Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


“еоретические законы распределени€ случайных величин




¬ период нормальной эксплуатации постепенные отказы еще не про€вл€ютс€ и надежность характеризуетс€ посто€нными отказами. Ёти отказы вызываютс€ неблагопри€тным стечением многих обсто€тельств и поэтому имеют посто€нную интенсивность, котора€ зависит от возраста издели€:

(4.1)

где Ц средн€€ наработка до отказа (обычно в часах). “огда выражаетс€ числом отказов в час и, как правило, составл€ет малую дробь.

¬еро€тность безотказной работы

(4.2)

ќна подчин€етс€ экспоненциальному закону распределени€ времени безотказной работы и одинакова за любой одинаковый промежуток времени в период нормальной эксплуатации.

Ёкспоненциальным законом распределени€ можно аппроксимировать врем€ безотказной работы широкого круга объектов (изделий): особо ответственных машин, эксплуатируемых в период после окончани€ приработки и до существенного про€влени€ постепенных отказов; элементов радиоэлектронной аппаратуры; машин с последовательной заменой отказавших деталей; машин вместе с электро- и гидрооборудованием и системами управлени€ и др.; сложных объектов, состо€щих из многих элементов (при этом врем€ безотказной работы каждого может не быть распределено по экспоненциальному закону; нужно только, чтобы отказы одного элемента, не подчин€ющегос€ этому закону, не доминировали над другими).

ѕриведем примеры неблагопри€тного сочетани€ условий работы деталей машин, вызывающих их внезапный отказ (поломку). ƒл€ зубчатой передачи это может быть действием максимальной пиковой нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении в вершине и при взаимодействии с зубом сопр€женного колеса, при котором погрешности шагов свод€т к минимуму или исключают участие в работе второй пары зубьев. “акой случай может встретитс€ только через много лет эксплуатации или не встретитс€ совсем.

ѕримером неблагопри€тного сочетани€ условий, вызывающего поломку вала, может €витс€ действие максимальной пиковой нагрузки при положении наиболее ослабленных предельных волокон вала в плоскости нагрузки.

—ущественное достоинство экспоненциального распределени€ Ц его простота: оно имеет только один параметр.

≈сли, как обычно, то формула дл€ веро€тности безотказной работы упрощаетс€ в результате разложени€ в р€д и отбрасывани€ малых членов:

 

(4.3)

ѕлотность распределени€ (в общем случае)

 

(4.4)

 

«начени€ веро€тности безотказной работы в зависимости от (рис. 4.1):

 

 

–ис.4.1. √рафики плотности распределени€ и веро€тности безотказной работы

 

“аблица 4.1

«начени€ веро€тности безотказной работы в зависимости от интенсивности отказов

  0,1 0,01 0,001 0,0001
0,368 0,9 0,99 0,999 0,9999

 

“ак как при веро€тность , то 63% отказов возникают за врем€ и только 37% позднее. »з приведенных значений следует, что дл€ обеспечени€ требуемой веро€тности безотказной работы 0.9 или 0.99 можно использовать только малую долю среднего срока службы (соответственно 0.1 и 0.01).

≈сли работа издели€ происходит при разных режимах, а следовательно, и интенсивност€х отказов (за врем€ ) и (за врем€ ), то

(4.5)

Ёта зависимость следует из теоремы умножени€ веро€тностей. ƒл€ определени€ на основании опытов интенсивности отказов оценивают среднюю наработку до отказа

 

(4.6)

где N Цобщее число наблюдений. “огда

ћожно также воспользоватьс€ графическим способом: нанести экспериментальные точки в координатах и

«нак минус выбирают потому, что и, следовательно - отрицательна€ величина

“огда, логарифмиру€ выражение дл€ веро€тности безотказной работы:

 

(4.7)

заключаем, что тангенс угла пр€мой, проведенной через экспериментальные точки, равен

(4.8)

откуда

(4.9)

ѕри этом способе нет необходимости доводить до конца испытани€ всех образцов.

¬еро€тностна€ бумага (бумага со шкалой, в которой крива€ функции распределени€ изображаетс€ пр€мой) должна иметь дл€ экспоненциального распределени€ полулогарифмическую шкалу.

ƒл€ системы

(4.10)

≈сли

то

(4.11)

“аким образом, веро€тность безотказной работы системы, состо€щей из элементов с веро€тностью безотказной работы подчин€ющихс€ экспоненциальному закону, также подчин€етс€ экспоненциальному закону, причем интенсивности отказов отдельных элементов складываютс€.

»спользу€ экспоненциальный закон распределени€, несложно определить среднее число изделий n, которые выйдут из стро€ к заданному моменту времени, и среднее число изделий N, которые останутс€ работоспособными. ѕри

 

(4.12)

 

¬ св€зи с многообразием причин и условий возникновени€ постепенных отказов в этот период дл€ описани€ надежности примен€ют несколько законов распределений, которые устанавливают путем аппроксимации результатов испытаний или наблюдений в эксплуатацию.

Ќормальное распределение €вл€етс€ наиболее универсальным, удобным и широко примен€емым дл€ практических расчетов.

–аспределение всегда подчин€етс€ нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают вли€ние многие примерно равнозначные факторы.

Ќормальному распределению подчин€етс€ наработка до отказа многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, размеры и ошибки измерений деталей и т. д.

ѕлотность распределени€

(4.13)

–аспределение имеет два независимых параметра: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение S. «начени€ параметров и S оценивают по результатам испытани€ по формулам

(4.14)

 

(4.15)

где и s - оценки математического ожидани€ и среднего квадратического отклонени€.

—ближение параметров и их оценок увеличиваетс€ с увеличением числа испытаний.

»ногда удобнее оперировать с дисперсией

ћатематическое ожидание определ€ет на графике положение петли, а среднее квадратическое отклонение - ширину петли.

 рива€ плотность распределени€ тем острее и выше, чем меньше S. ќна начинаетс€ от и распростран€етс€ до . Ёто не €вл€етс€ существенным недостатком, особенно если так как площадь, очерченна€ уход€щими в бесконечность ветв€ми кривой плотности, выражающа€ соответствующую веро€тность отказов, очень мала. “ак, веро€тность отказа за период времени до составл€ет всего 0.135% и обычно не учитываетс€ в расчетах. ¬еро€тность отказа до равна 2.175%. Ќаибольша€ ордината кривой плотности распределени€ равно .

»нтегральна€ функци€ распределени€

(4.16)

¬ычисление интегралов замен€ют использованием таблиц. “аблицы дл€ нормального распределени€ в функции и S были бы громоздкими, так как имели бы два независимых параметра. ћожно обойтись небольшими таблицами дл€ нормального распределени€, у которого и . ƒл€ этого распределени€ функци€ плотности

; (4.17)

имеет одну переменную x. ¬еличина x €вл€етс€ центрированной, так как , и нормированной, так как . ‘ункци€ плотности распределени€ записываетс€ в относительных координатах с началом на оси симметрии петли.

‘ункци€ распределени€ - интеграл от плотности распределени€

(4.18)

»з этого уравнени€ следует, что

(4.19)

отсюда

. (4.20)

ƒл€ использовани€ таблиц следует применить подстановку

(4.21)

при этом x называетс€ квантилью нормированного нормального распределени€ и обычно обозначаетс€

ѕлотность распределени€ и веро€тность безотказной работы соответственно

 

где и берут по таблицам.

 

“аблица 4.2

«начени€ функции распределени€ в зависимости от плотности распределени€

x          
0,3989 0,2420 0,0540 0,0044 0,0001
0,5 0,8413 0,9772 0,9986 0,9999

 

¬ таблице 4.1. приведены непосредственно значени€ в зависимости от в употребительном диапазоне.

¬ литературе по надежности часто вместо интегральной функции распределени€ пользуютс€ функцией Ћапласа:

(4.22)

ќчевидно, что

(4.23)

¬еро€тность отказа и веро€тность безотказной работы, выраженные через функции Ћапласа, отличаютс€ пределами интегрировани€, имеют вид:

(4.24)

(4.25)

—равнива€ издели€ с одинаковой средней наработкой до отказа и разным средним квадратическим отклонением S, нужно подчеркнуть, что хот€ при больших S и имеютс€ экземпл€ры с большой долговечностью, но чем меньше S, тем много лучше изделие.

ѕомимо задачи оценки веро€тности безотказной работы за данное врем€ или за данную наработку встречаетс€ обратна€ задача - определение времени или наработки, соответствующих заданной веро€тности безотказной работы.

«начение этой наработки (времени) определ€ют с помощью квантилей нормального распределени€

«начени€ квантилей даютс€ в таблице в зависимости от требуемой веро€тности, в частности от веро€тности безотказной работы.

 

“аблица 4.3

«начени€ веро€тности безотказной работы в зависимости от квантили

0,5 0,90 0,95 0,99 0,999 0,9999
  -1,282 -1,645 -2,326 -3,090 -3,719

 

ќперации с нормальным распределением проще, чем с другими, поэтому им часто замен€ют другие распределени€. ѕри малых коэффициентах вариации нормальное распределение хорошо замен€ет биномиальное, пуассоново и логарифмически нормальное.

–аспределение суммы независимых случайных величин, называемое

 

(4.26)

композицией распределений, при нормальном распределении слагаемых также €вл€етс€ нормальным распределением.

ћатематическое ожидание и дисперси€ композиции соответственно равны

(4.27)

(4.28)

 

где - математические ожидани€ случайных величин X, Y, Z; Цдисперси€ тех же величин.

¬логарифмически нормальном распределении логарифм случайной величины распредел€етс€ по нормальному закону.  ак распределение положительных величин, оно несколько точнее, чем нормальное, описывает наработку деталей, в частности, по усталости. ≈го успешно примен€ют дл€ описани€ наработки подшипников качени€, электронных ламп и других изделий.

Ћогарифмически нормальное распределение удобно дл€ случайных величин, представл€ющих собой произведение значительного числа случайных исходных величин, подобно тому как нормальное распределение удобно дл€ суммы случайных величин.

ѕлотность распределени€ описываетс€ зависимостью

(4.29)

 

где и S Цпараметры, оцениваемые по результатам испытаний.

“ак, при испытани€х N изделий до отказа

(4.30)

; (4.31)

¬еро€тность безотказной работы можно определить по таблицам дл€ нормального распределени€ (см. табл. 4.3) в зависимости от значени€ квантилей

ћатематическое ожидание наработки до отказа

(4.32)

среднее квадратическое отклонение

(4.33)

коэффициент вариации

(4.34)

ѕри полагают при этом ошибка меньше или равна 1%.

–аспределение ¬ейбулла довольно универсально, охватывает путем варьировани€ параметров широкий диапазон случаев изменени€ веро€тностей. Ќар€ду с логарифмически нормальным распределением оно удовлетворительно описывает наработку деталей по усталостным разрушени€м, наработку до отказа подшипников, электронных ламп. »спользуетс€ дл€ оценки надежности деталей и узлов машин, в частности, станков, подъемно-транспортных и других машин. ѕримен€етс€ также дл€ оценки надежности по приработочным отказам.

–аспределение характеризуетс€ следующей функцией веро€тности безотказной работы:

(4.35)

 

»нтенсивность отказов

(4.36)

ѕлотность распределени€

 

. (4.37)

–аспределение ¬ейбулла имеет также два параметра: параметр формы m > 0 и параметр масштаба

ћатематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно

(4.38)

; (4.39)

где и - коэффициенты.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 951 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬елико ли, мало ли дело, его надо делать. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2268 - | 1940 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.064 с.