Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


–асчет точечных характеристик распределени€




ƒл€ сгруппированных данных статистические числовые характеристики выражаютс€ приведенными ниже формулами.

—татистическое среднее математическое ожидание определ€етс€ как

, (3)

где ― середины интервалов , k ― число интервалов группировани€ случайной величины.

—татистическа€ средн€€ дисперси€ €вл€етс€ характеристикой рассеивани€ случайной величины Ц разбросанности ее значений около математического ожидани€, и определ€етс€ по формуле:

. (4)

ѕосле перегруппировани€ интервалов в таблице 2, число интервалов k = 5 (см. табл. 3), а значени€ = / 2 приведены в таблице 4.

—татистическое среднее математическое ожидание, рассчитанное по формуле (3), составл€ет =0,1376.

ƒисперси€ =0,0196.

 

“аблица 4

»нтервалы,
0,0000 0,046   0,0230
0,046 0,0945   0,0702
0,0945 0,1891   0,1418
0,1891 0,2836   0,2364
0,2836 0,6618   0,4727

 

—татистические среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации случайной величины составл€ют:

,

.

¬еличина коэффициента вариации весьма близка к единице, что характерно дл€ экспоненциального закона распределени€.

÷ентральные моменты рассчитываютс€ по формуле

.

÷ентральные моменты 3-го и 4-го пор€дков:

= -0,0044, = 0,0016.

–ассчитаем также другие часто примен€емые числовые характеристики случайных величин ― асимметрию и эксцесс.

јсимметри€ Sk:

, Sk = 1,595.

ƒл€ симметричных распределений Sk = 0.

„етвертый центральный момент служит дл€ характеристики крутости распределени€ и описываетс€ с помощью эксцесса:

,

.

5. √истограммы и определение закона распределени€
случайной величины

ƒл€ нагл€дного представлени€ об эмпирическом распределении строитс€ гистограмма (ступенчата€ диаграмма) эмпирической плотности распределени€ случайной величины (рис. 7). ѕо оси абсцисс откладываютс€ интервалы (разр€ды) случайной величины x, и на каждом из интервалов строитс€ пр€моугольник с площадью, равной частоте по€влени€ случайной величины в данном интервале. ¬ысоты пр€моугольников пропорциональны соответствующим частотам и равны эмпирической плотности веро€тности / n дл€ каждого интервала.

–ис. 7. —тупенчата€ диаграмма эмпирической плотности веро€тности

 

¬ данном случае вид теоретической функции распределени€ случайной величины заранее не известен. ќсновой дл€ подбора той или иной теоретической дифференциальной функции (плотности) распределени€, служит внешний вид гистограммы. —опоставив гистограмму, построенную по данным таблицы 3 (рис. 7), с теоретическими кривыми распределени€, можно предположить, что анализируема€ случайна€ величина подчин€етс€ экспоненциальному закону распределени€.

Ёкспоненциальный закон характеризуетс€ плотностью распределени€ вида

,

где ― статистическое среднее математическое ожидание.

–ассчитанные значени€ плотности распределени€ на границах интервалов сведены в таблице 5.

“аблица 5

√раницы интервалов
      7,2674
0,0460 -0,3343 0,7157 5,2013
0,0945 -0,6871 0,5030 3,6557
0,1891 -1,3742 0,2530 1,8389
0,2836 -2,0613 0,1273 0,9250
0,6618 -4,8098 0,0081 0,0592

 

Ќа гистограмме (рис. 8) по данным таблицы 5 построена выравнивающа€ крива€ распределени€, представл€юща€ собой график теоретической функции f(t),котора€, сохран€€ в основном существенные особенности статистического распределени€, свободна от случайных неправильностей хода гистограммы.

 

6. ќпределение степени соответстви€ теоретического
распределени€ данным эксперимента

ѕри подборе теоретической кривой распределени€ между нею и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождени€. ѕри этом необходимо знать, объ€сн€ютс€ эти расхождени€ только случайными обсто€тельствами, св€занными с ограниченным числом опытных данных, или они €вл€ютс€ существенными и св€заны с тем, что подобранна€ крива€ плохо выравнивает данное статистическое распределение.

–ис. 8. √истограмма (1) и выравнивающа€ крива€ (2) экспоненциального распределени€

—тепень соответстви€ между выдвинутой гипотезой со статистическим материалом устанавливаетс€ с помощью критериев согласи€.

Ќаиболее распространенным €вл€етс€ критерий  . ѕирсона , величина которого рассчитываетс€ по формуле

, (4)

где k ― число интервалов группировани€ случайной величины; ni ― число значений случайной величины в i -м интервале; n ― общее число полученных значений случайной величины; p ― теоретическа€ веро€тность попадани€ случайной величины в i- й интервал.

“еоретическа€ веро€тность попадани€ случайной величины X в i -й интервал равна приращению функции распределени€ на этом интервале:

. (5)

‘ункци€ экспоненциального распределени€ описываетс€ формулой

,

поэтому формулу (5) можно представить как

.

«начени€ приведены в таблице 6.

“аблица 6

√раницы интервалов
  -
0,046 0,2843
0,0945 0,2127
0,1891 0,2500
0,2836 0,1258
0,6618 0,1191

 

ѕо формуле (4) и данным таблиц 3 и 6 находим значение критери€ согласи€ ѕирсона =1,53.

„исло степеней свободы распределени€ определ€етс€ по формуле

r=k-s,

где k ― число интервалов группировани€ случайной величины; s ― число независимых условий (св€зей), налагаемых на частоты.

ƒл€ экспоненциального закона распределени€ s = 2, следовательно, число степеней свободы в рассматриваемом случае составл€ет r = 5 Ц 2 = 3.

ѕользу€сь таблицей значений веро€тностей дл€ критери€ , находим веро€тность того, что эмпирическое распределение подчин€етс€ экспоненциальному закону. ≈сли получаема€ веро€тность составл€ет более 10 %, то обычно считаетс€, что экспериментальные данные не противоречат прин€тому теоретическому закону распределени€ случайной величины.

ƒл€ =1,53 и r =3 значение веро€тности находитс€ в пределах между 50 и 70 %, значит, предположение о том, что экспериментальные данные подчин€ютс€ экспоненциальному закону распределени€, €вл€етс€ верным.

 

«аключение о надежности объекта

¬ результате обработки исходной статистической информации о надежности объекта, представленной в виде статистического р€да (см. табл. 1), установлены:

― средн€€ наработка на отказ объекта 0,138;

― вид закона распределени€ случайной величины x

;

― аналитическое выражение дл€ определени€ веро€тности безотказной работы объекта

.

»так, установлено, что исходные экспериментальные данные подчин€ютс€ экспоненциальному закону распределени€. Ёкспоненциальному закону распределени€ подчин€ютс€ случайные значени€ времени работы между отказами или до отказа объектов, дл€ которых характерны внезапные отказы.






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 804 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинать всегда стоит с того, что сеет сомнени€. © Ѕорис —тругацкий
==> читать все изречени€...

2108 - | 1881 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.019 с.