Вводные положения. Определение показателей надежности связано с решением двух главных задач математической статистики ― оценки неизвестных параметров выборки и проверки

Определение показателей надежности связано с решением двух главных задач математической статистики ― оценки неизвестных параметров выборки и проверки статистических гипотез.

Обработка результатов исследований надежности позволяет вычислить числовые характеристики эмпирического распределения (выборки), называемые статистическими оценками (эмпирическими или выборочными характеристиками), которые аналогичны числовым характеристикам случайной величины (СВ): математическое ожидание, дисперсия, начальные и центральные моменты различных порядков. Каждой числовой характеристике СВ соответствует ее статистическая аналогия.

Аналогией математического ожидания m_x случайной величины X является его статистическая оценка , представляющая собой среднее арифметическое (статистическое среднее) значение полученных в результате испытаний реализаций СВ:

,

где n – число реализаций (объем выборки) случайной величины; x_i – i -я реализация (значение) случайной величины X.

При неограниченном увеличении n статистическое среднее приближается (сходится по вероятности) к математическому ожиданию, о чем наглядно свидетельствуют данные таблицы. С увеличением объема выборки n возрастает доверительная вероятность (надежность) g статистического среднего и снижается величина относительной ошибки d.

Статистическая оценка дисперсии СВ может быть определена по формуле

.

Аналогично определяются статистические начальные и центральные моменты любого порядка k:

, .

При увеличении n все статистические характеристики (, , ) будут сходиться по вероятности к соответствующим математическим характеристикам.

При больших объемах выборок n вычисление характеристик по всем приведенным формулам затрудняется, поэтому полученные эмпирические данные представляют в виде статистического ряда. Для этого весь диапазон значений случайной величины разбивают на интервалы, число которых в зависимости от объема выборки должно быть не менее 5-6 и не более 10―12. Примерная величина интервала D I определяется по формуле

,

где , ― соответственно максимальное и минимальное значения исследуемой случайной величины; n ― количество полученных реализаций случайной величины (объем выборки).

Число интервалов k группирования случайной величины находится из выражения

.

Интервалы имеют при этом одинаковую длину. Число значений n_i случайной величины Х в каждом интервале должно быть не менее 5.

Для наглядного представления об эмпирическом распределении строится гистограмма (ступенчатая диаграмма) эмпирической плотности распределения случайной величины. По оси абсцисс откладываются интервалы (разряды) D I случайной величины и на каждом из интервалов строится прямоугольник с площадью, равной частоте появления случайной величины в данном интервале.

Высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам и равны эмпирической плотности вероятности для каждого интервала.

Если вид теоретической функции распределения СВ заранее неизвестен, то внешний вид гистограммы может служить основой для подбора той или иной теоретической дифференциальной функции (плотности) распределения, описывающей полученное распределение.

При подборе теоретической кривой распределения между нею и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения. При этом необходимо знать, объясняются эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом опытных данных, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранная кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение.

Степень соответствия между выдвинутой гипотезой со статистическим материалом устанавливается с помощью критериев согласия.

Наиболее распространенным является критерий К. Пирсона, величина которого рассчитывается по формуле

,

где k - число интервалов группирования случайной величины; n_i ― число значений случайной величины в i -м интервале; n ― общее число полученных значений случайной величины; р ― теоретическая вероятность попадания случайной величины в i -й интервал.

Теоретическая вероятность попадания случайной величины t в i -й интервал равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

Число степеней свободы r распределения определяется по формуле

,

где k ― число интервалов группирования случайной величины; s ― число независимых условий (связей), наложенных на частоты .

К числу таких связей относятся условие и число l неизвестных параметров теоретического распределения, определяемых по данным выборки.

Условие ― общее для различных законов распределения, следовательно, s =1+ l, и тогда r = k - l - 1.

Пользуясь табличными данными, можно для полученных значений и числа степеней свободы r найти вероятность того, что величина, распределенная по закону , превзойдет соответствующее значение.

Если получаемая вероятность p >0,05 ― 0,1, то обычно считается, что экспериментальные данные не противоречат принятому теоретическому закону распределения случайной величины.

При проверке согласованности эмпирического распределения случайной величины с теоретически нормальным или логнормальным распределением с помощью критерия согласия число наложенных связей на частоты s =3, и поэтому число степеней свободы распределения рассчитывается как r = k -3, где k ― число интервалов группирования СВ.

Пример обработки материала о надежности