Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


„етвертое уравнение ћаксвелла




 

„етвертое уравнение ћаксвелла исторически было выведено √ауссом и известно как теорема √аусса или теорема ќстроградского Ц √аусса. ѕоэтому его можно вывести двум€ способами.

ѕервый способ вывода четвертого уравнени€ ћаксвелла использует первое уравнение ћаксвелла и в этом случае предпочтительней, так как провер€ет системность этих уравнений. —ущность этого вывода состоит в следующем.

«апишем первое уравнение ћаксвелла:

(2.25)

»спользуем определение плотности тока смещени€:

(2.26)

«десь - вектор электростатического смещени€ или вектор электрической индукции.

ѕодставл€ем формулу (2.26) в формулу (2.25) и осуществл€ем операцию Ђдивергенци€ї по отношению к правой и левой части:

(2.27)

 ак было показано при выводе третьего уравнени€ ћаксвелла. Ћева€ часть выражени€ (2.27) равна нулю. “огда помен€ем местами дифференцирование по времени и по координатам в правой части выражени€ (2.27) получаем:

(2.28)

¬оспользуемс€ законом сохранени€ электрического зар€да в векторной форме:

(2.29)

«десь - объемна€ плотность электрического зар€да.

ѕодставл€ем формулу (2.29) в формулу (2.28) и получаем:

(2.30)

»з формулы (2.30) находим:

(2.31)

«начение посто€нной в формуле (2.31) находим из начальных условий, которые всегда можно выбрать так, чтобы она была равна нулю. “огда получаем:

(2.32)

‘ормула (2.32) представл€ет собой четвертое уравнение ћаксвелла. ѕредставленный вывод €вл€етс€ формальным и отражающим системность группы уравнений. ѕоэтому рассмотрим второй вывод четвертого уравнени€ ћаксвелла, которое первоначально было известно как теорема ќстроградского Ц √аусса.

“еорема ќстроградского Ц √аусса может быть сформулирована дл€ вектора напр€женности электростатического пол€ и дл€ вектора электрической индукции . ¬ системе единиц —» св€зь между этими векторами выражаетс€ формулой:

(2.33)

«десь - электростатическа€ посто€нна€ вакуума (она определ€ет скорость распространени€ электромагнитных волн в вакууме); - диэлектрическа€ проницаемость среды (вещества), в котором изучаетс€ электростатическое поле; , - проекции вектора электрической индукции и напр€женности на нормаль.

»спользу€ векторный анализ, вводитс€ пон€тие потока линий вектора электрической индукции:

(2.34)

¬ качестве поверхности интегрировани€ выберем сферу, вблизи центра, которой расположены электрические зар€ды, создающие электрическое поле. –адиус сферы можно выбирать таким, чтобы область, зан€та€ зар€дами, была бы много меньше всей сферы. “огда область, занимаемую зар€дами, можно считать бесконечно малой, и в этом случае можно считать, что зар€ды наход€тс€ в центре этой сферы.

¬ этом случае радиус-вектор некоторой точки выбранной сферы и нормаль к сфере в этой точка совпадают по направлению, тогда в формуле (2.34) можно перейти от индекса к индексу радиус-вектора . “огда поток линий вектора электрической индукции будет равен:

(2.35)

„тобы найти вектор электрической индукции, используем формулу напр€женности электрического пол€, созданного точечным положительным электрическим зар€дом:

(2.36)

“еперь поток линий вектора электростатической индукции определ€етс€ формулой:

(2.37)

¬ формуле (2.37) интеграл беретс€ по замкнутой поверхности, внутри которой наход€тс€ зар€ды, величина которых равна . ќни занимают малую область, что позвол€ет считать их точечными зар€дами.

»нтеграл в формуле (2.37) представл€ет собой полный телесный угол, под которым видна внутренн€€ поверхность сферы из ее центра. “огда можно записать:

(2.38)

ѕри этом первое значение телесного угла получаетс€, если точка наблюдени€ находитс€ внутри сферы. “огда - это полный телесный угол, под которым видна внутренн€€ поверхность сферы из ее центра. ¬ принципе это относитс€ не только к сферической поверхности, но и к поверхности любой другой формы, лишь бы она была замкнутой.

ƒл€ объ€снени€ второго случа€ надо учитывать, что телесный угол, под которым наблюдаетс€ некотора€ поверхность, считаетс€ положительным, если направление взгл€да на поверхность совпадает с направлением нормали к этой поверхности. » наоборот, телесный угол считаетс€ отрицательным, если направление взгл€да противоположно направлению нормали к поверхности.

–ис.1. ќпределение телесного угла

Ќа рисунке 1 представлена ситуаци€, в которой зар€д, создающий поле находитс€ в точке , и из этой точки определ€етс€ телесный угол, под которым видна замкнута€ поверхность. ѕри этом видно, что лева€ часть поверхности наблюдаетс€ под положительным телесным углом, а права€ часть поверхности Ц под отрицательным телесным углом. ѕри этом модули этих телесных углов одинаковы. “огда телесный угол, под которым видна вс€ поверхность из точки , равен нулю, что и соответствует второму случаю в формуле (2.38).

ѕодставл€ем формулу (2.38) в формулу (2.37) и получаем четвертое уравнение ћаксвелла в интегральном виде:

(2.39)

ѕолученный результат можно интерпретировать следующим образом:

1. ≈сли внутри некоторого объема наход€тс€ электрические зар€ды, то полный поток вектора электрической индукции равен величине зар€да, наход€щегос€ внутри объема. ¬ частном случае, если внутри объема зар€дов нет, то полный поток вектора электрической индукции равен нулю.

2. Ћинии вектора электрической индукции начинаютс€ на одних зар€дах и заканчиваютс€ на других зар€дах. ”словно прин€то, что линии начинаютс€ на положительных зар€дах, а заканчиваютс€ на отрицательных зар€дах.

3. ≈сли внутри некоторого объема нет электрических зар€дов, то число линий, вход€щих в объем, равно числу линий, выход€щих из объема.

„етвертое уравнение ћаксвелла можно записать в дифференциальном виде. ƒл€ этого воспользуемс€ теоремой векторного анализа (теорема √аусса):

(2.40)

 роме того, зар€д также можно выразить через объемную плотность зар€да:

(2.41)

¬ формулах (2.40) и (2.41) объем равен объему, заключенному внутри замкнутой поверхности .

ѕодставл€ем выражени€ (2.40) и (2.41) в формулу (2.39):

(2.42)

»з выражени€ (2.42) получаем:

(2.43)

¬ формулах (2.42) и (2.43) случай, когда поток вектора электрической индукции рассматривалс€ как частный случай, соответствующий тому, что зар€д внутри замкнутой поверхности равен нулю.

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 688 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬ы никогда не пересечете океан, если не наберетесь мужества потер€ть берег из виду. © ’ристофор  олумб
==> читать все изречени€...

2011 - | 1852 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.014 с.