Множество N натуральных чисел

Числа 1, 2, 3, 4, 5,…, использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера предмета, называются натуральными (множество N).

Натуральные числа представляют собой бесконечное множество. Элементы этого множества можно пронумеровать, т. е. каждому элементу сопоставить некоторый номер из множества натуральных чисел так, что различные элементы получают счетные номера. Поэтому множество N следует отнести к разряду счетных множеств.

Для множества натуральных чисел безоговорочно выполнимы только операции сложения, умножения и возведения в степень. Сумма и произведение натуральных чисел будет натуральным числом, а разность и частное — не всегда. При вычитании натуральных чисел может получиться отрицательное число, а при делении — не целое.

Каждое натуральное число, большее единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на само себя. Если число не имеет других натуральных делителей, то такое число называется простым, а если у числа есть другие натуральные делители, то оно называется составным. Единица не считается ни простым, ни составным числом. Представление натурального числа в виде произведения простых сомножителей называется факторизацией числа.

Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число либо само является простым, либо может быть разложено на произведение простых делителей, причем единственным способом, если не обращать внимания на порядок следования сомножителей. Разложение на множители называется каноническим, если все множители являются простыми и записаны в порядке возрастания. Таким образом, простые числа можно использовать как «элементарные строительные блоки» натуральных чисел.

Общим кратным двух данных натуральных чисел называется наименьшее из чисел, которые делятся на каждое из них.

Для любых двух натуральных чисел всегда найдется общее кратное, поскольку их произведение всегда делится на каждое из двух данных.

Пример 2.1. Найти наименьшее общее кратное чисел 12 и 18.

Для того чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, нужно первое число умножить на простые множители, входящие в разложение второго числа и не входящие в разложение первого: .

Общим делителем двух данных натуральных чисел называется число, на которые делится каждое из них. Для любых двух натуральных чисел всегда найдется общий делитель, поскольку любые два числа всегда делятся на единицу. Если у двух натуральных чисел нет ни одного общего делителя кроме единицы, они называются взаимно простыми.

Пример 2.2. Найти наибольший общей делитель чисел 12 и 18.

Наибольший общий делитель двух чисел 12 и 18 равен 6. Для того чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, нужно перемножить общие простые множители, входящие в разложение и одного и другого числа: .