Операции над множествами

Множества. Основные понятия

Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому можно только пояснить этот термин. Под множеством понимается собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору (1845-1918), существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет. Что касается самих предметов, которые входя во множество, то относительно них существует значительная свобода. Это может быть и множество целых чисел, и множество точек на плоскости и множество белых носорогов. Множество не обязательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. Можно объединить в одном множестве и множество объектов и его одиночных представителей. Множества обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, C,…. Множество можно задать списком, перечислив все его элементы: (1.1) При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значения. Не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

К другому способу задания множества можно отнести порождающую процедуру, например,

(1.2)

В данном случае под выражением можно понимать арифметические операции, или некоторые неформальные описания.

Пример. Множество содержит один элемент: состоит из набора элементов .

Определение множества, как совокупности всех неких объектов, которые обладают неким заданным нам свойством, не всегда может привести к однозначному ответу.

Пример Парадокс Рассела. Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: «Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам». Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, «наивном» изложении является противоречивой. Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика.

Символом обозначается отношение принадлежности. Запись означает, что элемент является элементом множества .

Определение 1.1. Множества и считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Записать утверждение о том, что множество равно множеству можно при помощи простой формулы

(1.3)

Если множества состоят из разных элементов, то этот факт записывают

(1.4)

Пример Даны три множества , и . В силу того, что все три множества состоят из одних и тех же элементов, справедлива запись .

Пример 1.2. Даны два множества и . Эти множества нельзя считать равными, так как единственным элементом множества есть множество , множество состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.

Определение 1.2. Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, причем , то множество А является подмножеством В. Этот факт обозначают так:

(1.5)

Определение 1.3. Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, причем возможно , то множество В включает подмножеством А:

(1.6)

 

Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используются диаграммы Венна. Простые и лаконичные рисунки, которые впервые предложил английский математик Джон Венн (1834-1923), используются для иллюстрации взаимосвязей и в теории вероятности, и в логике, и в статистике и в информатике. В теории множеств сами множества обозначают областями и размещают внутри прямоугольника, который представляет собой некое универсальное множество . Если два множества имеют общие элементы, то такие объекты иллюстрируются перекрывающимися областями.

Джон Венн

 

Пример 1.5. Даны два множества , и . Для этих множеств справедливо , поскольку множество включает множество , и каждый элемент множества есть элемент множества .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым, и обозначается символом Ø. Пустое множество есть подмножество любого множества.

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества обозначают .

Пример 1.6. Дано множество . Тогда =5.

 

Множество всех подмножеств множества называется множеством-степенью и обозначается . Если множество состоит из элементов, то множество состоит из элементов.

Пример 1.7. Дано множество . Множество-степень содержит следующие подмножества:

Операции над множествами

Рассмотрим методы получения новых множеств их уже существующих.

Определение 1.4. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, одновременно входящих и в множество А, и во множество В. Это записывается следующим образом:

	(1.3)
Свойства операции пересечения множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. ; 4. ; 5. Ø = Ø.

Пример 1.7. Если множество А есть интервал (1; 5) а множество В есть интервал (2; 7), то пересечение множеств А и В есть интервал (2; 5): .

Определение 1.5. Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств или А, или В, или А и В одновременно. Это обозначается следующим образом:

	(1.4)
Свойства операции объединения множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. (дистрибутивность); 4. ; 5. ; 6. Ø = Ø.

Пример 1.8. Если множество А есть отрезок [1; 3] а множество В есть отрезок [2; 5], то объединение множеств А и В есть отрезок [1; 5]: .

Определение 1.6. Дополнением множества А называется множество всех элементов универсального множества U, каждый из которых не принадлежит множеству А.

Дополнение множества А будем обозначать через

Свойства операции дополнения множеств: ; Ø

Пример 1.9. Если множество А есть отрезок [1; 3], то множество представляет собой объединение двух интервалов: .

Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В:

.

(1.5)

 

Операция вычитания множеств не коммутативна: . Из определения разности множеств следует, что имеет место равенство .

Пример 1.10. Если множество А есть отрезок , а множество В есть отрезок , то разность представляет собой полуинтервал , а полуинтервал .

Определение 1.8. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множествам А и B, но не принадлежащих ихобщим областям.

.

(1.6)

 

Другими словами симметрическая разность двух множеств и состоит из элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств: либо только , либо только .
Операция симметрической разности для трех множеств ассоциативна:

Пример 1.11. Если , , то .

Определение 1.9. Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всевозможных пар элементов , у которых и .

(1.7)

 

Пример 1.12. Даны два множества: , . Для этих множеств можно составить два варианта декартового произведения этих множеств: и

Из примера видно, что множества и различны.

Пример 1.13. Пусть множество А есть отрезок ,на некоторой прямой, а множество В есть отрезок другой прямой. Тогда декартово произведение , включающее многочисленные пары координат, составит прямоугольник на плоскости.

Для двух конечных множеств и , мощности которых определены как и можно вычислить мощность декартового произведения как

.

(1.8)