k, тем больше оно приближаетс€ к нормальному распределению. ѕри k = 30 его можно считать практически совпадающим с нормальным.

 

f2)
χ2
k = 1
k = 3
k >30

–ис.3.9. ѕлотность распределени€ χ- квадрат

 

 

„тобы определить значение c2, пользу€сь таблицей c2-распределени€, необходимо знать число степеней свободы k и Ц уровень значимости или веро€тность того, что c2 будет больше найденного значени€. Ќапример, при k = 2 и = 0,95 значение c2 = 0,103 (см. приложение 2).

«начени€ k определ€ютс€ по определенным правилам. Ќапример, если в качестве c2 используетс€ сумма квадратов , тогда дл€ плотности распределени€ c2 числом степеней свободы k будет число слагаемых.

≈сли в качестве c2 используетс€ (где Ц суммарна€ наработка издели€; n Ц суммарное число отказов), тогда числом степеней свободы дл€ f (c2) будет удвоенное число отказов (k = 2 n).

«начение P также выбираетс€ по определенным правилам в каждом конкретном случае использовани€ приложени€ 2.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1279 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тремитесь не к успеху, а к ценност€м, которые он дает © јльберт Ёйнштейн
==> читать все изречени€...

1937 - | 1866 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.05 с.