Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќперации над множествами




ћножества. ќсновные пон€ти€

ѕон€тие множества €вл€етс€ основным, неопредел€емым пон€тием, поэтому можно только по€снить этот термин. ѕод множеством понимаетс€ собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

¬ этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику √еоргу  антору (1845-1918), существенным €вл€етс€ то обсто€тельство, что собрание предметов само рассматриваетс€ как один предмет. „то касаетс€ самих предметов, которые вход€ во множество, то относительно них существует значительна€ свобода. Ёто может быть и множество целых чисел, и множество точек на плоскости и множество белых носорогов. ћножество не об€зательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. ћожно объединить в одном множестве и множество объектов и его одиночных представителей. ћножества обычно обозначаетс€ заглавными латинскими буквами A, B, C,Е. ћножество можно задать списком, перечислив все его элементы:
(1.1)

ѕри этом пор€док, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значени€. Ќе имеет значени€ также возможность неоднократного повторени€ одних и тех же элементов при описании множества.

 
√еорг ‘ердинанд Ћюдвиг ‘илипп  антор

  другому способу задани€ множества можно отнести порождающую процедуру, например,

(1.2)

¬ данном случае под выражением можно понимать арифметические операции, или некоторые неформальные описани€.

ѕример. ћножество содержит один элемент: состоит из набора элементов .

ќпределение множества, как совокупности всех неких объектов, которые обладают неким заданным нам свойством, не всегда может привести к однозначному ответу.

ѕример ѕарадокс –ассела. ¬ладелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объ€вление: ЂЅрею тех и только тех жителей села, кто не бреетс€ самї. —прашиваетс€, кто бреет брадобре€?

Ётот парадокс свидетельствует о том, что широко используема€ теори€ множеств в ее интуитивном, Ђнаивномї изложении €вл€етс€ противоречивой. ‘ормализаци€ теории множеств, св€занна€, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическа€ логика.

—имволом обозначаетс€ отношение принадлежности. «апись означает, что элемент €вл€етс€ элементом множества .

ќпределение 1.1. ћножества и считаютс€ равными, если они состо€т из одних и тех же элементов.

«аписать утверждение о том, что множество равно множеству можно при помощи простой формулы

(1.3)

≈сли множества состо€т из разных элементов, то этот факт записывают

(1.4)

ѕример ƒаны три множества , и . ¬ силу того, что все три множества состо€т из одних и тех же элементов, справедлива запись .

ѕример 1.2. ƒаны два множества и . Ёти множества нельз€ считать равными, так как единственным элементом множества есть множество , множество состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.

ќпределение 1.2. ≈сли все элементы множества ј принадлежат также множеству ¬, причем , то множество ј €вл€етс€ подмножеством ¬. Ётот факт обозначают так:

(1.5)

ќпределение 1.3. ≈сли каждый элемент множества ј есть элемент множества ¬, причем возможно , то множество ¬ включает подмножеством ј:

(1.6)

 

ƒл€ нагл€дного представлени€ отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используютс€ диаграммы ¬енна. ѕростые и лаконичные рисунки, которые впервые предложил английский математик ƒжон ¬енн (1834-1923), используютс€ дл€ иллюстрации взаимосв€зей и в теории веро€тности, и в логике, и в статистике и в информатике. ¬ теории множеств сами множества обозначают област€ми и размещают внутри пр€моугольника, который представл€ет собой некое универсальное множество . ≈сли два множества имеют общие элементы, то такие объекты иллюстрируютс€ перекрывающимис€ област€ми.
ƒжон ¬енн

 

ѕример 1.5. ƒаны два множества , и . ƒл€ этих множеств справедливо , поскольку множество включает множество , и каждый элемент множества есть элемент множества .

ћножество, не содержащее элементов, называетс€ пустым, и обозначаетс€ символом Ø. ѕустое множество есть подмножество любого множества.

ћножества бывают конечные и бесконечные.  онечные множества содержат конечное число элементов. ћножества, не €вл€ющиес€ конечными, называютс€ бесконечными.

„исло элементов конечного множества называетс€ его мощностью. ћощность множества обозначают .

ѕример 1.6. ƒано множество . “огда =5.

 

ћножество всех подмножеств множества называетс€ множеством-степенью и обозначаетс€ . ≈сли множество состоит из элементов, то множество состоит из элементов.

ѕример 1.7. ƒано множество . ћножество-степень содержит следующие подмножества:

ќперации над множествами

–ассмотрим методы получени€ новых множеств их уже существующих.

ќпределение 1.4. ѕересечением множеств ј и ¬ называетс€ множество , состо€щее из всех элементов, одновременно вход€щих и в множество ј, и во множество ¬. Ёто записываетс€ следующим образом:

(1.3)
—войства операции пересечени€ множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. ; 4. ; 5. Ø = Ø.
     

ѕример 1.7. ≈сли множество ј есть интервал (1; 5) а множество ¬ есть интервал (2; 7), то пересечение множеств ј и ¬ есть интервал (2; 5): .

ќпределение 1.5. ќбъединением множеств ј и ¬ называетс€ множество , состо€щее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хот€ бы одному из данных множеств или ј, или ¬, или ј и ¬ одновременно. Ёто обозначаетс€ следующим образом:

(1.4)
—войства операции объединени€ множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. (дистрибутивность); 4. ; 5. ; 6. Ø = Ø.
     

ѕример 1.8. ≈сли множество ј есть отрезок [1; 3] а множество ¬ есть отрезок [2; 5], то объединение множеств ј и ¬ есть отрезок [1; 5]: .

ќпределение 1.6. ƒополнением множества ј называетс€ множество всех элементов универсального множества U, каждый из которых не принадлежит множеству ј.

ƒополнение множества ј будем обозначать через

—войства операции дополнени€ множеств:
  1. ;
  2. Ø

ѕример 1.9. ≈сли множество ј есть отрезок [1; 3], то множество представл€ет собой объединение двух интервалов: .

ќпределение 1.7. –азностью множеств ј и ¬ называетс€ множество , состо€щее из всех элементов, принадлежащих множеству ј, но не принадлежащих ¬:

. (1.5)

 

ќпераци€ вычитани€ множеств не коммутативна: . »з определени€ разности множеств следует, что имеет место равенство .

ѕример 1.10. ≈сли множество ј есть отрезок , а множество ¬ есть отрезок , то разность представл€ет собой полуинтервал , а полуинтервал .

ќпределение 1.8. —имметрической разностью множеств ј и ¬ называетс€ множество , состо€щее из всех элементов, принадлежащих множествам ј и B, но не принадлежащих ихобщим област€м.

. (1.6)

 

ƒругими словами симметрическа€ разность двух множеств и состоит из элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств: либо только , либо только .
ќпераци€ симметрической разности дл€ трех множеств ассоциативна:  

ѕример 1.11. ≈сли , , то .

ќпределение 1.9. ƒекартовым произведением двух множеств ј и ¬ называетс€ множество , состо€щее из всевозможных пар элементов , у которых и .

(1.7)

 

ѕример 1.12. ƒаны два множества: , . ƒл€ этих множеств можно составить два варианта декартового произведени€ этих множеств: и

»з примера видно, что множества и различны.

ѕример 1.13. ѕусть множество ј есть отрезок ,на некоторой пр€мой, а множество ¬ есть отрезок другой пр€мой. “огда декартово произведение , включающее многочисленные пары координат, составит пр€моугольник на плоскости.

ƒл€ двух конечных множеств и , мощности которых определены как и можно вычислить мощность декартового произведени€ как

. (1.8)




ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1800 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћучша€ месть Ц огромный успех. © ‘рэнк —инатра
==> читать все изречени€...

513 - | 490 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.028 с.