Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ќормальное распределение, или закон √аусса




«акон больших чисел, как мы вы€снили, играет огромную роль в социоло≠гии и статистике. Ѕез него не могли бы возникнуть и успешно развиватьс€ на≠уки, зан€тые изучением массового поведени€. «акон больших чисел гласит, что в результате взаимопогашени€ случайных отклонений средние, исчисленные дл€ величин одного и того же вида, станов€тс€ типичными, отражающими действие посто€нных и существенных факторов в данных услови€х времени и места. ќн утверждает господство средне-типичного, а это как раз то, что интересует со≠циологию. Ќо он не говорит ничего о том, как велика та часть населени€, кото≠ра€ составл€ет в нормально развивающемс€ обществе большинство.

Ќа этот вопрос отвечает другой закон Ч нормального распределени€, или закон √аусса.

√аусс  арл ‘ридрих (1777Ч1855) Чнемецкий математик, иностранный член-корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) ѕе≠тербургской јЌ. ≈ще при жизни √аусс был удостоен почетного титула Ђпринц математиковї. ќн блест€ще находил практические применени€ результатам своих фундаментальных исследований и из конкретных за≠дач прикладных областей умел извлекать проблемы, представл€ющие интерес дл€ фундаментальной науки. ¬ области прикладной математики он не только получил р€д важных результатов, но и создал новые на-

ѕосмотрев на все это подобным образом, € пон€л, как глупо € себ€ вел. ¬ тот же момент € решил прекратить беспокоитьс€ и всегда при≠мен€ть закон больших чисел. — тех пор € забыл про свою €зву желудкаї.

 огда Ёл —мит был губернатором штата Ќью-…орк, € слышал, как он отражал нападки своих по≠литических противников, повтор€€ снова и снова: Ђƒавайте изучим факты... давайте изучим фактыї. «атем он начинал приводить факты. ¬ следующий раз, если вы или € будем беспокоитьс€ о том, что может случитьс€, послушаемс€ мудрого старого Ёла —мита: давайте изучим факты и решим, есть ли повод дл€ нашего мучительного беспокойства. »менно так поступал ‘редерик ƒж. ћалстедт, когда испугалс€, что уже лежит в могиле. ¬от что он рассказал мне в период зан€тий на моих кур≠сах дл€ обучени€ взрослых в Ќью-…орке: Ђ¬ начале июн€ 1944 года € находилс€ в одиноч≠ном окопе вблизи ќмаха-Ѕич. я служил в 999 роте св€зи, и мы только что "окопались" в Ќормандии.  огда € посмотрел на этот одиночный окоп (он выгл€дел как €ма пр€моугольной формы в земле), сказал себе: "ѕохоже на могилу".  огда € лег в

его и попыталс€ заснуть, мне показалось, что € ƒействительно в могиле. я невольно подумал:

Ќаверное, это и в самом деле мо€ могила". 11 часов утра начались налеты немецких бом-–ƒировщиков, и на нас посыпались бомбы. я

одеревенел от страха. ¬ первые две или три ночи € совсем не мог спать.   четвертой или п€той ночи € был почти в состо€нии нервного шока. я пон€л, что необходимо что-то сделать, иначе € сойду с ума. “огда € напомнил себе, что прошло п€ть ночей, а € все еще жив, и все были живы в нашем подразделении. “олько двое были ранены, да и то не немецкими бомбами, а осколками снар€дов наших собственных зенит≠ных орудий. я решил прекратить беспокоитьс€ и зан€тьс€ чем-либо конструктивным. я сделал толстое дерев€нное покрытие над своим окопом, которое защищало мен€ от осколков зе≠нитных снар€дов. я подумал о том, что наше под≠разделение занимает очень большой участок. я сказал себе, что в этом глубоком, узком одиночном окопе можно погибнуть лишь от пр€мого попада≠ни€; и € прикинул, что шанс пр€мого попадани€ бомбы составл€л даже меньше, чем один к дес€ти тыс€чам. –азмышл€€ таким образом две ночи, € успокоилс€ и спал даже во врем€ бомбежек!ї „тобы одолеть привычку беспокоитьс€, прежде чем она одолеет вас, выполн€йте правило: »зучите факты. —просите себ€: Ђ аковы шансы по закону больших чисел, что событие, из-за которого € беспокоюсь, когда-либо произойдет?ї —окращено по источнику:  арнеги ƒ.  ак завое≠вать друзей и оказывать вли€ние на людей / ѕер. с англ. Ч ћ., 1989. —. 566-572.

правлени€ в науке. Ќепреход€щее значение дл€ всех наук, имеющих дело с обработкой наблюдений, имеют разработанные √ауссом методы получени€ наиболее веро€тных значений измер€емых величин. ќсобен≠но широкую известность получил созданный √ауссом 1821-1823 гг. метод наименьших квадратов. √ауссом заложены также и основы тео≠рии ошибок.

“руды √аусса оказали большое вли€ние на развитие алгебры (доказа≠тельство основной теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вы≠четы), дифференциальной геометрии (внутренн€€ геометри€ поверх≠ностей), математической физики (принцип √аусса), теории электриче≠ства и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и многих разделов астрономии.

–ис. 3. Ќормальное распределение

 рива€ √аусса имеет гармонически выраженный, эстетически совершен≠ный графический вид (рис. 3). ¬еро€тностное распределение непрерывной случайной переменной отражает куполообразна€ крива€, получивша€ назва≠ние гауссовой кривой (у нее множество названий, в том числе Ч симметрич≠ный холм, графический колокол, колоколообразна€ крива€). Ќормальное статистическое распределение значений переменной абсолютно симметрич≠но относительно центральной оси.

Ќормальное распределение встречаетс€ в нашей жизни на каждом шагу, стоит только внимательнее присмотретьс€. Ќапример, если случайным образом вы≠брать тыс€чу человек и построить гистограмму распределени€ их по росту, то в результате получитс€ нормальное распределение. ќно будет иметь пик в точке, соответствующей среднему росту в группе, но при этом будет наблюдатьс€ не≠который разброс вокруг среднего. –азбросаны они весьма любопытным обра≠зом: большинство значений, близких к среднему, концентрируетс€ в центре, а незначительна€ часть значений, сильно отклон€ющихс€ от среднего, равномер≠но распредел€етс€ влево и вправо. Ќа рис. 3 это выгл€дит так:

♦ 68% всех значений измер€емой переменной находитс€ на рассто€ниине более одного стандартного отклонени€ от среднего, т.е. в диапазоне от -1до +1 (на €зыке статистики это звучит так: указанные значени€ лежат в ди≠апазоне ± 1 стандартного отклонени€ от среднего);

♦ 95% Ч на рассто€нии не более 2 стандартных отклонений, т.е. в диапа≠зоне от -2 до +2 (иначе говор€: диапазон +2 стандартных отклонений содер≠жит 95% значений).

ƒругими словами, при нормальном распределении стандартизованные на≠блюдени€, меньше -2 или больше +2, имеют относительную частоту менее 5% (стандартизованное наблюдение означает, что из исходного значени€

вычтено среднее и результат поделен на стандартное отклонение). ¬ результате точна€ форма нормального распределе≠ни€ задана только двум€ параметрами: средним значением и стандартным от≠клонением.

јсимметри€ распределени€ с длин≠ным правым хвостом положительна. ≈сли распределение имеет длинный ле≠вый хвост, то его асимметри€ отрица≠тельна. ≈сли эксцесс (показывающий Ђостроту пикаї распределени€) суще≠ственно отличен от 0, то распределение имеет или более закругленный пик, чем нормальное, или, напротив, имеет более острый пик (возможно, имеет≠с€ несколько пиков).

»так, 2/з всех значений (если мы имеем дело с нормальным распределением значений какого-либо массового €влени€ в обществе, например количества ле≠нивых и трудолюбивых, одаренных и бездарных) лежит в пределах 70%, а остав≠шиес€ 30% равномерно распредел€ютс€, постепенно убыва€, влево и вправо. —ред≠ним значением в этих двух случа€х будут люди наполовину ленивые и трудолю≠бивые, наполовину одаренные и бездарные. —оответственно очень талантливых в обычном обществе, если в нем нет физиологических аномалий, должно быть примерно 10%, а гениев Ч менее 5%. ¬ свою очередь, совершенно бездарных Ч 10%, аполных идиотов Ч менее5%. Ќа основе знани€ нормального распределе≠ни€ событий, свойств и €влений в больших массах людей можно делать неплохие про≠гнозы, в частности, отслеживать, когда об≠щество переходит от состо€ни€ нормы к состо€нию патологии. “аким образом, крива€ √аусса имеет не только статистическую, но и со≠циальную интерпретацию. »ными словами, с ней происходит то же самое, что с законом больших чисел, у которого мы обнаружили две составл€ющие Ч гносеологическую и онтологическую.

≈сли в качестве средней величины прин€ть социальную норму, то откло≠нени€ от нее в позитивную и негативную сторону выразит знакомый нам симметричный холм. ¬ зависимости от того, позитивным или негативным €вл€етс€ отклонение, все формы девиаций можно расположить вдоль неко≠торого континуума.

Ќа одном полюсе этого континуума разместитс€ группа лиц, про€вл€≠ющих максимально осуждаемое поведение: революционеры, террористы, не-

патриоты, политические эмигранты, предатели, преступники, вандалы, ци≠ники, брод€ги.

Ќа другом полюсе расположитс€ группа с максимально одобр€емыми отклонени€ми от нормы: национальные герои, выдающиес€ артисты, спорт≠смены, ученые, писатели, художники и политические лидеры, миссионеры, передовики труда.

≈сли бы мы провели статистические подсчеты, то оказалось бы, что в нормально развивающихс€ обществах в обычных услови€х на каждую из этих групп пришлось бы примерно по 10Ч15% общей численности населени€. ј около 70% членов общества составили бы Ђтвердые середн€киї Ч люди, про€вл€ющие лишь несущественные отклонени€ своих качеств и своего по≠ведени€ от неких Ђнормї.

–ис. 4. ѕример нормального распределени€ храбрых и трусливых людей в достаточно большой

по размерам попул€ции

Ќа рис. 4 изображено нормальное распределение случайно по€вл€ющих≠с€ или наблюдаемых признаков в обществе при достаточно большом коли≠честве наблюдений. ¬ыдающиес€ позитивные качества (смелость, гениаль≠ность, сострадание и др.) встречаютс€ среди людей столь же редко, как и выдающиес€ негативные, причем удельный вес их в общей структуре при≠мерно одинаков, поскольку нормальное распределение симметрично. Ќо часто в силу того, что они больше других обращают на себ€ внимание окру≠жающих, может создаватьс€ впечатление, что их достаточно много. “о же самое происходит и с отклон€ющимс€ поведением. ѕреступников-злодеев Ч если общество развиваетс€ в нормальных услови€х Ч бывает обычно не бо≠лее 5% от общей численности населени€; людей, совершивших более или менее т€жкие преступлени€ непредумышленно и готовых встать на путь исправлени€, как правило, не бывает более 15%. ≈сли эти цифры оказыва-

ютс€ в криминальной статистике выше, то следует задуматьс€ о том, что общество, может быть, нездорово.

ћножество других социальных €влений в стабильном обществе, нос€щих массовый характер, распредел€етс€ по форме кривой √аусса (рис. 5).

–ис. 5.  рива€ √аусса Ч универсальное средство выражени€ количественного распределени€ в обществе массовых социальных свойств, признаков, черт, €влений, процессов и т.д.

—огласно такому закону, очень храбрых, как и очень трусливых, в обще≠стве всегда меньшинство. ќчень одиноких и никогда не знающих одиноче≠ства не более 10% всего населени€.  расивые и безобразные, честные и мо≠шенники, талантливые и бездарные и т.п. распредел€ютс€ среди населени€ таким образом, что большинство (70%) Ч ни красивые, ни безобразные, ни гении, ни бездари. Ёти качества сочетаютс€ у них примерно в одинаковой пропорции, поэтому о большинстве из нас можно сказать, что мы в меру талантливы и бездарны, честны и бесчестны, красивы и безобразны, разум≠ны и неразумны, одиноки и общительны.

 рива€ √аусса, примененна€ к социальным €влени€м, гласит: чем €рче выражен данный признак, тем реже он встречаетс€, и наоборот. Ќо подобный закон действует только при соблюдении следующих условий:

♦ данный признак должен распредел€тьс€ в населении случайным обра≠зом и подчин€тьс€ статистическим закономерност€м;

♦ общество не должно оказывать на признак одностороннего вли€ни€.— первым условием дело обстоит достаточно просто. √ораздо сложнее

объ€снить второе условие. ¬мешатьс€ в случайное распределение признака среди населени€ общество может самыми разными способами. ќдин из них Ч планомерна€ социальна€ политика либо недостаток таковой (если государ≠ство не боретс€ с преступностью, то вскоре количество преступников стано≠витс€ больше, чем это предполагаетс€ по законам статистического распре -

¬17

делени€). ƒругой способ вмешательства Ч не завис€щие от сознательных на≠мерений или действий государства серьезные нарушени€ в де€тельности общественных институтов.  огда институт семьи терпит кризис, то количе≠ство разводов резко превышает количество браков, число брошенных свои≠ми родител€ми детей выше, чем предполагалось по законам статистическо≠го распределени€.

—мещение статистической кривой особенно нагл€дно про€вл€етс€ в со≠циально-классовой структуре. „исленность бедных в —Ўј 14%, богатых Ч 5%, зажиточных Ч 81%; в –оссии соответственно 40-70%, 3-10%, 10-40% (оценки приблизительные, экспертные). ѕри случайном распределении кар≠тина должна быть иной: 5% очень богатых, 10% зажиточных, 70% Ч ни бо≠гатых, ни бедных, 10% обедневших, 5% очень бедных. ќднако практически ни одно общество, ни одна страна в мире не подчин€етс€ такой закономер≠ности. ќбъ€снение кроетс€ в том, что социально-классова€ пирамида пред≠ставл€ет собой результат действи€ множества неслучайных факторов: помощь правительства бедным, наследование имущества и аккумул€ци€ богатства, сращение институтов власти и бизнеса, дифференциальна€ оплата труда в зависимости от квалификации и трудового вклада и др. ¬оздейству€ на со≠циальную пирамиду, общество добиваетс€ нужных целей и прин€ти€ выгод≠ных ему моделей поведени€. ¬ частности, оно заинтересовано в том, чтобы у большинства людей складывалась мотиваци€ к достижени€м, ориентаци€ на вертикальную мобильность, стремление к успеху. ќтсюда вытекает, что общество никогда не допустит, чтобы низы зарабатывали больше верхов.

¬резка





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 4348 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—ложнее всего начать действовать, все остальное зависит только от упорства. © јмели€ Ёрхарт
==> читать все изречени€...

1986 - | 1891 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.017 с.