Нормальное распределение, или закон Гаусса

Закон больших чисел, как мы выяснили, играет огромную роль в социоло­гии и статистике. Без него не могли бы возникнуть и успешно развиваться на­уки, занятые изучением массового поведения. Закон больших чисел гласит, что в результате взаимопогашения случайных отклонений средние, исчисленные для величин одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действие постоянных и существенных факторов в данных условиях времени и места. Он утверждает господство средне-типичного, а это как раз то, что интересует со­циологию. Но он не говорит ничего о том, как велика та часть населения, кото­рая составляет в нормально развивающемся обществе большинство.

На этот вопрос отвечает другой закон — нормального распределения, или закон Гаусса.

Гаусс Карл Фридрих (1777—1855) —немецкий математик, иностранный член-корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Пе­тербургской АН. Еще при жизни Гаусс был удостоен почетного титула «принц математиков». Он блестяще находил практические применения результатам своих фундаментальных исследований и из конкретных за­дач прикладных областей умел извлекать проблемы, представляющие интерес для фундаментальной науки. В области прикладной математики он не только получил ряд важных результатов, но и создал новые на-

Посмотрев на все это подобным образом, я понял, как глупо я себя вел. В тот же момент я решил прекратить беспокоиться и всегда при­менять закон больших чисел. С тех пор я забыл про свою язву желудка».

Когда Эл Смит был губернатором штата Нью-Йорк, я слышал, как он отражал нападки своих по­литических противников, повторяя снова и снова: «Давайте изучим факты... давайте изучим факты». Затем он начинал приводить факты. В следующий раз, если вы или я будем беспокоиться о том, что может случиться, послушаемся мудрого старого Эла Смита: давайте изучим факты и решим, есть ли повод для нашего мучительного беспокойства. Именно так поступал Фредерик Дж. Малстедт, когда испугался, что уже лежит в могиле. Вот что он рассказал мне в период занятий на моих кур­сах для обучения взрослых в Нью-Йорке: «В начале июня 1944 года я находился в одиноч­ном окопе вблизи Омаха-Бич. Я служил в 999 роте связи, и мы только что "окопались" в Нормандии. Когда я посмотрел на этот одиночный окоп (он выглядел как яма прямоугольной формы в земле), ^{я ска}зал себе: "Похоже на могилу". Когда я лег в

его и попытался заснуть, мне показалось, что я Действительно в могиле. Я невольно подумал:

Наверное, это и в самом деле моя могила". ¹¹ часов утра начались налеты немецких бом-РДировщиков, и на нас посыпались бомбы. Я

одеревенел от страха. В первые две или три ночи я совсем не мог спать. К четвертой или пятой ночи я был почти в состоянии нервного шока. Я понял, что необходимо что-то сделать, иначе я сойду с ума. Тогда я напомнил себе, что прошло пять ночей, а я все еще жив, и все были живы в нашем подразделении. Только двое были ранены, да и то не немецкими бомбами, а осколками снарядов наших собственных зенит­ных орудий. Я решил прекратить беспокоиться и заняться чем-либо конструктивным. Я сделал толстое деревянное покрытие над своим окопом, которое защищало меня от осколков зе­нитных снарядов. Я подумал о том, что наше под­разделение занимает очень большой участок. Я сказал себе, что в этом глубоком, узком одиночном окопе можно погибнуть лишь от прямого попада­ния; и я прикинул, что шанс прямого попадания бомбы составлял даже меньше, чем один к десяти тысячам. Размышляя таким образом две ночи, я успокоился и спал даже во время бомбежек!» Чтобы одолеть привычку беспокоиться, прежде чем она одолеет вас, выполняйте правило: Изучите факты. Спросите себя: «Каковы шансы по закону больших чисел, что событие, из-за которого я беспокоюсь, когда-либо произойдет?» Сокращено по источнику: Карнеги Д. Как завое­вать друзей и оказывать влияние на людей / Пер. с англ. — М., 1989. С. 566-572.

правления в науке. Непреходящее значение для всех наук, имеющих дело с обработкой наблюдений, имеют разработанные Гауссом методы получения наиболее вероятных значений измеряемых величин. Особен­но широкую известность получил созданный Гауссом 1821-1823 гг. метод наименьших квадратов. Гауссом заложены также и основы тео­рии ошибок.

Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры (доказа­тельство основной теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вы­четы), дифференциальной геометрии (внутренняя геометрия поверх­ностей), математической физики (принцип Гаусса), теории электриче­ства и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и многих разделов астрономии.

Рис. 3. Нормальное распределение

Кривая Гаусса имеет гармонически выраженный, эстетически совершен­ный графический вид (рис. 3). Вероятностное распределение непрерывной случайной переменной отражает куполообразная кривая, получившая назва­ние гауссовой кривой (у нее множество названий, в том числе — симметрич­ный холм, графический колокол, колоколообразная кривая). Нормальное статистическое распределение значений переменной абсолютно симметрич­но относительно центральной оси.

Нормальное распределение встречается в нашей жизни на каждом шагу, стоит только внимательнее присмотреться. Например, если случайным образом вы­брать тысячу человек и построить гистограмму распределения их по росту, то в результате получится нормальное распределение. Оно будет иметь пик в точке, соответствующей среднему росту в группе, но при этом будет наблюдаться не­который разброс вокруг среднего. Разбросаны они весьма любопытным обра­зом: большинство значений, близких к среднему, концентрируется в центре, а незначительная часть значений, сильно отклоняющихся от среднего, равномер­но распределяется влево и вправо. На рис. 3 это выглядит так:

♦ 68% всех значений измеряемой переменной находится на расстояниине более одного стандартного отклонения от среднего, т.е. в диапазоне от -1до +1 (на языке статистики это звучит так: указанные значения лежат в ди­апазоне ± 1 стандартного отклонения от среднего);

♦ 95% — на расстоянии не более 2 стандартных отклонений, т.е. в диапа­зоне от -2 до +2 (иначе говоря: диапазон +2 стандартных отклонений содер­жит 95% значений).

Другими словами, при нормальном распределении стандартизованные на­блюдения, меньше -2 или больше +2, имеют относительную частоту менее 5% (стандартизованное наблюдение означает, что из исходного значения

вычтено среднее и результат поделен на стандартное отклонение). В результате точная форма нормального распределе­ния задана только двумя параметрами: средним значением и стандартным от­клонением.

Асимметрия распределения с длин­ным правым хвостом положительна. Если распределение имеет длинный ле­вый хвост, то его асимметрия отрица­тельна. Если эксцесс (показывающий «остроту пика» распределения) суще­ственно отличен от 0, то распределение имеет или более закругленный пик, чем нормальное, или, напротив, имеет более острый пик (возможно, имеет­ся несколько пиков).

Итак, ²/з всех значений (если мы имеем дело с нормальным распределением значений какого-либо массового явления в обществе, например количества ле­нивых и трудолюбивых, одаренных и бездарных) лежит в пределах 70%, а остав­шиеся 30% равномерно распределяются, постепенно убывая, влево и вправо. Сред­ним значением в этих двух случаях будут люди наполовину ленивые и трудолю­бивые, наполовину одаренные и бездарные. Соответственно очень талантливых в обычном обществе, если в нем нет физиологических аномалий, должно быть примерно 10%, а гениев — менее 5%. В свою очередь, совершенно бездарных — 10%, аполных идиотов — менее5%. На основе знания нормального распределе­ния событий, свойств и явлений в больших массах людей можно делать неплохие про­гнозы, в частности, отслеживать, когда об­щество переходит от состояния нормы к состоянию патологии. Таким образом, кривая Гаусса имеет не только статистическую, но и со­циальную интерпретацию. Иными словами, с ней происходит то же самое, что с законом больших чисел, у которого мы обнаружили две составляющие — гносеологическую и онтологическую.

Если в качестве средней величины принять социальную норму, то откло­нения от нее в позитивную и негативную сторону выразит знакомый нам симметричный холм. В зависимости от того, позитивным или негативным является отклонение, все формы девиаций можно расположить вдоль неко­торого континуума.

♦ На одном полюсе этого континуума разместится группа лиц, проявля­ющих максимально осуждаемое поведение: революционеры, террористы, не-

патриоты, политические эмигранты, предатели, преступники, вандалы, ци­ники, бродяги.

♦ На другом полюсе расположится группа с максимально одобряемыми отклонениями от нормы: национальные герои, выдающиеся артисты, спорт­смены, ученые, писатели, художники и политические лидеры, миссионеры, передовики труда.

Если бы мы провели статистические подсчеты, то оказалось бы, что в нормально развивающихся обществах в обычных условиях на каждую из этих групп пришлось бы примерно по 10—15% общей численности населения. А около 70% членов общества составили бы «твердые середняки» — люди, проявляющие лишь несущественные отклонения своих качеств и своего по­ведения от неких «норм».

Рис. 4. Пример нормального распределения храбрых и трусливых людей в достаточно большой

по размерам популяции

На рис. 4 изображено нормальное распределение случайно появляющих­ся или наблюдаемых признаков в обществе при достаточно большом коли­честве наблюдений. Выдающиеся позитивные качества (смелость, гениаль­ность, сострадание и др.) встречаются среди людей столь же редко, как и выдающиеся негативные, причем удельный вес их в общей структуре при­мерно одинаков, поскольку нормальное распределение симметрично. Но часто в силу того, что они больше других обращают на себя внимание окру­жающих, может создаваться впечатление, что их достаточно много. То же самое происходит и с отклоняющимся поведением. Преступников-злодеев — если общество развивается в нормальных условиях — бывает обычно не бо­лее 5% от общей численности населения; людей, совершивших более или менее тяжкие преступления непредумышленно и готовых встать на путь исправления, как правило, не бывает более 15%. Если эти цифры оказыва-

ются в криминальной статистике выше, то следует задуматься о том, что общество, может быть, нездорово.

Множество других социальных явлений в стабильном обществе, носящих массовый характер, распределяется по форме кривой Гаусса (рис. 5).

Рис. 5. Кривая Гаусса — универсальное средство выражения количественного распределения в обществе массовых социальных свойств, признаков, черт, явлений, процессов и т.д.

Согласно такому закону, очень храбрых, как и очень трусливых, в обще­стве всегда меньшинство. Очень одиноких и никогда не знающих одиноче­ства не более 10% всего населения. Красивые и безобразные, честные и мо­шенники, талантливые и бездарные и т.п. распределяются среди населения таким образом, что большинство (70%) — ни красивые, ни безобразные, ни гении, ни бездари. Эти качества сочетаются у них примерно в одинаковой пропорции, поэтому о большинстве из нас можно сказать, что мы в меру талантливы и бездарны, честны и бесчестны, красивы и безобразны, разум­ны и неразумны, одиноки и общительны.

Кривая Гаусса, примененная к социальным явлениям, гласит: чем ярче выражен данный признак, тем реже он встречается, и наоборот. Но подобный закон действует только при соблюдении следующих условий:

♦ данный признак должен распределяться в населении случайным обра­зом и подчиняться статистическим закономерностям;

♦ общество не должно оказывать на признак одностороннего влияния.С первым условием дело обстоит достаточно просто. Гораздо сложнее

объяснить второе условие. Вмешаться в случайное распределение признака среди населения общество может самыми разными способами. Один из них — планомерная социальная политика либо недостаток таковой (если государ­ство не борется с преступностью, то вскоре количество преступников стано­вится больше, чем это предполагается по законам статистического распре -

В17

деления). Другой способ вмешательства — не зависящие от сознательных на­мерений или действий государства серьезные нарушения в деятельности общественных институтов. Когда институт семьи терпит кризис, то количе­ство разводов резко превышает количество браков, число брошенных свои­ми родителями детей выше, чем предполагалось по законам статистическо­го распределения.

Смещение статистической кривой особенно наглядно проявляется в со­циально-классовой структуре. Численность бедных в США 14%, богатых — 5%, зажиточных — 81%; в России соответственно 40-70%, 3-10%, 10-40% (оценки приблизительные, экспертные). При случайном распределении кар­тина должна быть иной: 5% очень богатых, 10% зажиточных, 70% — ни бо­гатых, ни бедных, 10% обедневших, 5% очень бедных. Однако практически ни одно общество, ни одна страна в мире не подчиняется такой закономер­ности. Объяснение кроется в том, что социально-классовая пирамида пред­ставляет собой результат действия множества неслучайных факторов: помощь правительства бедным, наследование имущества и аккумуляция богатства, сращение институтов власти и бизнеса, дифференциальная оплата труда в зависимости от квалификации и трудового вклада и др. Воздействуя на со­циальную пирамиду, общество добивается нужных целей и принятия выгод­ных ему моделей поведения. В частности, оно заинтересовано в том, чтобы у большинства людей складывалась мотивация к достижениям, ориентация на вертикальную мобильность, стремление к успеху. Отсюда вытекает, что общество никогда не допустит, чтобы низы зарабатывали больше верхов.

Врезка